TU Wien:Analysis UE (diverse)/Übungen SS19/Beispiel 32

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Man untersuche die Folge (a_n)_{n\in \N} auf Wohldefiniertheit und Konvergenz und bestimme gegebenfalls den Grenzwert. (Die a_n sind für fast alle n \in \N definiert.)

a_n = \frac{4n^2+5n-3}{2n^3+3n^2-n+7}

Lösungsvorschlag[edit]

Zähler und Nenner sind uneigentlich konvergente Folgen, sodass die Sätze 4.14 und 4.16 (Rechenregeln für Folgen) nicht direkt anwendbar sind. Herausheben der höchsten Potenz und anschließendes Kürzen macht aber Satz 4.14 anwendbar.

 \lim\limits_{n\to\infty} a_n = 
 \lim\limits_{n\to\infty} \frac{4n^2+5n-3}{2n^3+3n^2-n+7} = 
 \lim\limits_{n\to\infty} \frac
    {n^3 \left(
        \frac{4}{n} +
        \frac{5}{n^2} -
        \frac{3}{n^3}
        \right)
    } {n^3 \left(
        2 +
        \frac{3}{n} -
        \frac{1}{n^2} +
        \frac{7}{n^3}
        \right)
    } = 
 \lim\limits_{n\to\infty} \frac{0+0-0}{2+0-0+0} = 
 \lim\limits_{n\to\infty} \frac{0}{2} =  0 

Es müsste auch funktionieren, wenn die jeweils höchste Potenz herausgehoben wird.

 \lim\limits_{n\to\infty} a_n = 
 \lim\limits_{n\to\infty} \frac{4n^2+5n-3}{2n^3+3n^2-n+7} = 
 \lim\limits_{n\to\infty} \frac
    {n^2 \left( 4 + \frac{5}{n} - \frac{3}{n^2} \right) }
    {n^3 \left( 2 + \frac{3}{n} - \frac{1}{n^2} + \frac{7}{n^3} \right) }  = 
 \lim\limits_{n\to\infty} \frac{4+0-0}{n(2+0-0+0)} = 
 \lim\limits_{n\to\infty} \frac{2}{n} = 0 

Analog zu TU_Wien:Mathematik_1_UE_(diverse)/Übungen_WS08/Beispiel_462