Difference between revisions of "TU Wien:Analysis UE (diverse)/Übungen SS19/Beispiel 43"

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Man untersuche die Folge <math>(a_n)_{n\in\N}</math> auf Wohldefiniertheit und Konvergenz und bestimme gegebenfalls den Grenzwert. (Die <math>a_n</math> sind für fast alle <math>n \in \mathbb N</math> definiert.)
 
Man untersuche die Folge <math>(a_n)_{n\in\N}</math> auf Wohldefiniertheit und Konvergenz und bestimme gegebenfalls den Grenzwert. (Die <math>a_n</math> sind für fast alle <math>n \in \mathbb N</math> definiert.)
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== Hilfreiches ==
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Satz 4.35:
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Falls die Reihe <math>\sum_{n \ge 0}a_n</math> konvergiert, so ist die Folge der Reihenglieder eine Nullfolge, d.h., <math>a_n \to 0</math>.
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Satz 4.50 (Wurzelkriterium):
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Falls es eine Zahl <math>q</math> gibt, so dass
  
 
<math>a_n=n q^n \quad (-1 < q < 0)</math>
 
<math>a_n=n q^n \quad (-1 < q < 0)</math>
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<math>\quad\sqrt[n]{|a_n|}\le q<1</math> für fast alle <math>n</math>,
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dann ist <math>\sum_n a_n</math> absolut konvergent. Falls hingegen
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<math>\quad\sqrt[n]{|a_n|}\ge 1</math> für unendlich viele <math>n</math>,
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so ist <math>\sum_n a_n</math> divergent.
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Satz 4.51 (Limesform des Wurzelkriteriums):
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Aus <math>\limsup_{n \to \infty}\sqrt[n]{|a_n|}<1</math> folgt die absolute Konvergenz der Reihe <math>\sum_{n}a_n</math> und aus <math>\limsup_{n \to \infty}\sqrt[n]{|a_n|}>1</math> deren Divergenz.
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== Lösungsvorschlag von Yousif ==
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Die Folge ist für alle <math>n \in \N</math> wohldefiniert.
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Idee: Die Folge als Reihe interpretieren, untersuchen, ob diese konvergiert und daraus schließen, dass diese gegen <math>0</math> konvergiert.
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Wurzelkriterium:
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<math>\limsup_{n \to \infty}\sqrt[n]{|n q^n|}<1</math>
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<math>\limsup_{n \to \infty}\sqrt[n]{n\cdot |q^n|}<1</math>
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<math>\limsup_{n \to \infty}\sqrt[n]{n}\cdot\sqrt[n]{|q^n|}<1</math>
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<math>\limsup_{n \to \infty}\sqrt[n]{n}\cdot\sqrt[n]{|q|^n}<1</math>
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<math>\color{orange}\limsup_{n \to \infty}\sqrt[n]{n}\color{black}\cdot\color{teal}\limsup_{n \to \infty}|q|^n\color{black} = \color{orange}1\color{black} \cdot \color{teal}|q|^n\color{black}<1</math>
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<math>|q| < 1 \implies |q|^n < 1</math>
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Also ist die Reihe absolut konvergent.
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Daraus folgt, dass die Reihe <math>\displaystyle \sum_{n \ge 0} n \cdot q^n</math> für <math>-1 < q < 0</math> eine Nullfolge ist, also <math>\displaystyle \lim_{n \to \infty}a_n=0</math>. Der Grenzwert ist also <math>0</math>.
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Revision as of 13:18, 23 March 2021

Man untersuche die Folge auf Wohldefiniertheit und Konvergenz und bestimme gegebenfalls den Grenzwert. (Die sind für fast alle definiert.)

Hilfreiches

Satz 4.35:

Falls die Reihe konvergiert, so ist die Folge der Reihenglieder eine Nullfolge, d.h., .

Satz 4.50 (Wurzelkriterium):

Falls es eine Zahl gibt, so dass

für fast alle ,

dann ist absolut konvergent. Falls hingegen

für unendlich viele ,

so ist divergent.

Satz 4.51 (Limesform des Wurzelkriteriums):

Aus folgt die absolute Konvergenz der Reihe und aus deren Divergenz.

Lösungsvorschlag von Yousif

Die Folge ist für alle wohldefiniert.

Idee: Die Folge als Reihe interpretieren, untersuchen, ob diese konvergiert und daraus schließen, dass diese gegen konvergiert.

Wurzelkriterium:

Also ist die Reihe absolut konvergent.

Daraus folgt, dass die Reihe für eine Nullfolge ist, also . Der Grenzwert ist also .