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TU Wien:Analysis UE (diverse)/Übungen SS19/Beispiel 55

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Man bestimme alle Häufungspunkte, sowie \limsup_{n \to \infty} a_n und \liminf_{n \to \infty} a_n der Folge a_n:


a_n = (-1)^n n^{(-1)^\frac{n(n+1)}{2} + 1} + \cos n\pi/2

LösungsvorschlagBearbeiten

Der Teil   ist abwechselnd -1 (für ungerade n) und 1 (für gerade n).

Der Teil   wiederholt sich alle vier Glieder:  

Der Teil   wiederholt sich ebenfalls alle vier Glieder:  

Ähnlich wie bei Beispiel 56 unterscheiden wir daher vier Fälle für  

Für   ist  . Diese Teilfolge konvergiert gegen  .

Für   ist  . Diese Teilfolge konvergiert gegen  .

Für   ist  . Diese Teilfolge konvergiert gegen  .

Für   ist  . Diese Teilfolge konvergiert gegen  .

Daher gilt  ,  , und die Häufungspunkte sind  

Anmerkung: ich glaub in der angabe ist ein fehler, Der Teil   sollte doch   sein

EDIT: Korrigiert