Difference between revisions of "TU Wien:Analysis UE (diverse)/Übungen SS19/Beispiel 43"

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Man untersuche die Folge <math>(a_n)_{n\in\N}</math> auf Wohldefiniertheit und Konvergenz und bestimme gegebenfalls den Grenzwert. (Die <math>a_n</math> sind für fast alle <math>n \in \mathbb N</math> definiert.)
 
Man untersuche die Folge <math>(a_n)_{n\in\N}</math> auf Wohldefiniertheit und Konvergenz und bestimme gegebenfalls den Grenzwert. (Die <math>a_n</math> sind für fast alle <math>n \in \mathbb N</math> definiert.)
  
 
<math>a_n=n q^n \quad (-1 < q < 0)</math>
 
<math>a_n=n q^n \quad (-1 < q < 0)</math>
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{{DEFAULTSORT:Analysis UE (diverse)/Übungen SS19/Beispiel 043}}
 
  
 
== Hilfreiches ==
 
== Hilfreiches ==

Latest revision as of 18:22, 9 April 2021

Man untersuche die Folge auf Wohldefiniertheit und Konvergenz und bestimme gegebenfalls den Grenzwert. (Die sind für fast alle definiert.)

Hilfreiches[edit]

Satz 4.35:

Falls die Reihe konvergiert, so ist die Folge der Reihenglieder eine Nullfolge, d.h., .

Satz 4.50 (Wurzelkriterium):

Falls es eine Zahl gibt, so dass

für fast alle ,

dann ist absolut konvergent. Falls hingegen

für unendlich viele ,

so ist divergent.

Satz 4.51 (Limesform des Wurzelkriteriums):

Aus folgt die absolute Konvergenz der Reihe und aus deren Divergenz.

Lösungsvorschlag von Yousif[edit]

Die Folge ist für alle wohldefiniert.

Idee: Die Folge als Reihe interpretieren, untersuchen, ob diese konvergiert und daraus schließen, dass diese gegen konvergiert.

Wurzelkriterium:

Also ist die Reihe absolut konvergent.

Daraus folgt, dass die Folge, bestehend aus den Folgengliedern der Reihe für , eine Nullfolge ist, also . Der Grenzwert ist also .