Difference between revisions of "TU Wien:Analysis UE (diverse)/Übungen SS19/Beispiel 56"

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Siehe auch Matheboard: [http://www.matheboard.de/archive/384824/thread.html]
 
Siehe auch Matheboard: [http://www.matheboard.de/archive/384824/thread.html]
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Nein, es sind nicht alle rellen Zahlen Häufungspunkte, da wir mit der Folge nicht alle Indizes darstellen, sondern nur die natürlichen Zahlen. Diese liefern konkrete Punkte, die entweder direkt auf -1 liegen oder gegen +- unendlich konvergieren.
  
 
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Latest revision as of 18:22, 23 March 2020

Man bestimme alle Häufungspunkte, sowie \limsup_{n \to \infty} a_n und \liminf_{n \to \infty} a_n der Folge a_n:

a_n = \frac{n^2 \cos \frac{n \pi}{2} + 1}{n + 1} + \sin \frac{(2n + 1)\pi}{2}

Lösungsvorschlag[edit]

Hier ist wichtig zu wissen, dass \sin und \cos sich nach 2 \pi wiederholen. Das heißt, es reicht, eine Fallunterscheidung für 4 Fälle zu machen, und deckt damit die Folge vollständig ab.

n = 0: \cos(n \frac{\pi}{2}) = 1, \sin\frac{(2n + 1)\pi}{2} = 1

n = 1: \cos(n \frac{\pi}{2}) = 0, \sin\frac{(2n + 1)\pi}{2} = -1

n = 2: \cos(n \frac{\pi}{2}) = -1, \sin\frac{(2n + 1)\pi}{2} = 1

n = 3: \cos(n \frac{\pi}{2}) = 0, \sin\frac{(2n + 1)\pi}{2} = -1

n = 0 \mod 4[edit]

a_n = \frac{n^2 1 + 1}{n + 1} + 1

\lim_{n \to \infty} a_n = \lim_{n \to \infty} \frac{n (n + \frac{1}{n})}{n (1 + \frac{1}{n})} + 1= 
\lim_{n \to \infty} \frac{n + \frac{1}{n}}{1 + \frac{1}{n}} + 1 = \frac{\infty + 0}{1 + 0} + 1 = \infty

n = 1 \mod 4[edit]

a_n = \frac{n^2 0 + 1}{n + 1} - 1

\lim_{n \to \infty} a_n = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n + 1} - 1 = -1

-1 ist also ein Häufungspunkt.

n = 2 \mod 4[edit]

a_n = \frac{n^2 (-1) + 1}{n + 1} + 1

\lim_{n \to \infty} a_n = \lim_{n \to \infty} \frac{-1 + \frac{1}{n^2}}{\frac{1}{n} + \frac{1}{n^2}} = - \infty

- \infty ist also ein (unechter) Häufungspunkt. [meiner Meinung nach genauso auszuführen wie bei n=0]

n = 3 \mod 4[edit]

a_n = \frac{n^2 0 + 1}{n + 1} - 1

\lim_{n \to \infty} a_n = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n + 1} - 1 = -1

-1 ist also ein Häufungspunkt.

Zusammengefasst gilt also:

  • \limsup_{n \to \infty} a_n = \infty
  • \liminf_{n \to \infty} a_n = - \infty
  • Häufungspunkte: -\infty, -1, \infty

-- Berti933 (Diskussion) 16:59, 15. Apr. 2015 (CEST)

Anmerkung

Nachdem die Folge periodisch auf und ab geht und die Amplitude stetig steigt (uneigentlich konvergent gegen + und - unendlich), müssten doch sämtliche reelle Zahlen Häufungswerte sein?

Siehe auch Matheboard: [1]

Nein, es sind nicht alle rellen Zahlen Häufungspunkte, da wir mit der Folge nicht alle Indizes darstellen, sondern nur die natürlichen Zahlen. Diese liefern konkrete Punkte, die entweder direkt auf -1 liegen oder gegen +- unendlich konvergieren.