TU Wien:Analysis UE (diverse)/Übungen SS19/Beispiel 339

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Man bestimme \frac{dy}{dx} für folgende implizit gegebene Kurven:

  1. (a) x^{2/3} + y^{2/3} = 1 für x_0 = 0.5
  2. (b) x^3 + y^3 - 2xy = 0 für x_0 = 1

Hilfreiches

Baustein:Hauptsatz über implizite Funktionen

siehe Buch Seite 253 (Hauptsatz über implizite Funktionen)

Lösungsvorschlag

Anmerkung von ilavicion: F_x und F_y werden hier falsch eingesetzt.

Beispiel (a)

x^\frac{2}{3}+y^\frac{2}{3}=1 \Leftrightarrow x^\frac{2}{3}+y^\frac{2}{3}-1 = 0

F(x,y) = x^\frac{2}{3} + y^\frac{2}{3} - 1

F_x(x,y) = \frac{2}{3} x^{\frac{2}{3}-1} + 0 - 0 = \frac{2}{3} x^{-\frac{1}{3}} = \frac{2}{3 \sqrt[3]{x}}

F_y(x,y) = 0 + \frac{2}{3} y^{\frac{2}{3}-1} - 0 = \frac{2}{3} y^{-\frac{1}{3}} = \frac{2}{3 \sqrt[3]{y}}


\frac{dy}{dx} = 
- \frac{F_x}{F_y} = 
- \frac{\frac{2}{3 \sqrt[3]{x}}}{\frac{2}{3 \sqrt[3]{y}}} =
- \frac{\sqrt[3]{y}}{\sqrt[3]{x}} = 
- \sqrt[3]{\frac{y}{x}}

Beispiel (b)

F(x,y) = x^3 + y^3 - 2xy

F_x(x,y) = 3x^2 - 2y

F_y(x,y) = 3y^2 - 2x

\frac{dy}{dx} = - \frac{F_x}{F_y} = - \frac{3x^2 - 2y}{3y^2 - 2x}

Quelle

Panholzer Beispielsammlung SS06 Beispiel 32 / SS07 Beispiel 87

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