Difference between revisions of "TU Wien:Analysis UE (diverse)/Übungen SS19/Beispiel 43"

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Falls es eine Zahl <math>q</math> gibt, so dass
 
Falls es eine Zahl <math>q</math> gibt, so dass
 
<math>a_n=n q^n \quad (-1 < q < 0)</math>
 
  
 
<math>\quad\sqrt[n]{|a_n|}\le q<1</math> für fast alle <math>n</math>,
 
<math>\quad\sqrt[n]{|a_n|}\le q<1</math> für fast alle <math>n</math>,

Revision as of 19:38, 23 March 2021

Man untersuche die Folge auf Wohldefiniertheit und Konvergenz und bestimme gegebenfalls den Grenzwert. (Die sind für fast alle definiert.)


Hilfreiches

Satz 4.35:

Falls die Reihe konvergiert, so ist die Folge der Reihenglieder eine Nullfolge, d.h., .

Satz 4.50 (Wurzelkriterium):

Falls es eine Zahl gibt, so dass

für fast alle ,

dann ist absolut konvergent. Falls hingegen

für unendlich viele ,

so ist divergent.

Satz 4.51 (Limesform des Wurzelkriteriums):

Aus folgt die absolute Konvergenz der Reihe und aus deren Divergenz.

Lösungsvorschlag von Yousif

Die Folge ist für alle wohldefiniert.

Idee: Die Folge als Reihe interpretieren, untersuchen, ob diese konvergiert und daraus schließen, dass diese gegen konvergiert.

Wurzelkriterium:

Also ist die Reihe absolut konvergent.

Daraus folgt, dass die Reihe für eine Nullfolge ist, also . Der Grenzwert ist also .