Difference between revisions of "TU Wien:Analysis UE (diverse)/Übungen SS19/Beispiel 96"

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<math>\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n}{2n-1}(x-1)^n </math>
 
<math>\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n}{2n-1}(x-1)^n </math>
 
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== Lösungsvorschlag von Yousif ==
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<math>\sum_{n=1}^\infin \frac{1}{2n-1}(x-1)^n</math>
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<math>x_0=1, \quad a_n = \frac{1}{2n-1}</math>
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'''Konvergenzradius mittels Quotientenkriterium in der Limesform:'''
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<math>\lim_{n\to\infin}\left|\frac{\frac{1}{2(n+1)-1}}{\frac{1}{2n-1}}\right|=\lim_{n \to \infin}\left|\frac{2n-1}{2(n+1)-1}\right|=\lim_{n \to \infin}\left|\frac{2n-1}{2n+1}\right|=\lim_{n \to \infin}\left|\frac{n(2-\frac{1}{n})}{n(2+\frac{1}{n})}\right|=\lim_{n \to \infin}\left|\frac{2-\frac{1}{n}}{2+\frac{1}{n}}\right|=\left|\frac{2-0}{2+0}\right|=1</math>
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<math>R=\frac{1}{1}=1</math>
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<math>|x-1|<1 \implies \text{ konvergiert (absolut)} </math>
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<math>|x-1|>1 \implies \text{ divergiert }</math>
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'''Randfälle:'''
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<math>x=0:</math>
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<math>\sum_{n=1}^\infin \frac{1}{2n-1}(-1)^n</math>
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Nach dem Konvergenzkriterium von Leibniz ist die Reihe (bedingt) konvergent.
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<math>x=2:</math>
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<math>\sum_{n=1}^\infin \frac{1}{2n-1}</math>
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Nach dem Minorantenkriterium ist die Reihe divergent.
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'''Zusammenfassung:'''
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<math>\sum_{n=1}^\infin \frac{1}{2n-1}(x-1)^n:= \begin{cases} \text{ divergent für } & x < 0 \\ \text{ bedingt konvergent für } & x = 0\\ \text{ absolut konvergent für } & 0 < x < 2 \\ \text{ divergent für } & x = 2 \\ \text{ divergent für } & x > 2 \\ \end{cases}</math>
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Latest revision as of 10:56, 25 April 2021

Man untersuche, für welche die folgende Funktionenreihe konvergiert:

Lösungsvorschlag von Yousif[edit]

Konvergenzradius mittels Quotientenkriterium in der Limesform:

Randfälle:

Nach dem Konvergenzkriterium von Leibniz ist die Reihe (bedingt) konvergent.

Nach dem Minorantenkriterium ist die Reihe divergent.

Zusammenfassung: