TU Wien:Analysis UE (diverse)/Übungen SS19/Beispiel 38: Unterschied zwischen den Versionen

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Ein relativ blödes Beispiel, wie ich finde. Wenn wir richtig anfangen, ist es jedoch sehr bewältigbar.  
 
Ein relativ blödes Beispiel, wie ich finde. Wenn wir richtig anfangen, ist es jedoch sehr bewältigbar.  
  
Durch Einsetzen der ersten paar Werte sieht kommen wir recht schnell zu der Annahme, dass die Folge konvergiert, jetzt müssen wir dies "nur noch zeigen".
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Durch Einsetzen der ersten paar Werte kommen wir recht schnell zu der Annahme, dass die Folge konvergiert, jetzt müssen wir dies "nur noch zeigen".
  
 
Zur Bestimmung des Limes ist es am einfachsten, wenn wir einen Bruch aus dem Ausdruck machen - hierbei besteht der Trick darin, mit dem richtigen Ausdruck zu erweitern. Was sich in dieser Situation anbietet, ist <math>\sqrt{n+\sqrt{n}}+\sqrt{n}</math>, da es sich um den konjugierten Term handelt, und wir somit schon einmal Wurzeln wegbekommen. Also gehen wir wie folgt vor:
 
Zur Bestimmung des Limes ist es am einfachsten, wenn wir einen Bruch aus dem Ausdruck machen - hierbei besteht der Trick darin, mit dem richtigen Ausdruck zu erweitern. Was sich in dieser Situation anbietet, ist <math>\sqrt{n+\sqrt{n}}+\sqrt{n}</math>, da es sich um den konjugierten Term handelt, und wir somit schon einmal Wurzeln wegbekommen. Also gehen wir wie folgt vor:

Aktuelle Version vom 15. Juli 2019, 10:46 Uhr

Man untersuche die Folge (a_n)_{n\in \N} auf Wohldefiniertheit und Konvergenz und bestimme gegebenfalls den Grenzwert. (Die a_n sind für fast alle n \in \N definiert.)

a_n=\sqrt{n+\sqrt{n}}-\sqrt{n}

Lösung[Bearbeiten]

Ein relativ blödes Beispiel, wie ich finde. Wenn wir richtig anfangen, ist es jedoch sehr bewältigbar.

Durch Einsetzen der ersten paar Werte kommen wir recht schnell zu der Annahme, dass die Folge konvergiert, jetzt müssen wir dies "nur noch zeigen".

Zur Bestimmung des Limes ist es am einfachsten, wenn wir einen Bruch aus dem Ausdruck machen - hierbei besteht der Trick darin, mit dem richtigen Ausdruck zu erweitern. Was sich in dieser Situation anbietet, ist \sqrt{n+\sqrt{n}}+\sqrt{n}, da es sich um den konjugierten Term handelt, und wir somit schon einmal Wurzeln wegbekommen. Also gehen wir wie folgt vor:

\lim_{n\to\infty}\frac{(\sqrt{n+\sqrt{n}}-\sqrt{n})(\sqrt{n+\sqrt{n}}+\sqrt{n})}{\sqrt{n+\sqrt{n}}+\sqrt{n}}

Ausmultiplizieren, und wir erhalten:

\lim_{n\to\infty}\frac{\sqrt{n}}{\sqrt{n+\sqrt{n}}+\sqrt{n}}

Jetzt tun wir uns schon erheblich leichter und wir können wie üblich durch die höchste Potenz dividieren, was in diesem Fall der Term \sqrt{n+\sqrt{n}} ist.

\lim_{n\to\infty}\frac{\sqrt{\frac{n}{n+\sqrt{n}}}}{\sqrt{\frac{n+\sqrt{n}}{n+\sqrt{n}}}+\sqrt{\frac{n}{n+\sqrt{n}}}}=\lim_{n\to\infty}\frac{\sqrt{\frac{n}{n+\sqrt{n}}}}{1+\sqrt{\frac{n}{n+\sqrt{n}}}}

Nun brauchen wir lediglich den Limes des Ausdrucks \sqrt{\frac{n}{n+\sqrt{n}}}, also dividieren wir im Bruch nochmals durch die höchste Potenz und lassen nun endlich n gegen unendlich laufen.

\lim_{n\to\infty}\sqrt{\frac{\frac{n}{n}}{\frac{n}{n}+\frac{\sqrt{n}}{n}}}=\sqrt{\frac{1}{1+0}}=1

Daraus erhalten wir für den gesamten Ausdruck folgendes:

\lim_{n\to\infty}\frac{\sqrt{\frac{n}{n+\sqrt{n}}}}{1+\sqrt{\frac{n}{n+\sqrt{n}}}}=\frac{1}{1+1}=\frac{1}{2}

...und die Konvergenz der Folge ist bewiesen.