TU Wien:Analysis UE (diverse)/Übungen SS19/Beispiel 287

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Man zeige, dass eine Menge O \subseteq \R^2 bzgl. der Euklidischen Metrik d_2 offen ist genau dann, wenn O offen ist bzgl. der Summen-Metrik d_1.

Hilfreiches

Offene Menge[Bearbeiten, WP, Definition 6.6]

Eine Menge D \subseteq \R^n heißt offen, wenn aus x \in D folgt, dass es eine Umgebung U_e(x) gibt mit U_e(x) \subseteq D.

Euklidische Distanzen

d_1((x_1, x_2), (y_1, y_2)) = |x_1 - y_1| + |x_2 - y_2|

d_2((x_1, x_2), (y_1, y_2)) = \sqrt{(x_1 - y_1)^2 + (x_2 - y_2)^2}

Lösungsvorschlag von DerPizzabäcker

Zuerst einmal schreiben wir die Angabe nochmal als Formel auf:

x \in O \implies \exists U_e(x) \subseteq O \iff x \in O \implies \exists U_d(x) \subseteq O wobei U_e von d2 abhängt und U_d von d1.

Die Aussage \exists U_e(x) kann man auch als \exists y \in O, e > 0: d_2(x, y) < e anschreiben. (Also es existiert ein y in einer epsilon Umgebung). Wenn wir nun zeigen, dass \exists y \in O, e > 0: d_2(x, y) < e und \exists y \in O, d > 0: d_1(x, y) < d äquivalent sind, so sind auch die ursprünglichen Formeln äquivalent. Dazu formen wir beide Ausdrücke so um, dass sie ähnlich ausschauen:


d_2(x, y) < e \iff
\sqrt{(x_1 - y_1)^2 + (x_2 - y_2)^2} < e \iff
(x_1 - y_1)^2 + (x_2 - y_2)^2 < e^2

d_1(x, y) < d \iff
|x_1 - y_1| + |x_2 - y_2| < d \iff
(x_1 - y_1)^2 + 2*|x_1 - y_1|*|x_2 - y_2| + (x_2 - y_2)^2 < d^2 \iff
(x_1 - y_1)^2 + (x_2 - y_2)^2 < d^2 - 2*|x_1 - y_1|*|x_2 - y_2|

Hier sieht man, dass die beiden Aussagen auf der linken Seite ident sind, aber auf der rechten etwas unterschiedlich. Wenn wir nun e^2 = d^2 - 2*|x_1 - y_1|*|x_2 - y_2| wählen sind sie ident.


--DerPizzabäcker 09:01, 12. Jun. 2019 (CEST)