Difference between revisions of "TU Wien:Analysis UE (diverse)/Übungen SS19/Beispiel 58"

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<math>N(10) = 10:\; a_{10} = \frac{20.010}{1.010} \approx 19,8 > 10</math> ..Passt<br>
 
<math>N(10) = 10:\; a_{10} = \frac{20.010}{1.010} \approx 19,8 > 10</math> ..Passt<br>
 
usw.<br>
 
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Hinweis:
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Berechnung für N(A) müsste wie folgt sein, um der Ungleichung N(A) > A zu entsprechen:
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<math>N(A) = \lfloor A \rfloor +1</math><br>
  
 
==Alternativer Lösungsansatz (nur eine Idee..)==
 
==Alternativer Lösungsansatz (nur eine Idee..)==

Latest revision as of 17:40, 23 March 2020

Man zeige, dass die Folge a_n uneigentlich konvergiert, indem man zu jedem A > 0 ein N(A) angebe, sodass für n > N(A) immer a_n > A gilt.

a_n=\frac{2n^4+n}{n^3+n}

Lösungsvorschlag[edit]


Theoretische Überlegungen:
Wir müssten a_n > A nach n auflösen, um die Funktion N(A) darstellen zu können.
Das geht aber direkt nicht wirklich, also müssen wir uns etwas überlegen.
N(A) = n_0 liefert einen index n_0 ab dem a_n für alle indizes n > n_0 die eingesetzt werden, auf jeden Fall ein größeres Ergebnis als A liefert. Das heißt, wenn wir eine uneigentlich konvergente Folge b_n finden von der wir zeigen können, dass sie weniger schnell (uneigentlich) konvergiert, und würden wir mit dieser ein M(A) = m_0 ermitteln, wäre a_n, für jedes eingesetzte n > m_0, auf jeden Fall größer als A, da wir ja zeigen konnten, dass gilt:
a_n \geq b_n > A
Wenn wir also b_n > A verwenden um N(A) zu berechnen gilt dieses N(A) folglich jedenfalls auch für a_n.

Konkret für dieses Beispiel:
Nehmen wir für b_n = n an. Wir müssen zeigen dass a_n \geq b_n ist.
\frac{2n^4 + n}{n^3 + n} \geq n
\Leftrightarrow 2n^3 + 1 \geq n^3 + n
\Leftrightarrow n^3 + 1 \geq n
\Leftrightarrow n^2 + \frac{1}{n} \geq 1 ..Passt

Also können wir die Ungleichung n > A aufstellen und N(A) berechnen, da die Ungleichung schon von vornherein nach n aufgelöst ist, müssen wir nichts weiter tun.
N(A) = \lceil A \rceil

Wie sich leicht ausprobieren lässt, liefert a_n für jedes n > N(A) einen Wert > A. (für A > 0)
N(\frac{1}{10}) = 1:\; a_1 = \frac{3}{2} > 1/10 ..Passt
N(1) = 1:\; a_1 = \frac{3}{2} > 1 ..Passt
(n=1 und N(1) = 1? Dafür muss es doch gar nicht gelten. In der Angabe steht ja "sodass für n > N(A)" 1 > 1 ist nicht wahr - oder versteh ich was falsch? Das würd ich mir einfach schenken.) <-- n und A ist NICHT das selbe (Es heißt N(A), nicht N(n)) .. n muss nur größer als N(A) sein, sonst gibt es da keinen Bezug

N(2) = 2:\; a_2 = \frac{34}{10} = 3,4 > 2 ..Passt
N(10) = 10:\; a_{10} = \frac{20.010}{1.010} \approx 19,8 > 10 ..Passt
usw.

Hinweis: Berechnung für N(A) müsste wie folgt sein, um der Ungleichung N(A) > A zu entsprechen: N(A) = \lfloor A \rfloor +1

Alternativer Lösungsansatz (nur eine Idee..)[edit]

kann ich nicht einfach n^3 aus a_n herausheben und kürzen, um dann auf \frac{2n+(1/n^2)}{1+(1/n^2)} > A zu kommen? und wenn ich das hab seh ich doch dass die 1/n^2 teile ja vernachlässigbar sind und gegen 0 gehn. dadurch komme ich dann auf 2n > A \Rarr n > A/2 \Rarr N(A) = ceil(A/2)

und das reicht dann schon? das ist btw. nur eine schnelle Idee und ich hab keine Ahnung ob das zulässig ist oder nicht, bitte verbessert mich:)