TU Wien:Analysis UE (diverse)/Übungen SS19/Beispiel 53

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Sei die Folge (a_n)_{n\in \mathbb N} rekursiv gegeben durch a_0=0 und

a_{n+1}=a_n+\frac{n}{(n+1)!}

(n\geq 0)

Man zeige (mit Hilfe vollständiger Induktion)

a_n=1-\frac{1}{n!}

und bestimme den Grenzwert.

Angabe

Induktionsanfang:

n=0: 0=1-\frac{1}{0!}=0

n=1: 0+\frac{1}{2!}=\frac{1}{2}=1-\frac{1}{2!}

Induktionsschritt:

Jetzt setzen wir in der rekursiven Definition der Folge für a_n die Induktionsbehauptung a_n=1-\frac{1}{n!} ein.

Das vergleichen wir mit der Induktionsbehauptung für a_{n+1}:

1-\frac{1}{n!}+\frac{n}{(n+1)!}=1-\frac{1}{(n+1)!}

-\frac{(n+1)!}{n!}+\frac{n(n+1!)}{(n+1)!}=-1

n+1-n=1

1=1

Die Ind.behauptung a_n=1-\frac{1}{n!} ist also richtig.

Grenzwert:

\lim_{n \to \infty } (1-\frac{1}{n!}) =1

--Slaybert (Diskussion) 14:23, 14. Apr. 2013 (CEST)


BSP im Informatik-Forum
Bsp 54

--Slaybert (Diskussion) 06:43, 16. Apr. 2013 (CEST)