TU Wien:Analysis UE (diverse)/Übungen SS19/Beispiel 89

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Es sei \lim_{n \to \infty} a_n = a. Man bestimme den Grenzwert der Reihe \sum_{n \ge 0}\left( a_{n+1} - a_n \right).

Lösungsvorschlag

Da es eine Summe über eine Differenz von Folgengliedern ist, könnte es sich um eine Teleskopsumme handeln, womit sich relativ leicht der Grenzwert bestimmen lassen könnte.

Durch Aufstellen, Umordnen und Wegkürzen ergibt sich eine einfache Partialsummenfolge:
\begin{align}
s_n &= \sum_{k=0}^n \left( a_{k+1} - a_k \right) \\
&= (a_{0+1} - a_0) + (a_{1+1} - a_1) + (a_{2+1} - a_2) + \dots + (a_{n+1} - a_n) \\
&= -a_0 + \underbrace{(a_1 - a_1) + (a_2 - a_2) + \dots + (a_n - a_n)}_0 + a_{n+1} \\
&= -a_0 + a_{n+1}
\end{align}

Grenzwertbildung der Partialsumenfolge mit der Ersetzung \lim a_{n+1} = \lim a_n = a ergibt die Lösung:
\begin{align}
\lim_{n \to \infty} s_n &= \lim_{n \to \infty} (-a_0 + a_{n+1}) \\
&= -\underbrace{\lim_{n \to \infty} a_0}_{a_0} + \underbrace{\lim_{n \to \infty} a_{n+1}}_a \\
&= -a_0 + a \\
&= a - a_0
\end{align}