TU Wien:Analysis UE (diverse)/Übungen SS19/Beispiel 81

Man untersuche die folgende Reihe auf Konvergenz:

$\sum_{n\ge 0}\frac{3^{n^2}}{n^n}$

Hilfreiches

Wurzelkriterium

Wenn $\sqrt[n]{|a_n|}\leq q<1\;\forall n\geq n_0$, dann ist $\sum a_n$ absolut konvergent.

Falls hingegen $\sqrt[n]{|a_n|}\geq 1\;\forall n\geq n_0$, dann ist $\sum a_n$ divergent.   (Satz 4.50)

Lösungsvorschlag von DerPizzabäcker

✅ Bestätigt von Clemens Müllner (SS19)

Da wir hier n im Exponenten haben bietet sich das Wurzelkriterium an:

$\forall n\geq 1: \sqrt[n]{\left|\frac{3^{n^2}}{n^n}\right|} = \frac{\sqrt[n]{3^{n\cdot n}}}{\sqrt[n]{n^n}} = \frac{3^n}{n} \geq 1$

Daher ist diese Reihe divergent.

Dass $\frac{3^n}{n} \geq 1$ gilt könnte man noch mittels vollständiger Induktion zeigen. --DerPizzabäcker 20:25, 25. Mär. 2019 (CET)