TU Wien:Analysis UE (diverse)/Übungen SS19/Beispiel 300

Sei $f(x,y) = \frac{x\cos\frac{1}{x}+y\sin y}{2x-y}$ für $0 \ne x\ne 2y$.

Man untersuche und vergleiche die iterierten Grenzwerte $\lim_{y \rightarrow 0} \lim_{x \rightarrow 0} f(x,y)$ und $\lim_{x \rightarrow 0} \lim_{y \rightarrow 0} f(x,y)$.

Existiert der Grenzwert $\lim_{(x,y) \rightarrow(0,0)}f(x,y)$ ?

Lösungsvorschlag von m-zero

$\lim_{y \to 0}\bigg(\lim_{x \to 0}f(x,y)\bigg)=\lim_{y \to 0}\frac{y\sin y}{-y}=\lim_{y \to 0}-\sin y=0$

$\lim_{x \to 0}\bigg(\lim_{y \to 0}f(x,y)\bigg)=\lim_{x \to 0}\frac{x\cos \frac{1}{x}}{2x}=\lim_{x \to 0}\frac{\cos\ \frac{1}{x}}{2}\$ ist wegen $\frac{1}{x}$ undefiniert.

Die iterierten Grenzwerte sind also verschieden. Aus der Tatsache dass $\lim_{x \to 0}\bigg(\lim_{y \to 0}f(x,y)\bigg)$ nicht existiert folgt, dass auch $\lim_{(x,y) \to (0,0)}f(x,y)$ nicht existiert.

Bemerkung von 2#4u

Es ist wohl weniger wegen $\frac{1}{x}$ undefiniert, aber eher weil $\cos\ \frac{1}{x}$ bei x gegen 0 zwischen -1 und +1 divergiert. Siehe auch: [1]

Links

• Diskussion Informatik-Forum SS02 Beispiel 9 (alt)
• Diskussion Informatik-Forum SS03 Beispiel 337 (alt)