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TU Wien:Analysis UE (diverse)/Übungen SS19/Beispiel 5

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Man finde alle Häufungspunkte der Folge {\textstyle a_n = \sin \frac{n\pi}{2}+(-1)^{n(n+1)/2}\ (n \ge 0)}.

LösungsvorschlagBearbeiten

Zu Anfang berechnen wir die ersten paar Folgenglieder von  , um Vermutungen für Häufungspunkte aufzustellen.

 

 

 

 

 

 

 

Aus der Berechnung dieser Folgeglieder nehmen wir an, dass unsere Häufungspunkte   sind. Es gilt jetzt nur noch zu zeigen, dass die Folge keine anderen Zahlen annehmen kann.

Nun kann die Folge   als   angeschrieben werden, wobei   und  .

Betrachten wir zunächst  . Aus der Tatsache, dass es sich bei   um eine Sinusfunktion, und somit eine periodische Funktion handelt, kann man leicht zeigen, dass diese für alle   sich wie angenommen periodisch verhält. Dafür betrachten wir jedes erste, zweite, dritte und vierte Folgeglied.

 

 

 

 

Somit haben wir gezeigt, dass   sich für alle   periodisch verhält. Nun dasselbe für  , jedoch beachten wir hier nur den Exponenten. Ist dieser gerade ), so ist  , ansonsten ist  . Andere Zahlen können durch Potenzieren von   nicht angenommen werden. Wir bezeichnen diese Folge als  . Wie beim der vorherigen Folge nehmen wir an, dass sich   periodisch mit Periodenlänge 4 verhält.

 

 

 

 

Nachdem wir alle Variablen mit geraden Koeffizienten ignorieren können, müssen wir hier nur die alleinstehende Zahl betrachten. Diese ist bei   und   gerade, während sie bei   und   ungerade ist. Daher haben wir die Periodizität mit Periodenlänge 4 bewiesen und können nun unsere angenommen Häufungspunkte verifizieren.

Somit sind die Häufungspunkte von    .