TU Wien:Analysis UE (diverse)/Übungen SS19/Beispiel 81: Unterschied zwischen den Versionen

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K
(Lösungsvorschlag mittels Wurzelkriterium hinzugefügt)
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<math>\sum_{n\ge 0}\frac{3^{n^2}}{n^n}</math>
 
<math>\sum_{n\ge 0}\frac{3^{n^2}}{n^n}</math>
 
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{{ungelöst}}
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== Hilfreiches ==
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{{Baustein:Wurzelkriterium}}
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== Lösungsvorschlag von [[Benutzer:Derpizzabäcker|DerPizzabäcker]] ==
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Da wir hier n im Exponenten haben bietet sich das Wurzelkriterium an:
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<math>
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\begin{align}
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\forall n\geq 1:
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\sqrt[n]{|\frac{3^{n^2}}{n^n}|}
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= \frac{\sqrt[n]{3^{n*n}}}{\sqrt[n]{n^n}}
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= \frac{3^n}{n} \geq 1
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\end{align}
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</math>
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Daher ist diese Reihe divergent.
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--[[Benutzer:Derpizzabäcker|DerPizzabäcker]] 20:25, 25. Mär. 2019 (CET)

Version vom 25. März 2019, 21:26 Uhr

Man untersuche die folgende Reihe auf Konvergenz:

\sum_{n\ge 0}\frac{3^{n^2}}{n^n}

Hilfreiches

Wurzelkriterium[Bearbeiten, WP, 4.50 Satz]

Wenn \sqrt[n]{|a_n|}\leq q<1\;\forall n\geq n_0, dann ist \sum a_n absolut konvergent. Falls hingegen \sqrt[n]{|a_n|}\geq 1\;\forall n\geq n_0, dann ist \sum a_n divergent.

Lösungsvorschlag von DerPizzabäcker

Da wir hier n im Exponenten haben bietet sich das Wurzelkriterium an:

Fehler beim Parsen (Das Formelbild kann auf dem Dateisystem nicht gespeichert werden.): \begin{align} \forall n\geq 1: \sqrt[n]{|\frac{3^{n^2}}{n^n}|} = \frac{\sqrt[n]{3^{n*n}}}{\sqrt[n]{n^n}} = \frac{3^n}{n} \geq 1 \end{align}

Daher ist diese Reihe divergent. --DerPizzabäcker 20:25, 25. Mär. 2019 (CET)