Difference between revisions of "TU Wien:Analysis UE (diverse)/Übungen SS19/Beispiel 202"

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==Hilfreiches==
 
==Hilfreiches==
 
{{Baustein:Binomialkoeffizient}}
 
{{Baustein:Binomialkoeffizient}}
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== Lösung lt. Clemens Müllner ==
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--[[Benutzer:Gittenburg|Gittenburg]] 20:04, 9. Mai 2019 (CEST)
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<math>
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  \frac 1 n \sum_{i=0}^{n-1} \left(1 + \frac i n\right)^3
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= \frac 1 n \sum_{i=0}^{n-1} \left(\frac {n + i} n\right)^3
 +
= \frac 1 n \sum_{i=n}^{2n-1} \left(\frac i n\right)^3
 +
= \frac 1 {n^4} \sum_{i=n}^{2n-1} i^3
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</math>
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<math>
 +
  \frac 1 {n^4} \sum_{i=n}^{2n-1} i^3
 +
= \frac 1 {n^4} \left[\sum_{i=1}^{2n-1} (i^3) - \sum_{i=1}^{n-1} (i^3)\right]
 +
= \frac 1 {n^4} \left[\binom {2n} 2^2 - \binom n 2^2\right]
 +
= \frac {(2n)^2(2n-1)^2-(n)^2(n-1)^2}{4n^4}
 +
</math>
 +
 +
<math>
 +
= \frac{(2n-1)^2}{n^2}-\frac{(n-1)^2}{4n^2}
 +
= \frac{4n^2-4n+1}{n^2}-\frac{n^2-2n+1}{4n^2}
 +
= \frac{4-\frac 4n+\frac 1{n^2}}{1}-\frac{1-\frac 2n+\frac1{n^2}}{4}
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\ \overset{n\to\infty}{\Longrightarrow}\
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4 - \frac 1 4 = \frac {15} 4 = 3{,}75
 +
</math>
  
 
==Lösungsversuch von Baccus==
 
==Lösungsversuch von Baccus==

Revision as of 20:05, 9 May 2019

Berechnen Sie mit Hilfe von Untersummen bei äquidistanter Teilung.

Hinweise:

  1. (i) Äquidistante Teilung des Intervalls bedeuted, dass man die Teilungspunkte , betrachtet.
  2. (ii)
  3. (iii)
  4. (iv)

Hilfreiches

Baustein:Binomialkoeffizient

Lösung lt. Clemens Müllner

--Gittenburg 20:04, 9. Mai 2019 (CEST)

Lösungsversuch von Baccus

Lösung mit Grundintegralen (Kontrolle):

Lösung mit Untersummen:

QED(?)

Lösung

lt. Prof. Urbanek

Kurze Lösung:

Auch durch Summe der diskreten Untersummen lösbar, wenn man die Anzahl der Intervalle gegen unendlich wandern lässt.

Summe = , der Klammerausdruck umgeformt

Unter Berücksichtigung des Binomischen Lehrsatzes bekommt man dann folgende Summenformel:

Summe =

Da n gegen läuft, konvergiert gegen 0. Wenn man dann einsetzt, ergibt sich folgendes:

Hoffe, mir ist kein gröberer Tippfehler passiert! Diese Lösung ist ähnlich wie die von Baccus.

-Hapi

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