TU Wien:Analysis UE (diverse)/Übungen SS19/Beispiel 399: Unterschied zwischen den Versionen

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=== Lösung der homogenen Gleichung ===
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<math>\lambda^2 + 7\lambda + 6 = 0 \,</math>
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<math>y_h(x) = C_1 e^{-x} + C_2 e^{-6x} \,</math>
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=== Lösung der inhomogenen Gleichung ===
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Da <math> cosh(x) = \frac{1}{2}(e^x+e^{-x}) </math> gilt, können wir mit der Versuchslösung für die Exponentialfunktion arbeiten.
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<math>y_p(x) = Ae^x + Be^{-x} x \,</math>  Resonanzfall beachten!
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<math>y_p(x)' = Ae^x + B(-e^{-x}x + e^{-x}) </math>
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<math>y_p(x)'' = Ae^x + B(e^{-x}x - 2e^{-x}) </math>
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Einsetzen in die Differenzengleichung:
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<math> Ae^x + Be^{-x} x + 7(Ae^x + B(-e^{-x}x + e^{-x})) + 6(Ae^x + B(e^{-x}x - 2e^{-x})) = \frac{1}{2}(e^x+e^{-x}) </math>
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<math> 14Ae^x + 5Be^{-x} = \frac{1}{2}(e^x+e^{-x}) </math>
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<math> 28Ae^x + 10Be^{-x} = e^x+e^{-x} </math>
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Aus einem Koeffizientenvergleich folgt:
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<math> A = \frac{1}{28}, B = \frac{1}{10} </math>
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=== Lösung der Differentialgleichung ===
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<math>y = y_h(x) + y_p(x) = C_1 e^{-x} + C_2 e^{-6x} + \frac{e^x}{28} + \frac{xe^{-x}}{10} \,</math>
  
 
Quelle: [[TU Wien:Mathematik 3 UE (diverse)/Übungen WS05|WS 05 Gittenberger Bsp. 49]]
 
Quelle: [[TU Wien:Mathematik 3 UE (diverse)/Übungen WS05|WS 05 Gittenberger Bsp. 49]]

Version vom 29. Juni 2019, 19:02 Uhr

Bestimmen Sie die allgemeine Lösung der folgenden Differentialgleichungen

y'' + 7y' + 6y = \cosh(x)

Lösungsvorschlag von G underscore

--G underscore 19:02, 29. Jun. 2019 (CEST)

Lösung der homogenen Gleichung

\lambda^2 + 7\lambda + 6 = 0 \,

\lambda_{1,2} = -\frac{7}{2} \pm \sqrt{\frac{49}{4}-6} = -\frac{7}{2} \pm \frac{5}{2} \,

\lambda_1 = -1 \,

\lambda_2 = -6 \,

y_h(x) = C_1 e^{-x} + C_2 e^{-6x} \,

Lösung der inhomogenen Gleichung

Da  cosh(x) = \frac{1}{2}(e^x+e^{-x}) gilt, können wir mit der Versuchslösung für die Exponentialfunktion arbeiten.

y_p(x) = Ae^x + Be^{-x} x \, Resonanzfall beachten!

y_p(x)' = Ae^x + B(-e^{-x}x + e^{-x})

y_p(x)'' = Ae^x + B(e^{-x}x - 2e^{-x})


Einsetzen in die Differenzengleichung:

 Ae^x + Be^{-x} x + 7(Ae^x + B(-e^{-x}x + e^{-x})) + 6(Ae^x + B(e^{-x}x - 2e^{-x})) = \frac{1}{2}(e^x+e^{-x})

 14Ae^x + 5Be^{-x} = \frac{1}{2}(e^x+e^{-x})

 28Ae^x + 10Be^{-x} = e^x+e^{-x}


Aus einem Koeffizientenvergleich folgt:

 A = \frac{1}{28}, B = \frac{1}{10}

Lösung der Differentialgleichung

y = y_h(x) + y_p(x) = C_1 e^{-x} + C_2 e^{-6x} + \frac{e^x}{28} + \frac{xe^{-x}}{10} \,

Quelle: WS 05 Gittenberger Bsp. 49