Editing TU Wien:Analysis UE (diverse)/Übungen SS19/Diff SS18

 Analysis für Informatik und Wirtschaftsinformatik
                                    Übungsbeispiele
 1) Man gebe eine Folge reeller Zahlen an, die als Häufungspunkte genau alle natürlichen
 Zahlen hat. <span style="color:green;">(Hinweis: Das n-te Folgenglied muss nicht explizit angegeben werden.)</span>
 2) Man gebe eine Folge reeller Zahlen an, die als Häufungspunkte genau alle ganzen Zahlen
 hat. <span style="color:green;">(Hinweis: Das n-te Folgenglied muss nicht explizit angegeben werden.)</span>
 3) Gibt es eine Folge reeller Zahlen, die als Häufungspunkte genau alle rationalen Zahlen
 hat?
 4) Man finde alle Häufungspunkte der Folge an = (−1)n + cos nπ
                                                               2 (n ≥ 0).
 5) Man finde alle Häufungspunkte der Folge an = sin nπ
                                                       2 + (−1)
                                                                n(n+1)/2 (n ≥ 0).
 
 6) Man finde alle Häufungspunkte der Folge
                                  √
                                    n · cos nπ
                                               �
                                             2 �
                             an = √          <span style="color:green;">nπ</span> ,             (n ≥ 1).
                                    n + sin <span style="color:red;">nπ2</span><span style="color:green;">2</span>
                                     sin n
 7) Man zeige, dass die Folge an =     n (n ≥      1) nur 0 als Häufungspunkt hat.
                                     sin n+cos n
 8) Man zeige, dass die Folge an =        √
                                           n
                                                       (n ≥ 1) nur 0 als Häufungspunkt hat.
 
 9–12) Man zeige, dass die Folge an konvergiert, indem man zu beliebigem ε &gt; 0 ein N (ε)
 angebe.
         sin n + cos n                                 sin n
 9) an =      √        , n≥1                 10) an = √  4
                                                             , n≥1
                n                                          n<span style="color:red;">√</span>
 11) an = lnnn <span style="color:green;">, n ≥ 1</span>
 <span style="color:green;">                                                                 √</span>
 Anleitung: Zeigen Sie, dass aus ln x &lt; x2 die Ungleichung ln(n) &lt; n folgt. Die erste
 Ungleichung darf ohne Beweis verwendet werden.<span style="color:red;">n</span>
 12) an = <span style="color:red;">4n</span><span style="color:green;">4nn , , n ≥ 0</span>
 Anleitung: Zeigen Sie zunächst n &lt; 2n .
 13) Sei (cn )n∈N eine beliebige reelle Folge. Man zeige, dass es zwei beschränkte Folgen
 (an )n∈N , (bn )n∈N gibt, die cn = abnn für alle n ∈ N erfüllen.
 14) Sei (cn )n∈N eine beliebige reelle Folge. Man zeige, dass es zwei Nullfolgen (an )n∈N ,
 <span style="color:teal;">@@ -54,14 +54,14 @@</span> liche Bedingung bn 6= 0 für alle n ∈ N“, die eigentlich für die Existenz
                  ”
 notwendig ist, keine große Rolle?
 18) Sei (an )n∈N eine Folge mit limn→∞ an = a. Zeigen Sie, dass limn→∞ |an | = |a|.
 19) Seien (an )n∈N und (bn )n∈N konvergente Folgen. Zeigen Sie, dass aus an &lt; bn <span style="color:green;">für alle</span>
 <span style="color:green;">n ∈ N</span> immer limn→∞ an ≤ limn→∞ bn folgt. Läßt sich hier ≤ durch &lt; ersetzen?
 
                                                   1
                                                          1              <span style="color:red;">+</span><span style="color:green;">πn</span>
                                                                                  (3 − n5 <span style="color:red;">) cos      πn</span><span style="color:green;">).</span>
                                                                              �
 20) Für alle n ∈ N mit n ≥ 1 sei an = 1 +               n2   <span style="color:green;">+ cos</span>      2<span style="color:red;">.</span>
 
   1. Gelten für die Umgebung U = U1 (3) = (2, 4) von 3 die folgenden beiden Aussagen?
 
 <span style="color:teal;">@@ -70,7 +70,7 @@</span> limn→∞ an ≤ limn→∞ bn folgt. Läßt sich hier ≤ durch &lt; ersetzen?
 
   2. Geben Sie alle Häufungspunkte der Folge (an )n≥1 an.
 
   3. Geben Sie eine Folge natürlicher Zahlen n1 &lt; n2 &lt; . . . an, <span style="color:red;">sodass</span><span style="color:green;">so dass</span> (ank )k∈N eine
      monotone Teilfolge von (an )n≥1 ist.
 
   4. Warum konvergieren alle monotonen Teilfolgen von (an )n≥1 ?
 <span style="color:teal;">@@ -78,41 +78,42 @@</span> limn→∞ an ≤ limn→∞ bn folgt. Läßt sich hier ≤ durch &lt; ersetzen?
 
 21–27) Man untersuche die Folge an (mit Hilfe vollständiger Induktion) auf Monotonie
 und Beschränktheit und bestimme gegebenenfalls mit Hilfe der bekannten Rechenregeln für
 Grenzwerte den Grenzwert limn→∞ an . Überlegen Sie sich <span style="color:red;">dabei zuerst,</span><span style="color:green;">auch,</span> warum die Folge <span style="color:red;">wohldefiniert</span><span style="color:green;">wohldefi-</span>
 <span style="color:green;">niert</span> ist für alle n ≥ 0.
                        √
 21) a0 = 3, an+1 = 2an − 1 für alle n ≥ 0.
                        √
 22) a0 = 4, an+1 = 6an − 9 für alle n ≥ 0.
                        √
 23) a0 = 2, an+1 = 4an − 3 für alle n ≥ 0.
                        p √
 24) a0 = 2, an+1 = 4 · an − 3 für alle n ≥ 0. Hinweis: x4 −4x+3 = (x−1)2 (x2 +2x+3).
                        p √
 25) a0 = 2, an+1 = 2 · an − 3 für alle n ≥ 0. Hinweis: x4 −2x+1 = (x−1)(x3 +x2 +x−1).
                        √
 26) a0 = 2, an+1 = 3 2an − 1 für alle n ≥ 0.
                           √
 27) a0 = 1/2, an+1 = 3 2an − 1 für alle n ≥ 0.
 28) Man untersuche nachstehende Folgen in Hinblick auf Monotonie, Beschränktheit und
 mögliche Grenzwerte. Ferner veranschauliche man die Folgen auf der reellen Zahlengeraden:
 
  (a) (an ) = 0, 1, <span style="color:red;">12</span><span style="color:green;">21</span> , 3, 41 , 5, 61 , . . . , 2n + 1, 2n+2
                                                           1
                                                              ,...
                           n+4
  (b) <span style="color:red;">(bn )</span><span style="color:green;">(bn)</span> mit bn =        n−1   für n ≥ 2
 
  (c) (cn ) mit cn = (−1)n n+1
                            n für n ≥ 1
 
                                                                                               √
 29) Sei 0 &lt; a0 &lt; c und (an )n∈N eine Folge positiver reeller Zahlen mit an+1 =                 an c.
                                                                √
  (a) Zeigen Sie, dass aus 0 &lt; a &lt; c stets a &lt;                      ac &lt; c folgt.
 
  (b) Folgern Sie aus (a) mittels Induktion nach n, dass <span style="color:green;">an definiert ist und dass</span> 0 &lt; an &lt; c
      für alle n ∈ N. Überlegen Sie sich <span style="color:red;">dabei zuerst,</span><span style="color:green;">auch,</span> warum die Folge wohldefiniert ist für alle
      n ≥ 0.
 
  (c) Zeigen die an irgendein Monotonieverhalten? Wenn ja, welches?
 
 <span style="color:teal;">@@ -128,155 +129,147 @@</span> n = 0, 1, 2, . . . . Man berechne die Folgenglieder an für n = 0, . . . , 10,
 in Bezug auf Wohldefiniertheit, Monotonie, Beschränktheit sowie Konvergenz und berechne
 – wenn möglich – den Grenzwert.
 
 31–46) Man untersuche die Folge (an )n∈N auf <span style="color:green;">Wohldefiniertheit und</span> Konvergenz und <span style="color:red;">bestimme</span><span style="color:green;">be-</span>
 <span style="color:green;">stimme</span> gegebenfalls den Grenzwert. <span style="color:red;">(Ohne Verwendung der Regel von de l’Hospital.)</span><span style="color:green;">(Die an sind für fast alle n ∈ N definiert.)</span>
              2n3 + 2n − 3                                                 4n2 + 5n − 3
 31) an =                                                  32) an =
              4n3 + n2 + 5                                               <span style="color:red;">2n3 +</span><span style="color:green;">2n3+</span> 3n2 − n + 7
              3n2 − 5n + 7                                               2n3 − 5n2 + 7
 33) an =                                                  34) an =
              3n3 − 5n + 7                                               2n3 − 5n + 7
                            9                                                          11
                2n2 − 5n 4 + 7                                           3n2 − 4n 3 + n−1
 35) an =                    3                             36) an =                         3
         7n3 + 2n− 2 + 1                                             2n4 + 2n− 2 + 1
         √        √
                                                                    q
                                                                          √     √
 37) an = n + 1 − n                                        38) an = n + n − n
                                                                    √        √
              n!                                                      n+2− n
 39) an =                                                  40) an =
              nn
                                                                         q
                                                                               3   1
                                                                                   n
                             2 +2
                 sin n
                         + nn2 −n                                         n2 −4      cos n
                (n−2)2                                                   4n2 −7n − 2n−5
 41) an =             3n2 +2
                                                           42) an =           3n2 +2
                      n2 +n                                                   (n−3)2
 
                                                                    qn
 43) an = n q n (−1 &lt; q &lt; 0)                               44) an =     (q &gt; 1)
                                                                    n
          n2                                                         <span style="color:red;">n2</span><span style="color:green;">2</span>
           p                                                        <span style="color:green;">n</span>
                                                                     p
 45) an =      n5 + 1                                      46) an =    n3 + n2
 (Hinweis zu Bsp. 45) und Bsp. 46): Man verwende den als bekannt vorausgesetzten Grenz-
              √
 wert limn→∞ n n = 1.)
 
 47–50) Man untersuche die Folge (an )n≥1 auf Konvergenz und bestimme gegebenenfalls den
 Grenzwert, indem man zwei geeignete Folgen (bn )n≥1 , (cn )n≥1 mit bn ≤ an ≤ cn finde.
 47)                                                       48)
                 1      1           1                                    1        1               1
       an =         +       <span style="color:red;">2   + ··· +</span><span style="color:green;">+···+</span> 2                            an =           +         + <span style="color:red;">···</span><span style="color:green;">···+</span>
 <span style="color:green;">             n2</span> + <span style="color:green;">1</span> n2 <span style="color:red;">+1 n +2</span><span style="color:green;">+ 2</span>      n +n                                 (n + <span style="color:red;">1) 2</span><span style="color:green;">1)2</span> (n + <span style="color:red;">2) 2</span><span style="color:green;">2)2</span>        (n + n)2
 
 49)                                                       50)
              1                 1                    1                  n2 + 1 n2 + 2       n2 + n
  an = √               +√                + <span style="color:red;">··· +</span><span style="color:green;">···+</span> √                an =         + <span style="color:green;">3</span>     + <span style="color:red;">· · · +</span>
 <span style="color:red;">           2</span><span style="color:green;">···+ 3</span>
 <span style="color:green;">          n2     +1        n2      +2              n2+n                 3</span>
                                                                        n +1<span style="color:red;">2</span> n +2<span style="color:red;">2</span>           n +n<span style="color:red;">n3 + 1 n3 + 2           n3 + n</span>
 
 51) Zeigen  Sie: Sind a1 , . . . , am ≥ 0 fest gewählte reelle Zahlen und ist (bn )n∈N durch
 bn = n an1 + · · · + anm definiert, so gilt lim bn = max{a1 , . . . , <span style="color:red;">am }.</span><span style="color:green;">am}.</span>
      p
 
 
 
 
                                                           3
 52) Sei die Folge (an )n∈N rekursiv gegeben durch a0 = 0 und
                                                        1
                                    an = an−1 +                      (n ≥ 1).
                                                     n(n + 1)
                                                                          <span style="color:green;">1</span>
 Man zeige (mit Hilfe vollständiger Induktion)<span style="color:red;">1</span> an = 1 −                 n+1   und bestimme den Grenzwert.
 53) Sei die Folge (an )n∈N rekursiv gegeben durch a0 = 0 und
                                                         n
                                    an+1 = an +                     (n ≥ 0).
                                                      (n + 1)!
 
 Man zeige (mit Hilfe vollständiger Induktion)
                                                              1
                                                   an = 1 −
                                                              n!
 und bestimme den Grenzwert.
 54) Bestimmen Sie den Grenzwert der Folge
                                       1   2         n
                               an =<span style="color:red;">2</span>      +<span style="color:red;">2</span>   + ··· + 2,                   n ≥ 1,
                                       <span style="color:red;">n    n</span><span style="color:green;">n2 n2</span>        n
 für n → ∞.
 
 55–56) Man bestimme alle Häufungspunkte, sowie lim sup an und lim inf an der Folge an :
                                                                   n→∞                n→∞
 
 55)                                                    56)
                          n(n+1)
                                              nπ                         n2 cos nπ
                                                                                 2 +1       (2n + 1)π
       an = (−1)n n(−1)      2   +1
                                      + cos                      an =                 + sin
                                               2                             n+1                2
 
 
 57–58) Man zeige, dass die Folge an uneigentlich konvergiert, indem man zu jedem A &gt; 0
 ein N (A) angebe, sodass für n &gt; N (A) immer an &gt; A gilt.
 57)                                                    58)
                          n3 + 1                                                      2n4 + n
                  an =                                                         an =
                          n−1                                                          n3 + n
 
 59) Man gebe zwei reelle Nullfolgen (an )n∈N , (bn )n∈N an, die
                                      an                                 an
                              lim        =0          und           lim       = +∞
                             n→∞      bn                         n→∞     <span style="color:red;">b2</span>
 <span style="color:red;">                                                                      n</span><span style="color:green;">b2n</span>
 
 erfüllen.
 60) Man gebe zwei reelle Folgen (an )n∈N , (bn )n∈N mit limn→∞ an = limn→∞ bn = +∞ an,
 die
                       an                           a2
                  lim      =0      und         lim n = +∞       erfüllen.
                 n→∞ bn                       n→∞ bn
 
 
 
 
                                                        4
 61–66) Man bestimme die Partialsummenfolge und ermittle dann gegebenenfalls den Grenz-
 wert der Reihe. (Hinweis: Man stelle die Summanden als Differenz bzw. Summe passender
 Ausdrücke dar.)
       ∞                                             ∞
       X       3                                     X       1
 61)                                           62)
       <span style="color:green;">n=1</span>
           n(n + 2)                                  <span style="color:green;">n=1</span>
                                                         n(n + 1)<span style="color:red;">n=1                                           n=1</span>
       ∞                                              ∞
       X      n                                      X    n+1
 63)                                           64)
       <span style="color:green;">n=1</span>
           (n + 1)!                                  <span style="color:green;">n=1</span>
                                                         (n + 2)!<span style="color:red;">n=1                                           n=1</span>
       ∞                                             ∞
       X              2n + 1<span style="color:red;">n</span>                         X                 2n + 5
 65)         <span style="color:red;">(−1)</span><span style="color:green;">(−1)n</span>                             66)         (−1)n
       <span style="color:green;">n=1</span>
                     n(n + 1)                        <span style="color:green;">n=1</span>
                                                                   (n + 2)(n + 3)<span style="color:red;">n=1                                           n=1</span>
 67) Seien P1 und P2 beliebige Punkte der Zahlengeraden. Man halbiere fortgesetzt die
 Strecke P1 P2 in P3 , die Strecke P2 P3 in P4 , P3 P4 in P5 , usw. und bestimme die Lage von
 Pn für n → ∞.
 <span style="color:teal;">@@ -284,20 +277,20 @@</span> Pn für n → ∞.
 68–69) Man berechne unter Benützung der komplexen Zahlen und der de Moivreschen
 Formel (cos x + i sin x)n = cos(nx) + i sin(nx) den Grenzwert der Reihe:
      X sin nπ                                       X cos nπ
               3                                             3
 68)         <span style="color:green;">n</span>
                                                69)
           <span style="color:red;">2n</span><span style="color:green;">2</span>                                              2n
       n≥0                                           n≥0
             ∞                               ∞
             X 1     π2                      X     1       π2
 70) Es gilt     <span style="color:green;">2</span>
                   =    . Man folgere daraus             =    .
               <span style="color:red;">n2</span><span style="color:green;">n</span>     6                         (2n − 1)2   8
               n=1                             n=1
 
 <span style="color:red;">71) Für n = 1, 2, 3, . . . sei an = n12 , bn = n(n+1)</span>
                                                    1
 <span style="color:green;">71) Für n = 1, 2, 3, . . . sei an = n12 , bn = n(n+1)</span> , cn = n1 und dn =       1
                                                                                n+1 .   Weiters sei
 A = n=1 an , B = n=1 bn , C = n=1 cn und D = ∞
     P∞              P∞              P∞                   P
                                                            n=1 dn .
 <span style="color:teal;">@@ -313,24 +306,25 @@</span> A = n=1 an , B = n=1 bn , C = n=1 cn und D = ∞
 
 72–81) Man untersuche die folgenden Reihen auf Konvergenz:
      X 3n2 + 1                                  X      n−2
 72)       <span style="color:green;">3</span>
                                            73)
         <span style="color:red;">5n3</span><span style="color:green;">5n</span> − 2                                     2n3 + 5n − 3
       n≥0                                           n≥0
       Xn+2                                          X n!
 74)                                           75)
              6n                                       nn
       n≥0                                           n≥1
       X 2n2 + 1                                     X         n+3
 76)                                           77)
              n4 + 2                                       7n2 − 2n + 1
       n≥0                                           n≥0
       Xn−1                                          X nn−1
 78)                                           79)
              3n                                            n!
       n≥0                                           n≥1
 
       X (n2 + 1)n                                   X 3n2
 80)       √ n2                                81)
             n                                             nn
       n≥1                                           n≥0
 
 <span style="color:teal;">@@ -338,18 +332,19 @@</span> A = n=1 an , B = n=1 bn , C = n=1 cn und D = ∞
                                              5
 82–85) Man untersuche die folgenden Reihen auf Konvergenz und absolute Konvergenz:
      X (−1)n                                    X (−1)n
 82)      √                                 83)
      n≥0
 <span style="color:red;">n2 +</span>            2
            <span style="color:green;">n +2</span>                                 n≥1
                                                     n3/2 + 5n
       X (−1)n                                                            X     (−1)n
 84)       √                                                     85)
       n≥0
           3
             n+2                                                          n≥0
                                                                              (n + 3)4/3
                                                                     P
 86) Sei an ≥ 0 für alle n ≥ 0 und die Reihe                            n≥0 an        konvergent. Man zeige, dass dann
 auch die Reihe n≥0 a2n konvergiert.
               P
 
 <span style="color:teal;">@@ -371,44 +366,45 @@</span> auch die Reihe n≥0 a3n konvergiert.
 92–95) Man zeige, dass die folgende Funktionenreihen im jeweils angegebenen Bereich kon-
 vergieren:
      X �1�                                       X �2n�               1
 <span style="color:red;">n</span>92)        2 <span style="color:red;">x</span><span style="color:green;">xn</span> ,  |x| &lt; 1                  93)           xn , |x| &lt;
            n                                           n              4
       n≥0                                                                n≥0
       X       z 2n+1                                                     X z 2n
 94)                   ,   z∈C                                   95)             ,           z∈C
             (2n + 1)!                                                     (2n)!
       n≥0                                                                n≥0
 
 96–97) Man untersuche, für welche x ∈ R die folgende Funktionenreihe konvergiert:
       ∞                                                                  ∞
       X       1                                                          X          n
 96)                (x − 1)n                                     97)                      (x + 1)n
             2n − 1                                                                n2 + 1
       n=1                                                                n=1
 98) Man zeige
                              ∞    ∞                       ∞
                              X an X <span style="color:red;">bn</span><span style="color:green;">b n</span>                   X (a + b)n
                                                       =                       ,        a, b ∈ R .
                                       n!         n!                 n!
                              n=0           n=0            n=0
 
 99) Man zeige
                           ∞    ∞                              ∞
                           X an X (−1)n bn                     X (a − b)n
                                                           =                       ,       a, b ∈ R .<span style="color:red;">n!     n!          n!</span>
                           n=0
                                  <span style="color:green;">n!</span>   n=0
                                                  <span style="color:green;">n!</span>           n=0
                                                                          <span style="color:green;">n!</span>
 
 
 100–101) Man untersuche, welche o-, O- und ∼-Beziehungen zwischen den Folgen an , bn
 und cn bestehen.
                           n2                3n4                                                               8n2
 100) an = 2n, bn =         2 ,   cn =      6n2 +1
                                                   .             101) an = n2 , bn =             1
                                                                                                n2
                                                                                                   ,   cn =   4n3 +1
                                                                                                                     .
 
 102–103) Zeigen Sie die folgenden asymptotischen Beziehungen für die Anzahlen der Kom-
 binationen mit bzw. ohne Wiederholungen für festes k und n → ∞:
 <span style="color:teal;">@@ -418,69 +414,50 @@</span> binationen mit bzw. ohne Wiederholungen für festes k und n → ∞:
 102)       ∼                                103)               ∼
         k     k!                                        k          k!
 
                                                                 6
 104) Zeigen Sie die folgende asymptotische Beziehung für die Anzahl der Variationen ohne
 Wiederholungen für festes k und n → ∞:
 
                          [n]k = n(n − 1) · · ·<span style="color:red;">· ·</span> (n − k + 1) = nk + O(nk−1 ).
 
                                                                                √
 105–106) Man zeige mit Hilfe der Stirlingschen Approximationsformel n! ∼ nn e−n 2πn :
 105)                                              106)
                            4n
                 �      �                                      � � � �n r
                     2n                                         3n   27    3
                          ∼√                                       ∼
                      n      πn                                 n     4   4πn
 
 107) <span style="color:red;">Man bestimme</span><span style="color:green;">Bestimmen Sie</span> die                            <span style="color:green;">108) Zeigen Sie:</span>
 Größenordnungen von
                                                      <span style="color:green;">(a) an = O(1) ⇐⇒ (an ) ist beschränkt.</span>
  (a) 2,7n2 − 0,5n + 1,
                                                      <span style="color:green;">(b) an = o(1) ⇐⇒ (an ) ist eine Nullfolge.</span>
  (b) 0,35 · 2n + 5n5 ,
      p
  (c) 1 + 1,1 n2 .<span style="color:red;">108) Man zeige:</span>
 
 <span style="color:red;"> (d) an = O(1) ⇔ (an ) beschränkt, und</span>
 
 <span style="color:red;"> (e) an = o(1) ⇔ (an ) Nullfolge.</span>
 
 <span style="color:red;">109) Man zeige mit Hilfe der Eulerschen Formeln den Summensatz</span>
 
 <span style="color:red;">                          cos(u + v) = cos(u) cos(v) − sin(u) sin(v).</span>
 
 <span style="color:red;">110) Man zeige mit Hilfe der Eulerschen Formeln den Summensatz</span>
 
 <span style="color:red;">                          cos(u − v) = cos(u) cos(v) + sin(u) sin(v).</span>
 
 <span style="color:red;">111) Man zeige mit Hilfe der Eulerschen Formeln den Summensatz</span>
 
 <span style="color:red;">                          sin(u − v) = sin(u) cos(v) − cos(u) sin(v).</span>
 
 <span style="color:red;">112) Man zeige mit Hilfe der Eulerschen Formeln den Summensatz</span>
 
 <span style="color:red;">                          sin(u + v) = sin(u) cos(v) + cos(u) sin(v).</span>
 
 <span style="color:green;">109–112) Man zeige mit Hilfe der Eulerschen Formeln den angegebenen Summensatz.</span>
 <span style="color:green;">109) cos(u+v) = cos(u) cos(v)−sin(u) sin(v)110) cos(u−v) = cos(u) cos(v)+sin(u) sin(v)</span>
 <span style="color:green;">111) sin(u−v) = sin(u) cos(v)−cos(u) sin(v)112) sin(u+v) = sin(u) cos(v)+cos(u) sin(v)</span>
 113) Mit Hilfe der Rechenregeln für die Exponentialfunktion ex beweise man für den
 natürlichen Logarithmus ln(x) folgende Eigenschaften:
 
                            ln(xy) = ln(x) + ln(y),     ln(xy ) = y ln(x).
 
 114) Mit Hilfe der Rechenregeln für die Exponentialfunktion ex und den natürlichen Loga-
 rithmus ln(x) beweise man für eine beliebige Basis a mit a &gt; 0 und a 6= 1 die Darstellungen
 
                             ax = ex·ln(a) und loga (x) = ln(x)/ ln(a).
 
 
 <span style="color:red;">                                               7</span>
 115–118) Man zeichne den Graphen der Funktion f (x) und bestimme alle Stellen, an denen
 f (x) stetig ist. (sgn(x) = 1 für x &gt; 0, sgn(x) = −1 für x &lt; 0 und sgn(0) = 0.)
 115) f (x) = (x − π/2) sgn(cos x)                 116) f (x) = (x2 − 1) sgn(sin(πx))
                                                   118) f (x) = x sin π3 sgn(x)
                                                                                �
 117) f (x) = x sgn(sin x)
 119) Man skizziere den Verlauf der Funktion f : R \ {0} → R, f (x) = sin(1/x) und
 beweise, dass f (x) an der Stelle x = 0 keinen Grenzwert besitzt, indem man die beiden
 <span style="color:teal;">@@ -488,66 +465,70 @@</span> Folgen xn = 1/(nπ) und xn = 1/(2nπ + π/2) betrachtet.
 
 120–124) Man zeige, dass die folgenden Funktionen stetige Umkehrfunktionen haben und
 bestimme diese:
              1 − x3                                         √<span style="color:red;">7</span>
 120) f (x) =        , <span style="color:red;">D f</span><span style="color:green;">Df</span> = (1, ∞)          121) g(x) = (1 + <span style="color:red;">x)</span><span style="color:green;">x)7</span> , Dg = (0, ∞)
                 x3
              1 − x7                                         √
 122) f (x) =<span style="color:red;">7</span>        , Df = (1, ∞)          123) g(x) = (1 + x)5 , Dg = (0, ∞)
                 <span style="color:red;">x</span><span style="color:green;">x7</span>
 
 <span style="color:green;">                                                 7</span>
             1
 124) f (x) = (ex − <span style="color:red;">e−x ),</span><span style="color:green;">e−x),</span>         Df = R
             2
 125) Man zeige mit Hilfe des Nullstellensatzes, dass die Funktion y = ex/2 − 4x + 1 im
 Intervall [0, 1] sowie im Intervall [6, 7] je eine Nullstelle besitzt. Wie können diese Nullstellen
 näherungsweise berechnet werden?
 126) Man skizziere die Graphen der Funktionen
                                   1
                                           <span style="color:green;">f3 (x) = cos2 x,</span>
                                                                                                    p
   f1 (x) = cos x,    f2 (x) =         ,<span style="color:red;">f3 (x) = cos2 x,</span>                            f4 (x) = | cos x|,   f5 (x) =    | cos x|
                                 cos x
 im Intervall [0, π] und untersuche alle Funktionen auf Stetigkeit und Differenzierbarkeit.
 127) Sei f : [0, a] → R stetig, f (0) = 0, f (a) &gt; a und f (x) 6= x für 0 &lt; x &lt; a. Man zeige,
 dass dann auch f (x) &gt; x für 0 &lt; x &lt; a gilt.
 128) Man zeige, dass es zu jeder stetigen Funktion f : [a, b] → [a, b] wenigstens ein x0 ∈ [a, b]
 mit f (x0 ) = x0 gibt.
 
 129–134) Man untersuche, wo die Funktion f (x) differenzierbar ist und bestimme dort f <span style="color:red;">0</span><span style="color:green;">′</span> (x):
              √
                x2 − 4x + 4                                         �p
                                                                      3
                                                                              �
 129) f (x) = √                              130) f (x) = <span style="color:red;">Arcsin</span><span style="color:green;">arcsin</span>        x2 − 2
                x2 − 5x + 2
              √
                x2 − 4x + 4                                         �p
                                                                      4
                                                                               �
 131) f (x) = √                              132) f (x) = <span style="color:red;">Arccos</span><span style="color:green;">arccos</span>        x2 − 2
                x2 − 6x + 3
              r                                                       r        !
                x2 + 2x + 1                                              x+1
 133) f (x) =                                134)    f (x) = <span style="color:red;">Arctan</span><span style="color:green;">arctan</span>
                x2 − 4x + 3                                              x−1
 
 135–136) Man zeige mittels Differenzieren:
 135)                             r
                                      1−x 1         π
                         <span style="color:red;">Arctan</span><span style="color:green;">arctan</span>          + <span style="color:red;">Arcsinx</span><span style="color:green;">arcsinx</span> = ,                   x ∈ (−1, 1)
                                      1+x 2         4
 
 136)                                         �             �
                                                     x
                          <span style="color:red;">Arcsinx</span><span style="color:green;">arcsinx</span> = <span style="color:red;">Arctan</span><span style="color:green;">arctan</span>        √             ,       x ∈ (−1, 1)
                                                   1 − x2<span style="color:red;">8</span>
 
 137) Zeigen Sie: Sind g1 (x), . . . , <span style="color:red;">gm (x)</span><span style="color:green;">gm(x)</span> differenzierbar und gj (x) 6= 0 für alle j, so gilt
                                    �Q              <span style="color:red;">�0</span>
 <span style="color:red;">                                        m</span><span style="color:green;">�′</span>
                                         m
                                         j=1 gj (x)
                                                         <span style="color:green;">m</span>
                                                         X <span style="color:red;">gj0</span><span style="color:green;">gj′</span> (x)
                                       Qm              =           .
                                         j=1 <span style="color:red;">gj</span><span style="color:green;">g j</span> (x)       gj (x)
                                                         j=1
 
 
 138) Man zeige, dass die Funktion cosh(x) = (ex + e−x )/2 für x ≥ 0 streng monoton wach-
 <span style="color:teal;">@@ -559,6 +540,8 @@</span> der Stelle x0 = 1 streng monoton fallend ist? Machen Sie eine Skizze.
                                                  √
 141) Man diskutiere die Funktion f (x) = sin x + 3 cos x im Intervall I = [0, 2π].
 142) Man diskutiere die Funktion f (x) = sin x − cos x im Intervall I = [0, 2π].
 
                                                     <span style="color:green;">8</span>
 143) Man diskutiere die Funktion f (x) = sin x + cos x im Intervall I = [−π, π].
 144) Man diskutiere die Funktion f (x) = sin x + (sin x)2 (d. h. man bestimme Nullstellen,
 Extremwerte, Wendepunkte, Symmetrieeigenschaften, Periodizität, . . . ) und skizziere den
 <span style="color:teal;">@@ -566,37 +549,35 @@</span> Funktionsgraphen.
 145) Man diskutiere die Funktion f (x) = cos x + (cos x)2 (d. h. man bestimme Nullstellen,
 Extremwerte, Wendepunkte, Symmetrieeigenschaften, Periodizität, . . . ) und skizziere den
 Funktionsgraphen.
                                                        2
 146) Man diskutiere die Funktion f (x) = x2 e−x (d. h. man bestimme Nullstellen, Extrem-
 werte, Wendepunkte, Grenzwerte, Symmetrieeigenschaften, . . . ) und skizziere den Funkti-
 onsgraphen.
                                                    2
 147) Man diskutiere die Funktion f (x) = e−x (d. h. man bestimme Nullstellen, Extrem-
 werte, Wendepunkte, Grenzwerte, Symmetrieeigenschaften, . . . ) und skizziere den Funkti-
 onsgraphen.
                                                                     2
 148) Man diskutiere die Funktion definiert durch f (x) = e−1/x für x 6= 0 und f(0) = 0
 (d. h. man bestimme Nullstellen, Extremwerte, Wendepunkte, Grenzwerte, Symmetrieei-
 genschaften, . . . ) und skizziere den Funktionsgraphen.
                                                    2
 149) Man diskutiere die Funktion f (x) = xe−x (d. h. man bestimme Nullstellen, Extrem-
 werte, Wendepunkte, Grenzwerte, Symmetrieeigenschaften, . . . ) und skizziere den Funkti-
 onsgraphen.
 150) Man diskutiere die Funktion f (x) = e−1/x (d. h. man bestimme Definitionsmen-
 ge, Nullstellen, Extremwerte, Wendepunkte, Grenzwerte, Symmetrieeigenschaften, . . . ) und
 skizziere den Funktionsgraphen.
 151) Sei f : R → R monoton fallend und differenzierbar. Man zeige, dass dann f <span style="color:red;">0</span><span style="color:green;">′</span> (x) ≤ 0
 für alle x ∈ R gilt.
 152) Folgt in Bsp. 151) aus der strengen Monotonie sogar f <span style="color:red;">0</span><span style="color:green;">′</span> (x) &lt; 0 für alle x ∈ R? (Beweis
 oder Gegenbeispiel!)
 153) Sei f : R → R monoton wachsend und differenzierbar. Man zeige, dass dann f <span style="color:red;">0</span><span style="color:green;">′</span> (x) ≥ 0
 für alle x ∈ R gilt.
 154) Folgt in Bsp. 153) aus der strengen Monotonie sogar f <span style="color:red;">0</span><span style="color:green;">′</span> (x) &gt; 0 für alle x ∈ R? (Beweis
 oder Gegenbeispiel!)
 
 <span style="color:red;">                                                  9</span>
 155) Für die Funktion f (x) = x2 und a &lt; b berechne man eine Stelle c im Intervall [a, b],
 für die gilt f <span style="color:red;">0</span><span style="color:green;">′</span> (c) = (f (b) − f (a))/(b − a) (siehe Mittelwertsatz der Differentialrechnung).
 Man interpretiere das erhaltene Ergebnis an Hand des Funktionsgraphen.
 156) Man berechne die ersten 4 Ableitungen der Funktion f (x) = (x + 1)/(x − 1). Können
 Sie allgemein einen Ausdruck für die n-te Ableitung angeben?
 <span style="color:teal;">@@ -608,6 +589,8 @@</span> gemein einen Ausdruck für die n-te Ableitung angeben (Fallunterscheidung nach
 von n mod 4)?
 159) Man leite die unendlichen Reihen für sin(x) und cos(x) durch Entwicklung der beiden
 Funktionen in eine Taylorreihe mit dem Entwicklungspunkt x0 = 0 her.
 
                                                <span style="color:green;">9</span>
 160) Mit Hilfe der Taylorentwicklung approximiere man die Funktion f (x) = 8(x + 1)3/2
 durch eine lineare bzw. eine quadratische Polynomfunktion im Punkt x0 = 0. Wie groß ist
 der Fehler an der Stelle x = 0,5 ? (Hinweis: Den Approximationsfehler stelle man durch das
 <span style="color:teal;">@@ -620,9 +603,8 @@</span> x0 = 0. Durch Untersuchung des Restglieds Rn (x) in Lagrangescher Form bei diese
 entwicklung gebe man an, wie groß n sein muss, damit an der Stelle x = 0,1 der Unterschied
 zwischen Tn (x) und ex kleiner als 10−9 ist.
 164) Wie voriges Beispiel mit Unterschied zwischen Tn (x) und ex kleiner als 10−10 .
                                                   1                1                   1
 165) Gegeben seien die Funktionen f (x) =        1−x ,   g(x) =   1+x   und h(x) =   1−x2 .
 
  (a) Stellen Sie f, g und h als Potenzreihen mit Anschlussstelle x0 = 0 dar und geben Sie
      deren Konvergenzradius an.
 <span style="color:teal;">@@ -632,22 +614,18 @@</span> zwischen Tn (x) und ex kleiner als 10−9 ist.
 166) Man bilde das Cauchyprodukt der Potenzreihen von sin x und cos x (jeweils mit Ent-
 wicklungsstelle x0 = 0) und zeige damit die Formel sin x cos x = (sin(2x))/2.
 
 167–171) Die <span style="color:red;">Hyperbelfunktionen“</span><span style="color:green;">hyperbolischen Winkelfunktionen</span> Sinus hyperbolicus und <span style="color:green;">und</span> Cosinus <span style="color:red;">hyperbolicus</span><span style="color:green;">hyper-</span>
 <span style="color:green;">bolicus</span> sind <span style="color:red;">de-</span>
 <span style="color:red;">               ”</span>
 <span style="color:red;">finiert</span><span style="color:green;">definiert</span> durch:
                                     ex − e−x                       ex + e−x
                        sinh(x) :=            ,        cosh(x) :=            .
                                         2                              2
 
 167) (a) Man zeige cosh2 (x) − sinh2 (x) = 1 und begründe mit Hilfe dieser Formel die
 Bezeichnung <span style="color:red;">Hyperbelfunktionen“.</span><span style="color:green;">hyperbolische Winkelfunktionen“.</span> (Hinweis: Wie lautet die Gleichung einer<span style="color:red;">Hyperbel in</span>
             ”
 <span style="color:green;">Hyperbel in</span> Hauptlage?)
 (b) Man bestimme die erste Ableitung von sinh(x) und cosh(x).
 168) Man bestimme die Potenzreihenentwicklung von cosh(x) an der Stelle x0 = 0.
 
 
 <span style="color:red;">                                              10</span>
 169) Man bestimme die Potenzreihenentwicklung von sinh(x) an der Stelle x0 = 0.
 170) Man beweise die Formel cosh(x + y) = cosh(x) cosh(y) + sinh(x) sinh(y).
 171) Man beweise die Formel sinh(x + y) = sinh(x) cosh(y) + cosh(x) sinh(y).
 <span style="color:teal;">@@ -659,479 +637,388 @@</span> x0 = 0.
 x0 = 0.
 175) Man bestimme die Potenzreihenentwicklung von f (x) = (x2 + 1) sin x an der Stelle
 x0 = 0 durch Produktbildung zweier Potenzreihen.
 
 
                                                  <span style="color:green;">10</span>
 176) Man bestimme die Potenzreihenentwicklung von f (x) = (1 − x2 ) cos x an der Stelle
 x0 = 0 durch Produktbildung zweier Potenzreihen.
 177) Man bestimme die Potenzreihenentwicklung von f (x) = (1 + 3x − 3x2 ) cos x an der
 Stelle x0 = 1 durch Produktbildung zweier Potenzreihen.
 178) Wie 168, nur für x0 = 1.                 179) Wie 169, nur für x0 = 2.
 180) Wie 175, nur für x0 = 3.                 181) Wie 176, nur für x0 = −1.
 182) Wie 177, nur für x0 = −3.                183) Wie 175, nur für x0 = −3.<span style="color:red;">184) Wie 176, nur für x0 = −2.</span>
 
 <span style="color:red;">185–191) Man berechne die Grenzwerte nachstehender unbestimmter Formen:</span>
 <span style="color:red;">185)                                        186)</span>
 <span style="color:red;">               2         3 �                            1 − cos x</span>
 <span style="color:red;"> (a) lim          2</span>
 <span style="color:red;">                    −                           (a) lim</span>
 <span style="color:red;">       x→1    1−x     1 − x3                        x→0     x</span>
 <span style="color:red;">                                                         √</span>
 <span style="color:red;">           17x2 + 4x − 1                                   x2 − 1</span>
 <span style="color:red;"> (b) lim                                        (b) lim</span>
 <span style="color:red;">       x→∞ x3 − 12x2 + 1                            x→1+ ln(x)</span>
 
 <span style="color:green;">184–194) Man berechne die Grenzwerte nachstehender unbestimmter Formen:</span>
 <span style="color:green;">184)                                           185)</span>
 <span style="color:green;">                 2      3 �                               1 − cos x</span>
 <span style="color:green;"> (a) lim            −                             (a) lim</span>
 <span style="color:green;">       x→1    1 − x2 1 − x3                           x→0     x</span>
 <span style="color:green;">                                                           √</span>
 <span style="color:green;">              17x2 + 4x − 1                                  x2 − 1</span>
 <span style="color:green;"> (b) lim                                          (b) lim</span>
 <span style="color:green;">       x→∞    x3 − 12x2 + 1                           x→1+ ln(x)</span>
 
 <span style="color:red;">187)                                        188)</span>
 
 <span style="color:red;">(a) lim ln(1 − x) · ln(x)                      (a) lim (1 − 2x) tan(πx)</span>
 <span style="color:red;">       x→1−                                        x→1/2</span><span style="color:green;">186)                                           187)</span>
 
  <span style="color:green;">(a) lim ln(1 − x) · ln(x)(x)                     (a) lim (1 − 2x) tan(πx)</span>
 <span style="color:green;">       x→1−                                           x→1/2</span>
 
          3x4                                                      sin(1 − x2 )
  (b) lim <span style="color:green;">4x</span>                                       (b) lim
      x→∞ <span style="color:red;">e4x</span><span style="color:green;">e</span>                                            x→1   (x − 1)(cos(x − 1) − 1)
 
 <span style="color:green;">188)                                           189)</span>
 
 <span style="color:red;">11</span>
 <span style="color:red;">189)                                                  190)</span> (a) lim ln(1 − x) · ln(x)                                x2 + 4x − 5
        x→1−                                       (a) lim
                                                       x→1 tan(πx)
              �      �
                   1<span style="color:red;">�             �</span>
  (b) lim x ln 1 +
                                                           <span style="color:green;">�           �</span>
                                                             1     1
      x→∞          x                               (b) lim     −
                                                       x→0 x     sin x
 
                                                         <span style="color:red;">191)</span>
 <span style="color:red;">           3x4</span>
 <span style="color:red;"> (a) lim</span>
 <span style="color:red;">       x→∞ e4x</span>
 
 <span style="color:red;"> (b)</span><span style="color:green;">sin(x2 )</span>
 <span style="color:green;">190)</span>    lim (1 − 2x) tan(πx)                   <span style="color:red;">x→1/2</span>
 
 
 <span style="color:red;">192) Man berechne den Grenzwert</span>
 
 <span style="color:red;">                                                  sin(x2 )</span><span style="color:green;">191)</span> lim
        <span style="color:red;">.</span>
 <span style="color:red;">                                              x→0</span><span style="color:green;">x→1/2</span>                                            x sin x
                                                       <span style="color:red;">193) Man berechne den Grenzwert</span><span style="color:green;">x→0</span>
                �                    �                   <span style="color:green;">�      �1</span>
                    π     πx    1                          <span style="color:green;">sin x x2</span>
 <span style="color:green;">192)</span>    lim          tan    −                  <span style="color:red;">.</span><span style="color:green;">193) lim</span>
        x→1−        2      2   1−x<span style="color:red;">194) Man berechne den Grenzwert</span>
 <span style="color:red;">                                                �           �    1</span>
 <span style="color:red;">                                                    sin x       x2</span>
 <span style="color:red;">                                          lim                        .</span>                   x→0     x
 <span style="color:red;">195) Man berechne den Grenzwert</span><span style="color:green;">194)</span> lim xx<span style="color:red;">.</span>
        x→0+<span style="color:red;">196–198) Man bestimme mit Hilfe der Bisektion auf drei Dezimalstellen genau die positive</span>
 <span style="color:red;">Nullstelle der Funktion f (x) im angegebenen Intervall I:</span>
 <span style="color:red;">196) f (x) = sin x − x2 , I = [π/2, π].</span>
 <span style="color:red;">197) f (x) = cos x − x, I = [0, π/2].</span>
 <span style="color:red;">                                   π</span>
 <span style="color:red;">198) f (x) = (tan x)2 − x, |x| &lt;   4</span>
 <span style="color:red;">199) Lösen Sie Aufgabe 196 mit Hilfe des Newton-Verfahrens und mit Hilfe der Regula</span>
 <span style="color:red;">falsi.</span>
 <span style="color:red;">200) Lösen Sie Aufgabe 197 mit Hilfe des Newton-Verfahrens und mit Hilfe der Regula</span>
 <span style="color:red;">falsi.</span>
 <span style="color:red;">201) Lösen Sie Aufgabe 198 mit Hilfe des Newton-Verfahrens und mit Hilfe der Regula</span>
 <span style="color:red;">falsi.</span>
 <span style="color:red;">202) Gesucht ist eine in der Nähe von</span>
 
 <span style="color:red;">                           (a) x0 = 3,              bzw.             (b) x0 = −3</span>
 
 <span style="color:red;">                                                     12</span>
 <span style="color:red;">gelegenen Nullstelle der Funktion f (x) = e−x + x2 − 10.</span>
 <span style="color:red;">203) Nach welcher Zeit t (in Stunden) erreichen die Betriebskosten</span>
 
 <span style="color:red;">                      B(t) = 10.45t + 0.0016t2 + 17200 1 − e−0.0002t</span>
 <span style="color:red;">                                                                       �</span>
 
 <span style="color:red;">eines Netzwerkrouters den Anschaffunspreis A = 100.000, − ¤ ? Ist die Lösung eindeutig</span>
 <span style="color:red;">bestimmt?</span>
 <span style="color:red;">(Anleitung: Man bilde die Funktion f (t) = B(t) − A, untersuche deren Monotonieverhalten</span>
 <span style="color:red;">und bestimme schließlich die gesuchte Nullstelle mit Hilfe des Newton-Verfahrens.)</span>
 <span style="color:red;">204) Man zeige, dass f (x) = x4 − x − 1 in [1, 2] eine Nullstelle hat und bestimme diese</span>
 <span style="color:red;">näherungsweise mit (wenigstens) 4 Schritten der Bisektion und der Regula falsi.</span>
 <span style="color:red;">205) Man ermittle für sämtliche Nullstellen der Funktion f (x) = 3x+2 sin2 x+1 Näherungen,</span>
 <span style="color:red;">indem man jeweils 4 Schritte des Newtonverfahrens durchführt.</span>
 
 <span style="color:red;">206–207) Bestimmen Sie eine Nullstelle der Funktion F (x) = x2 − 1 im Intervall [0, 3],</span>
 <span style="color:red;">indem Sie jeweils 3 Schritte der angegebenen Verfahrens durchführen, und vergleichen Sie</span>
 <span style="color:red;">die Ergebnisse.</span>
 <span style="color:red;">206) a) Bisektion, b) Regula falsi, c) Newtonsches Näherungsverfahren (Startwert Interval-</span>
 <span style="color:red;">lende)</span>
 <span style="color:red;">207) a) Iterative Fixpunktbestimmung für x = f (x) = (x2 + 3x − 1)/3 (Startwert Inter-</span>
 <span style="color:red;">vallende), b) iterative Fixpunktbestimmung für x = g(x) = (1 + 2x − x2 )/2 (Startwert</span>
 <span style="color:red;">Intervallende), c) wählen Sie eine andere Funktion h(x), sodass die Gleichung h(x) = x</span>
 <span style="color:red;">äquivalent ist zur Gleichung F (x) = 0.</span>
 <span style="color:red;">208) Man zeige, dass die Funktion ϕ(x) = x − e−x + cos x eine kontrahierende Abbildung</span>
 <span style="color:red;">des Intervalls [1.2, 1.3] in sich ist, und berechne den (einzigen) Fixpunkt x∗ dieser Funktion</span>
 <span style="color:red;">im angegebenen Intervall (Genauigkeit: zwei Nachkommastellen).</span>
 <span style="color:red;">(Hinweis: Zeigen Sie zunächst, dass im angebenen Intervall f 00 (x) &lt; 0 gilt. Was kann man</span>
 <span style="color:red;">daraus für f 0 (x) schliessen? Benutzen Sie dies, um die Kontraktionseigenschaft zu zeigen!)</span>
 <span style="color:red;">209) Man bestimme die Lösungsfolge der beim “Babylonischen Wurzelziehen” auftretenden</span>
 <span style="color:red;">Iteration</span>
 <span style="color:red;">                                     1�       a�</span>
 <span style="color:red;">                   xn+1 = ϕ(xn ) =      xn +     , n = 0, 1, 2, . . .</span>
 <span style="color:red;">                                     2       xn</span>
 <span style="color:red;">(wobei a &gt; 0, x0 &gt; 0 ist) auf graphischem Weg und zeige, dass stets</span>
 <span style="color:red;">                                                       √</span>
 <span style="color:red;">                                 x1 ≥ x2 ≥ x3 ≥ · · · ≥ a</span>
 <span style="color:red;">                                                                                          √</span>
 <span style="color:red;">gilt, d.h., die Iterationsfolge (xn ) ist ab n = 1 monoton fallend und nach unten durch       a</span>
 <span style="color:red;">beschränkt.</span>
 <span style="color:red;">210) Man zeige: Für a &gt; 0 konvergiert die Iterationsfolge (xn ) gemäß xn+1 = 2xn − ax2n</span>
 <span style="color:red;">mit 2a1</span>
 <span style="color:red;">        &lt; x0 &lt; 2a 3</span>
 <span style="color:red;">                    gegen den Fixpunkt x∗ = a1 . Diese Iteration stellt somit ein Verfahren</span>
 <span style="color:red;">zur Division unter ausschließlicher Verwendung von Multiplikationen dar.</span>
                                  (
                                   −1 (t ≤ 1)                             Rx
 <span style="color:red;">211)</span><span style="color:green;">195)</span> Für die Funktion f (t) =                   berechnen Sie F (x) = 0 f (t) dt. Ist F (x)
                                   1      (t &gt; 1)
 stetig bzw. differenzierbar?
                             (                                             (
                               −2 (t ≤ 1)                                    −1 (t ≤ 1)
 <span style="color:red;">212)</span><span style="color:green;">196)</span> Wie <span style="color:red;">211)</span><span style="color:green;">195)</span> für f (t) =                 .   <span style="color:red;">213)</span><span style="color:green;">197)</span> Wie <span style="color:red;">211)</span><span style="color:green;">195)</span> für f (t) =                .
                               1    (t &gt; 1)                                  t    (t &gt; 1)<span style="color:red;">13</span>
                             (                                            (
                               −t2 (t ≤ 2)                                  −t3 + 1 (t ≤ 3)
 <span style="color:red;">214)</span><span style="color:green;">198)</span> Wie <span style="color:red;">211)</span><span style="color:green;">195)</span> für f (t) = 2                 . <span style="color:red;">215)</span><span style="color:green;">199)</span> Wie <span style="color:red;">211)</span><span style="color:green;">195)</span> für f (t) = 3                  .
                               t     (t &gt; 2)                                t −1      (t &gt; 3)
 
 
 
                                              <span style="color:red;">216–218)</span><span style="color:green;">11</span>
 <span style="color:green;">200–202)</span> Hinweise: (i) Äquidistante Teilung des Intervalls [a, b] bedeutet, dass man die
 Teilungspunkte xk = a + (b − a)k/n, k = 0, 1, . . . , n, betrachtet. (ii) nk=1 <span style="color:red;">k 2</span><span style="color:green;">k2</span> = n(n+1)(2n+1)
                                                                          P
                                                                                          6       ;<span style="color:red;">Pn       n(n+1)       Pn     3    n+1</span>
                                              2<span style="color:red;">�</span>
 (iii) k=1 k = <span style="color:red;">2</span><span style="color:green;">n(n+1)</span>
 <span style="color:green;">     Pn</span>
                      ; (iv) <span style="color:red;">k=1 k</span><span style="color:green;">nk=1 k3</span> = <span style="color:green;">n+1</span>
 <span style="color:green;">                           P               �</span>
 <span style="color:green;">                 2</span>                      2      .
                      R2
 <span style="color:red;">216)</span><span style="color:green;">200)</span> Berechnen Sie 1 x2 dx mit Hilfe von Obersummen bei äquidistanter Teilung.
                      R3 <span style="color:red;">217)</span><span style="color:green;">2</span>
 <span style="color:green;">201)</span> Berechnen Sie 2 <span style="color:red;">x2</span><span style="color:green;">x</span> dx mit Hilfe von Untersummen bei äquidistanter Teilung.
                    R2
 <span style="color:red;">218)</span><span style="color:green;">202)</span> Berechnen Sie 1 x3 dx mit Hilfe von Untersummen bei äquidistanter Teilung.
 <span style="color:red;">219)</span><span style="color:green;">203)</span> Sei a ≥ 0. Berechnen Sie
                                                      n
                                                 1    X
                                         lim                ka
                                         n→∞   na+1
                                                      k=1
 durch Interpretation als Grenzwert Riemannscher Zwischensummen.
 <span style="color:red;">220)</span><span style="color:green;">204)</span> Berechnen Sie
                                                n
                                             1 X
                                       lim        k(n − k)
                                      n→∞    n3
                                                k=1
 durch Interpretation als Grenzwert Riemannscher Zwischensummen.
 <span style="color:red;">221)</span><span style="color:green;">205)</span> Berechnen Sie
                                             n
                                          1 Xp 2
                                       lim     n − k2
                                      n→∞ n2
                                                k=1
 durch Interpretation als Grenzwert Riemannscher Zwischensummen.
 <span style="color:red;">222)</span><span style="color:green;">206)</span> Berechnen Sie
                                                n
                                                X        1
                                        lim n
                                        n→∞           n2 + k 2
                                                k=1
 durch Interpretation als Grenzwert Riemannscher Zwischensummen.
 <span style="color:red;">223)</span><span style="color:green;">207)</span> Berechnen Sie
                                             n
                                         1 Xp
                                      lim  <span style="color:green;">2</span>
                                               k(n − k)
                                     n→∞ <span style="color:red;">n2</span><span style="color:green;">n</span>
                                               k=1
 durch Interpretation als Grenzwert Riemannscher Zwischensummen.
                                                                 1+t
 Hinweis: Man substitutiere im auftretenden Integral x =          2 .
 <span style="color:red;">224)</span><span style="color:green;">208)</span> Mit Hilfe der Substitutionsregel beweise man die<span style="color:red;">nachstehende</span> Integrationsregel
              Z <span style="color:red;">0</span><span style="color:green;">′</span>
                 u (x)                                                        dx
                                                                          <span style="color:green;">Z</span>
 <span style="color:green;">                      dx</span> = ln |u(x)| + C<span style="color:red;">u(x)</span>
 <span style="color:red;">                     Z</span>
 <span style="color:red;">                         dx</span>      und berechne damit                  .
                 <span style="color:green;">u(x)</span>                                                       x ln x
                                                                        R
 <span style="color:red;">225)</span><span style="color:green;">209)</span> Wie <span style="color:red;">224,</span><span style="color:green;">208,</span> nur letzter Teil ersetzt durch und berechne damit cot(x) dx.“ (cot(x) :=
                                                ”
 cos(x)/ sin(x) bezeichnet den Cotangens).
                      Z ∞
                               1
 <span style="color:red;">226)</span><span style="color:green;">210)</span> Man berechne          √        dx.
                        1  x x−1<span style="color:red;">14</span>                                  √
 (Anleitung: Zum Integrieren wähle man die Substitution u = x − 1. Ferner beachte man,
 dass das angegebene Integral sowohl bei x = 1 als auch bei x = ∞ uneigentlich ist.)
 <span style="color:red;">227)</span><span style="color:green;">211)</span> Sei In (x) := (1 + x2 )−n dx (n = 1, 2, 3, . . .). Durch partielle Integration zeige man
                    R
 
 die Rekursion
                                     2n − 1              1      x
                          In+1 (x) =        · In (x) +     ·          .
                                       2n               2n (1 + x2 )n
 Mit Hilfe dieser Formel berechne man I3 (x) (beachte I1 (x) = arctan(x) + C).
 
                                                 <span style="color:red;">228–267)</span><span style="color:green;">12</span>
 <span style="color:green;">212–251)</span> Man berechne:
                                                          4x3 + x2 + 3x + 5
       Z                                        Z
 <span style="color:red;">228)</span><span style="color:green;">212)</span>    xarcsinx dx                     <span style="color:red;">229)</span><span style="color:green;">213)</span>                                  dx
                                                        (x − 1)2 (x2 + 2x + 3)
                      <span style="color:green;">x</span>                                 x3 + x2 + 7
        Z                                       Z
 <span style="color:red;">x</span>
 <span style="color:red;">230)        3</span><span style="color:green;">214)</span>                    dx              <span style="color:red;">231)</span><span style="color:green;">215)</span>                       dx
                <span style="color:red;">x</span><span style="color:green;">x3</span>    +1                                x2 + 5x + 6
             x2 + 1                                     x3 − x2 + 2
        Z                                       Z
 <span style="color:red;">232)</span><span style="color:green;">216)</span>                     dx             <span style="color:red;">233)</span><span style="color:green;">217)</span>                       dx
        (x − 1)2 (x + 1)2                               x3 − 3x + 2
      Z 6          √
        x − 6x + 12x
                                                Z
 <span style="color:red;">234)</span><span style="color:green;">218)</span>                     dx             <span style="color:red;">235)</span><span style="color:green;">219)</span>           x2 cos x dx
               x2
 <span style="color:red;">Z                                               Z</span>           dx                                                dx
      <span style="color:red;">236)    2</span>
 <span style="color:red;">                                              237)               2</span>
 <span style="color:red;">       x</span><span style="color:green;">Z                                         Z</span>
 <span style="color:green;">220)                                    221)</span>
 <span style="color:green;">       x2</span> + 2x + 9                                     2 <span style="color:red;">sin</span><span style="color:green;">sin2</span> x cos2 x
             ex
      Z                                         Z
 <span style="color:red;">238)</span><span style="color:green;">222)</span>                dx                  <span style="color:red;">239)</span><span style="color:green;">223)</span>           arccosx dx
        <span style="color:red;">e2x</span><span style="color:green;">e</span> − ex − 6
         <span style="color:green;">2x</span>
 
                                                        (x − 3)2
      Z                                         Z
 <span style="color:red;">240)</span><span style="color:green;">224)</span>   xarctan (x) dx                   <span style="color:red;">241)</span><span style="color:green;">225)</span>                    dx
                                                         x−7/2
        Z                                       Z
 <span style="color:red;">2</span>
 <span style="color:red;">242)</span><span style="color:green;">226)</span>           x(ln <span style="color:red;">x)</span><span style="color:green;">x)2</span> dx              <span style="color:red;">243)</span><span style="color:green;">227)</span>           (sin x)(1 + 2 cos x)4 dx
        Z √<span style="color:red;">Z</span>
                     x+1
                                                <span style="color:red;">244)</span><span style="color:green;">Z</span>
 <span style="color:green;">228)</span>                    dx              <span style="color:red;">245)</span><span style="color:green;">229)</span>           (x2 + 1)e−2x dx
                      x
                       x2 + 1                    x2 + 3
        Z                                       Z
 <span style="color:red;">246)</span><span style="color:green;">230)</span>                              dx    <span style="color:red;">247)</span><span style="color:green;">231)</span>           dx
                x3    + x2 − x − 1              2x2 + 7
                <span style="color:green;">ex − 1</span>
        Z<span style="color:red;">x</span>
 <span style="color:red;">        e −1</span>                                     Z p
 <span style="color:red;">248)</span><span style="color:green;">232)</span>                   dx               <span style="color:red;">249)</span><span style="color:green;">233)</span>     1 + 7x2 dx
                e2x + 1<span style="color:red;">Z                                               Z</span>
             dx                                          dx
        <span style="color:red;">250)</span><span style="color:green;">Z                                       Z</span>
 <span style="color:green;">234)</span>            √                       <span style="color:red;">251)</span><span style="color:green;">235)</span>
         (1 + x) x                                      sin x
                                                        <span style="color:green;">2π</span>
      Z 2  r<span style="color:red;">q                                              2π</span>
                   √                                                      <span style="color:green;">x</span>
 <span style="color:green;">              q</span>                                Z
           4                                             3<span style="color:red;">x</span>
          ( x( x x))5 dx                                     (sin2 x + √
                3
 <span style="color:red;">252)                                          253)</span><span style="color:green;">236)                                    237)</span>                                  ) dx
            1                                       0                   1 + x2
        Z       1                               Z       π/2
 <span style="color:red;">254)</span><span style="color:green;">238)</span>               x arccos x dx        <span style="color:red;">255)</span><span style="color:green;">239)</span>                 x2 cos2 x dx
            0                                       0<span style="color:red;">Z</span>
                2<span style="color:red;">Z</span>                                       π/2
                     1   x �
        <span style="color:red;">256)</span><span style="color:green;">Z                                       Z</span>
 <span style="color:green;">240)</span>                  −      dx         <span style="color:red;">257)</span><span style="color:green;">241)</span>                 cos2 x dx
            1        x 1 + x2                       0<span style="color:red;">Z</span>
                π/4<span style="color:red;">Z</span>                                     e
                                                             dx
        <span style="color:red;">258)</span><span style="color:green;">Z                                       Z</span>
 <span style="color:green;">242)</span>                 tan2 x dx          <span style="color:red;">259)</span><span style="color:green;">243)</span>                √
            0                                       1       x ln x<span style="color:red;">15</span>
 <span style="color:red;">       Z</span>
                1<span style="color:red;">Z</span>                                       1<span style="color:red;">p</span>
 <span style="color:red;">                 2</span>
                                                                x dx
        <span style="color:red;">260)            x</span><span style="color:green;">Z                p                      Z</span>
 <span style="color:green;">244)               x2</span>    1 − x2 dx      <span style="color:red;">261)</span><span style="color:green;">245)</span>               √
         −1                                         0           1 + x2
        Z ∞                                     Z       ∞
                                                                   2
 <span style="color:red;">262)</span><span style="color:green;">246)</span>               xe−x dx              <span style="color:red;">263)</span><span style="color:green;">247)</span>                xe−x dx
            0                                       0<span style="color:red;">Z</span>
                ∞     �      �<span style="color:red;">Z</span>                          ∞
                           1                                    dx
        <span style="color:red;">264)</span><span style="color:green;">Z                                       Z</span>
 <span style="color:green;">248)</span>               ln 1 +     dx        <span style="color:red;">265)</span><span style="color:green;">249)</span>                  √
            1              x                        1        x2 1 + x2<span style="color:red;">Z</span>
                ∞<span style="color:red;">Z</span>                                       1
                           dx                                     dx
        <span style="color:red;">266)</span><span style="color:green;">Z                                       Z</span>
 <span style="color:green;">250)</span>                √                   <span style="color:red;">267)</span><span style="color:green;">251)</span>               √
            1            x(1 + x)                   0           x(1 + x)
 
                                        <span style="color:red;">268–277)</span><span style="color:green;">13</span>
 <span style="color:green;">252–261)</span> Untersuchen Sie die folgenden uneigentlichen Integrale auf Konvergenz.
       Z ∞                                         Z ∞
           | sin x|                                     | cos x|
 <span style="color:red;">268)</span><span style="color:green;">252)</span>               dx                       <span style="color:red;">269)</span><span style="color:green;">253)</span>                dx
        0    x 3/2
                                                     1     x2
       Z ∞                                         Z ∞
           | sin x|                                     ln x
 <span style="color:red;">270)           2</span><span style="color:green;">254)</span>               dx                       <span style="color:red;">271)</span><span style="color:green;">255)</span>            dx
        0     <span style="color:red;">x</span><span style="color:green;">x2</span>                                     1    x
       Z ∞                                         Z ∞
           ln x                                           x
 <span style="color:red;">272)</span><span style="color:green;">256)</span>            dx                          <span style="color:red;">273)</span><span style="color:green;">257)</span>            dx
        1   <span style="color:red;">x 2</span><span style="color:green;">x2</span>                                       0  ex3
       Z ∞                                         Z ∞ x
                 x+3                                     x
 <span style="color:red;">274)</span><span style="color:green;">258)</span>                      dx                <span style="color:red;">275)</span><span style="color:green;">259)</span>            dx
        0  <span style="color:red;">2</span>
 <span style="color:red;">          2x</span><span style="color:green;">2x2</span> + 3x + 2                              0  ex2
       Z ∞                                         Z ∞
                    2x − 1                              sin x
 <span style="color:red;">276)          3</span><span style="color:green;">260)                          dx            261)              dx</span>
 <span style="color:green;">       0  3x3</span> + 2x2 + 3x + 5<span style="color:red;">dx           277)              dx</span>
 <span style="color:red;">       0  3x</span>                        0     x
                                                Hinweis: Einmal partiell integrieren und erst
                                                danach die Konvergenzuntersuchung vorneh-
                                                men.
 <span style="color:red;">278–281)</span><span style="color:green;">262–265)</span> Bestimmen Sie den Wert der folgenden Integrale näherungsweise auf 3 Dezimal-
 stellen (mit und ohne Computer).
 Hinweis: Entwickeln Sie den Integranden in eine Taylorreihe. Wieviele Terme sind nötig,
 um die gewünschte Genauigkeit zu erzielen?
       Z 1 −x2                                    Z 1
           e     − 1 + x2                               sin(u2 )
 <span style="color:red;">278)</span><span style="color:green;">262)               4</span>
                           dx                <span style="color:red;">279)</span><span style="color:green;">263)</span>                du
        0         <span style="color:red;">x4</span><span style="color:green;">x</span>                                 0      u
       Z 1<span style="color:red;">Z</span>                                            1/2
           cos(t2 ) − 1                                         1
                                                  <span style="color:red;">280)</span><span style="color:green;">Z</span>
 <span style="color:green;">264)</span>            2
                        dt                   <span style="color:red;">281)</span><span style="color:green;">265)</span>         ln        dx
        0       t                                   0        1 − x3
 
 <span style="color:red;">282–293)</span><span style="color:green;">266–277)</span> Untersuchen Sie mit Hilfe des Integralkriteriums, ob die folgenden Reihen konver-
 gieren:
                                                               √
        X            1                                 X e− n
 <span style="color:red;">282)</span><span style="color:green;">266)</span>           2                               <span style="color:red;">283)</span><span style="color:green;">267)</span>      √
            n(ln  n −  ln n − 6)                           n
        n≥1                                            n≥1
        X        1                                     X              1
 <span style="color:red;">284)</span><span style="color:green;">268)</span>                      (α &gt; 0)              <span style="color:red;">285)</span><span style="color:green;">269)</span>
              n lnα n                                        (1 + n2 ) arctan n
        n≥2                                            n≥1
        X             1                                X                1
 <span style="color:red;">286)</span><span style="color:green;">270)</span>                                (α &gt; 0)    <span style="color:red;">287)</span><span style="color:green;">271)</span>
              n ln n lnα (ln n)                           n ln n ln(ln n) ln5 (ln(ln n))
        n≥2                                          n≥10<span style="color:red;">2</span>
        X                                            X         <span style="color:red;">288)</span><span style="color:green;">2</span>
 <span style="color:green;">272)</span>         ne−n                              <span style="color:red;">289)</span><span style="color:green;">273)</span>    ne−n
        n≥0                                            n≥0<span style="color:red;">16</span>
 
        X ln3 (ln n)                                   X       n
 <span style="color:red;">290)                                            291)</span><span style="color:green;">274)                                           275)</span>       p
            n ln n                                          (1 + <span style="color:red;">n2</span><span style="color:green;">n 2</span> )3
      n≥2                                              n≥0
      X �          1
                     �                                 X        1
 <span style="color:red;">292)</span><span style="color:green;">276)</span>     ln 1 +                                <span style="color:red;">293)</span><span style="color:green;">277)</span>          √
                   n                                       <span style="color:red;">n2</span><span style="color:green;">n 2</span> 1 + n2
        n≥1                                            n≥1
 
 <span style="color:red;">294)</span><span style="color:green;">278)</span> Man zeige, dass die Ungleichung |d(x, y)−d(y, z)| ≤ d(x, z) in jedem metrischen Raum
 (X, d) für alle x, y, z ∈ X gilt.
 
 
 
 
                                               <span style="color:red;">295)</span><span style="color:green;">14</span>
 <span style="color:green;">279)</span> Für jede der Metriken d = d1 (Summen-Metrik), d = d2 (Euklidische Metrik), d = d∞
 (Maximums-Metrik) und d = dH (Hamming-Metrik) auf R2 beschreibe man die abgeschlos-
 sene Einheitskugel K̄d (~0, 1) = {~x | d(~0, ~x) ≤ 1} geometrisch (inkl. Skizze).
 <span style="color:red;">296)</span><span style="color:green;">280)</span> Wie <span style="color:red;">295),</span><span style="color:green;">279),</span> aber für R3 .
 <span style="color:red;">297)</span><span style="color:green;">281)</span> (X, d) sei ein beliebiger metrischer Raum und p ∈ X. Man zeige, dass durch
                                       (
                                         0,                 falls x = y,
                          dp (x, y) :=
                                         d(x, p) + d(p, y), sonst,
 
 eine Metrik auf X definiert wird.
 <span style="color:red;">298)</span><span style="color:green;">282)</span> Man zeige, dass die Hamming-Metrik auf Rn nicht durch eine Norm induziert wird.
 <span style="color:red;">299)</span><span style="color:green;">283)</span> Für fest gewählte a, b ∈ R, a &lt; b, bezeichne C[a, b] die Menge aller stetigen Funktionen
                                                     Rb
 f : [a, b] → R. Man zeige, dass die durch ||f || := a |f <span style="color:red;">(x)|dx</span><span style="color:green;">(x)| dx</span> definierte Funktion || · || eine
 Norm auf C[a, b] ist.
 <span style="color:red;">300)</span><span style="color:green;">284)</span> Für fest gewählte a, b ∈ R, a &lt; b, bezeichne I[a, b] die Menge aller integrierbaren
                                                                     Rb
 Funktionen f : [a, b] → R. Man überprüfe, ob die durch ||f || := a |f <span style="color:red;">(x)|dx</span><span style="color:green;">(x)| dx</span> definierte
 Funktion || · || eine Norm auf I[a, b] ist.
 <span style="color:red;">301)</span><span style="color:green;">285)</span> Man betrachte den metrischen Raum (R, d), wobei d die euklidische Metrik ist. Man
 zeige, dass in diesem Raum die Menge Q weder offen noch abgeschlossen ist.
 <span style="color:red;">302)</span><span style="color:green;">286)</span> Man bestimme alle offenen und alle abgeschlossenen Mengen in (R, dH ), wobei dH die
 Hamming-Metrik ist.
 <span style="color:red;">303)</span><span style="color:green;">287)</span> Man zeige, dass eine Menge O ⊆ R2 bzgl. der Euklidischen Metrik d2 offen ist genau
 dann, wenn O offen ist bzgl. der Summen-Metrik d1 .
 <span style="color:red;">304)</span><span style="color:green;">288)</span> Man zeige, dass eine Menge O ⊆ R2 bzgl. der Euklidischen Metrik d2 offen ist genau
 dann, wenn O offen ist bzgl. der Maximums-Metrik d∞ .
 <span style="color:red;">305)</span><span style="color:green;">289)</span> Man zeige, dass eine Menge A ⊆ R2 bzgl. der Euklidischen Metrik d2 abgeschlossen
 ist genau dann, wenn A abgeschlossen ist bzgl. der Summen-Metrik d1 .
 <span style="color:red;">306)</span><span style="color:green;">290)</span> Man zeige, dass eine Menge A ⊆ R2 bzgl. der Euklidischen Metrik d2 abgeschlossen
 ist genau dann, wenn A abgeschlossen ist bzgl. der Maximums-Metrik d∞ .
 
 <span style="color:red;">307–309)</span><span style="color:green;">291–293)</span> Man stelle den Definitionsbereich und den Wertebereich folgender Funktionen fest
 und beschreibe die Höhenlinien:
 <span style="color:red;">307)</span><span style="color:green;">291)</span>                                                          r<span style="color:red;">2    2</span>
                                                                          x2 y 2
                     (a) <span style="color:red;">f (x, y)</span><span style="color:green;">z</span> = <span style="color:red;">x</span><span style="color:green;">x2</span> − y <span style="color:green;">2</span> ,              (b) <span style="color:red;">f (x, y)</span><span style="color:green;">z</span> =       1−       − .
                                                                          4  9
 
 <span style="color:green;">292)</span>
 <span style="color:green;">                                                                   x</span>
 <span style="color:green;">                                (a) z = xy,            (b) z =       .</span>
 <span style="color:green;">                                                                   y</span>
 
 <span style="color:green;">293)</span>
 <span style="color:green;">                                                                   x</span>
 <span style="color:green;">                             (a)   z = x2 y,           (b) z =        .</span>
 <span style="color:green;">                                                                   y2</span>
 
 <span style="color:red;">                                              17</span>
 <span style="color:red;">308)</span>
 <span style="color:red;">                                                                                      x</span>
 <span style="color:red;">                          (a)      f (x, y) = xy,                (b)     f (x, y) =     .</span>
 <span style="color:red;">                                                                                      y</span>
 
 <span style="color:red;">309)</span>
 <span style="color:red;">                                                                                      x</span>
 <span style="color:red;">                         (a)      f (x, y) = x2 y,               (b) f (x, y) =          .</span>
 <span style="color:red;">                                                                                      y2</span>
 
 
                                                <span style="color:red;">310)</span><span style="color:green;">15</span>
 <span style="color:green;">294)</span> Gegeben sei die Polynomfunktion f (x, y) = xy 2 −10x. Man bestimme die Gleichungen
 ihrer Schnittkurven mit den senkrechten Ebenen x = x0 bzw. y = y0 sowie die Höhenlinien
 für z = z0 und skizziere alle drei Kurvenscharen. Mittels eines Computeralgebrasystems
 ermittle man eine 3D-Darstellung der gegebenen Funktion.
 <span style="color:red;">311)</span><span style="color:green;">295)</span> Wie Bsp <span style="color:red;">310</span><span style="color:green;">294</span> mit der Funktion f (x, y) = x2 y + 2x − y.
 <span style="color:red;">312)</span><span style="color:green;">296)</span> Eine Funktion f (x1 , . . . , <span style="color:red;">xn )</span><span style="color:green;">xn)</span> heißt homogen vom Grad r, falls für jedes feste λ &gt; 0
 und alle (x1 , . . . , xn ) aus dem Definitionsbereich von f , für die (λx1 , . . . , λxn ) auch im
 Definitionsbereich von f liegt, gilt:
 
 <span style="color:teal;">@@ -1140,26 +1027,27 @@</span> Definitionsbereich von f liegt, gilt:
 Man beweise, dass die beiden Produktionsfunktionen f (x, y) = cxα y 1−α und
 g(x, y) = (cxα + dy α )1/α (x Arbeit, y Kapital, c, d, α konstant) homogene Funktionen vom
 Homogenitätsgrad r = 1 sind.
 <span style="color:red;">313)</span><span style="color:green;">297)</span> Man prüfe nach, ob die Funktionen
 
            (a)   f (x, y, z) = x + (yz)1/2 (für y, z ≥ 0)                     (b) f (x, y) = x2 + y
                               <span style="color:green;">b c</span>
            (c) f (x, y) = <span style="color:red;">axb</span><span style="color:green;">ax</span> y<span style="color:red;">c</span> (mit a, b, c ∈ R, x, y &gt; 0)
 
 homogen sind.
 
 <span style="color:red;">314–315)</span><span style="color:green;">298–299)</span> Man untersuche für beliebige α, β ∈ R den Grenzwert limt→0 f (αt, βt). Ist die
 Funktion f (x, y) an (0, 0) stetig?
 <span style="color:red;">314)</span><span style="color:green;">298)</span>
                                       |y|
                     f (x, y) =                   für (x, y) 6= (0, 0) und f (0, 0) = 1
                                   |x|3 + |y|
 
 <span style="color:red;">315)</span><span style="color:green;">299)</span>
                                     2y 2
                      f (x, y) =                 für (x, y) 6= (0, 0) und f (0, 0) = 0
                                   |x| + y 2
 
 <span style="color:red;">316)</span><span style="color:green;">300)</span> Sei
                                                       x cos x1 + y sin y
                                         f (x, y) =
                                                            2x − y
 <span style="color:teal;">@@ -1169,19 +1057,20 @@</span> für 0 6= 2x 6= y. Man untersuche und vergleiche die iterierten Grenzwerte
                            y→0 x→0                                 x→0 y→0
 
 Existiert der Grenzwert lim(x,y)→(0,0) f (x, y)?
 <span style="color:red;">317)</span><span style="color:green;">301)</span> Sei
                                                          x + y cos y1
                                            f (x, y) =
                                                              x+y
 
 <span style="color:red;">                                                        18</span>
 für 0 6= y 6= −x. Man untersuche und vergleiche die iterierten Grenzwerte
 
                            lim lim f (x, y)            und         lim lim f (x, y).
                            y→0 x→0                                 x→0 y→0
 
 Existiert der Grenzwert lim(x,y)→(0,0) f (x, y)?
 
 
                                                         <span style="color:red;">318)</span><span style="color:green;">16</span>
 <span style="color:green;">302)</span> Sei
                                             f (x, y) = x1/y
 für y &gt; 0 und x ≥ 0. Man untersuche und vergleiche die iterierten Grenzwerte
 
 <span style="color:teal;">@@ -1189,35 +1078,34 @@</span> für y &gt; 0 und x ≥ 0. Man untersuche und vergleiche die iterierten Grenzwerte
                          y→0 x→1                           x→1 y→0
 
 Existiert der Grenzwert lim(x,y)→(1,0) f (x, y)?
 <span style="color:red;">319)</span><span style="color:green;">303)</span> In welchen Punkten (x, y) ∈ R2 ist die Funktion
                                   (
                                        xy 2
                                      x2 +y 4
                                              für (x, y) 6= (0, 0)
                        f (x, y) =
                                         0    für (x, y) = (0, 0)
 
 stetig?
 
 <span style="color:red;">320–321)</span>
 <span style="color:red;"> √</span><span style="color:green;">304–305)</span> Man untersuche die Funktion
                               <span style="color:green;">√</span>      f : R2 → R auf Stetigkeit (Hinweis: <span style="color:red;">Es</span><span style="color:green;">Für alle a, b ≥ 0</span>
 gilt <span style="color:green;">die Ungleichung</span> a + b ≥ 2 <span style="color:red;">ab für a, b ≥ 0.):</span>
 <span style="color:red;">320)</span><span style="color:green;">ab.):</span>
 <span style="color:green;">304)</span>
                                   xy
                   f (x, y) =                für (x, y) 6= (0, 0) und f (0, 0) = 0.
                                |x| + |y|
 
 <span style="color:red;">321)</span><span style="color:green;">305)</span>
                               xy 2 + x2 y
                  f (x, y) =                  für (x, y) 6= (0, 0) und     f (0, 0) = 0.
                                x2 + y 2
                                                           1−cos(xy)         sin z
 <span style="color:red;">322)</span><span style="color:green;">306)</span> Sei f : R3 → R definiert durch f (x, y, z) =           xyz       +   1+x2 +y 2 .   In welchen Punkten
 des Definitionsbereiches ist f stetig?
 <span style="color:red;">323)</span><span style="color:green;">307)</span> Zeigen Sie: Die Komposition stetiger Funktionen f : I ⊆ R → Rn , g : M ⊆ Rn → Rm
 mit f (I) ⊆ M is wiederum stetig.
 <span style="color:red;">324)</span><span style="color:green;">308)</span> Man untersuche die Stetigkeit der Funktion f : R2 → R im Punkt (0, 0).
                                    ( 2 2
                                      x −y
                                      x2 +y 2
 <span style="color:teal;">@@ -1225,132 +1113,129 @@</span> mit f (I) ⊆ M is wiederum stetig.
                         f (x, y) =
                                         0    für (x, y) = (0, 0)
 
 <span style="color:red;">325)</span><span style="color:green;">309)</span> Man untersuche die Stetigkeit der Funktion f : R2 → R im Punkt (0, 0).
                                    ( 3 3
                                      x +y
                         <span style="color:green;">f (x, y) =</span>   x2 +y 2 für (x, y) 6= (0, 0)<span style="color:red;">f (x, y) =</span>
                                         0    für (x, y) = (0, 0)
 
 <span style="color:red;">326)</span><span style="color:green;">310)</span>
                                  p
  (a) Für die Funktion f (x, y) = 1 − x2 − y 2 berechne man die partiellen Ableitungen fx ,
      fy und die Gleichung der Tangentialebene an der Stelle (x0 , y0 ) = (0.2, 0.3).
 
 
 <span style="color:red;">                                                   19</span>
  (b) Man berechne alle partiellen Ableitungen erster und zweiter Ordnung für die Funktion
      f (x, y) = x2 sin y + cos(x + 2y).
 
 
 
 
                                                    <span style="color:red;">327)</span><span style="color:green;">17</span>
 <span style="color:green;">311)</span> Man prüfe nach, ob die gemischten partiellen Ableitungen fxy und fyx für die folgenden
 Funktionen f (x, y) übereinstimmen:
 
                         x2                                             2                                  p
    (a)   f (x, y) =          ,             (b) f (x, y) = x3 ey ,                        (c) f (x, y) =    xy 3 .
                       1 + y2
 
 
 <span style="color:red;">328–329)</span><span style="color:green;">312–313)</span> Man bestimme den Definitionsbereich der Vektorfunktion x(t), sowie die Ableitung
 <span style="color:red;">x0</span><span style="color:green;">x′</span> (t), wo sie existiert:
 <span style="color:red;">328)</span><span style="color:green;">312)</span>
                                            �              �5           �            �!
                                                   2t       4                 1
                              x(t) =            √               , sin
                                                 1 − 3t2                    1 + t2
 
 <span style="color:red;">329)</span><span style="color:green;">313)</span>
                                                                             5
                                                                                 !
                                                                   t4
                                   x(t) =       sin(1 + cos(t)), √
                                                                  1 − t2
 
 <span style="color:red;">330)</span><span style="color:green;">314)</span> Das elektrostatische Potential einer Punktladung Q im Koordinatenursprung ist durch
                                                      Q       1
                                   ϕ1 (x, y, z) =        p
                                                     <span style="color:red;">4π�0</span><span style="color:green;">4πǫ0</span> x2 + y 2 + z 2
 
 gegeben, für das Potential eines Dipols mit dem Dipolmoment p = (p, 0, 0) gilt:
                                                    1           px
                                  ϕ2 (x, y, z) =                             .
                                                   <span style="color:red;">4π�0 (x</span><span style="color:green;">4πǫ0 (x2</span> + y 2 + z 2 )3/2<span style="color:red;">2</span>
 
 (Dabei sind Q, p und <span style="color:red;">�0</span><span style="color:green;">ǫ0</span> Konstante.) In beiden Fällen berechne man das zugehörige elektri-
 sche Feld E nach der Formel E = −gradϕ.
 
 <span style="color:red;">331–334)</span><span style="color:green;">315–318)</span> Man bestimme die partiellen Ableitungen erster Ordnung der folgenden Funktio-
 nen:
                                                                       √
                            4x2 y 2
                        �           �
                                                                  y + xz
 <span style="color:red;">331)</span><span style="color:green;">315)</span> f (x, y) = <span style="color:red;">Arctan                     332)</span><span style="color:green;">arctan                     316)</span> f (x, y, z) =
                          1+x+y                                 1 + sin2 (xyz)
                             <span style="color:green;">3 �</span>                                  √<span style="color:red;">2x3 y</span>
                                                                    x + y3z2
                        �
                           <span style="color:red;">�</span>
 <span style="color:red;">333)</span><span style="color:green;">2x y</span>
 <span style="color:green;">317)</span> f (x, y) = <span style="color:red;">Arctan                     334)</span><span style="color:green;">arctan                     318)</span>  f (x, y, z) =
                          y − x3                                1 + cos2 (1 + x)
 
 <span style="color:red;">335–338)</span><span style="color:green;">319–322)</span> Man bestimme die Funktionalmatrix zu f                   : R3 → R2 :
                                                                    
           x     �                   �                                  x      � x �
                    sin(x + y −   z)                                                <span style="color:red;">y2 z</span>
 <span style="color:red;">335) f    y   =                          336)</span><span style="color:green;">y2z</span>
 <span style="color:green;">319)</span> f <span style="color:green;"></span> y <span style="color:green;"></span> =<span style="color:red;">cos</span>              xy<span style="color:red;">    </span> �         <span style="color:red;">     </span><span style="color:green;">320)                     f y =</span>
 <span style="color:green;">                       cos</span> z                                                     xy z 2
           z                                                            z
                                                                    
           x                                                          x
                     q       !
                        x−z
                                                                                   <span style="color:red;">ln(Arctan(x</span><span style="color:green;">ln(arctan(x</span> + y 2 ))
                                                                            �                           �
 <span style="color:red;">y+1                                                      √</span>
 <span style="color:red;">337)</span><span style="color:green;">321)</span> f<span style="color:red;"></span>    y<span style="color:red;"></span>   =        <span style="color:red;">338)</span><span style="color:green;">y+1               322)</span>                     f <span style="color:red;">y</span><span style="color:green;">y </span> =               <span style="color:green;">√</span>
 <span style="color:green;">                                                                                       2</span>
                         <span style="color:red;">z·e</span>
 <span style="color:red;">                          −x</span><span style="color:green;">x</span>
 <span style="color:green;">                   z · e−</span> y                                                   x cos(y<span style="color:red;">2</span> − x) · tan(xyz)
           z                                                           z
                  xy
 <span style="color:red;">339)</span><span style="color:green;">323)</span> Duch z = x+y    ist eine Fläche im R3 gegeben. Die Beschränkung von x und y auf
 die Werte x = et und y = e−t (t ∈ R) liefert eine Kurve auf dieser Fläche. Man bestimme
 
 <span style="color:red;">                                                     20</span>
 dz
 dt mittels Kettenregel und mache die Probe, indem man zuerst x und y in z einsetzt und
 anschließend nach dem Parameter t differenziert. Wo verläuft diese Kurve auf der Fläche
 horizontal?
 
                                                       <span style="color:green;">18</span>
 <span style="color:green;">                           ∂               1+tan(u)2                     ∂</span>
 <span style="color:green;">324) Es sei gu (u, v) =   ∂u g(u, v)   =   v+tan(u)    und gv (u, v) = ∂v  g(u, v)   = (v + tan(u))−1 . Man</span>
 <span style="color:green;">                                                       d         2 + 1).</span>
 <span style="color:green;">bestimme mit Hilfe der Kettenregel h(t) =              dt g(2t, t</span>
 <span style="color:green;">                         ∂                                2   3                ∂</span>                         2 <span style="color:green;">+v</span> 3
 <span style="color:red;">340)</span><span style="color:green;">325)</span> Es sei gu (u, v) =<span style="color:red;">∂</span> ∂u g(u, v) = <span style="color:red;">e−u</span><span style="color:green;">(1−2u2 )e−u +v</span> und gv (u, v) =<span style="color:red;">∂</span>            ∂v g(u, v)   = <span style="color:red;">−ev</span><span style="color:green;">3uv2 e−u</span>            .
                                                    <span style="color:green;">d</span>
 Man bestimme <span style="color:red;">d</span><span style="color:green;">mit Hilfe der Kettenregel</span> h(t) = dt     g(t2 − 1, 3t).
 <span style="color:red;">341)</span><span style="color:green;">326)</span> Mit Hilfe der Kettenregel berechne man den Wert der partiellen Ableitung der Funk-
 tion F (x, y) = f (g(x, y), h(x, y)) nach y an der Stelle (0, 0), wobei f (u, v) = u2 + <span style="color:red;">v 2</span><span style="color:green;">v2</span> ,
 g(x, y) = cos x + sin y und h(x, y) = x + y + 1 ist.
                             4
 <span style="color:red;">342)</span><span style="color:green;">327)</span> Es sei <span style="color:red;">z</span><span style="color:green;">F (x, y)</span> = <span style="color:red;">y2x5 −2x</span><span style="color:green;">2x</span>    +y
                         <span style="color:green;">y 5 −2x</span>
                                 , x = 2u − 3v + 1, y = u + 2v − 2. Man berechne <span style="color:red;">∂z</span><span style="color:green;">∂F       ∂F</span>
                                                                                  ∂u und<span style="color:red;">∂z</span> ∂v
 für u = 2, v = 1 mit Hilfe der Kettenregel.
 <span style="color:red;">−1</span>
 <span style="color:red;">                                                                                            �</span>
 <span style="color:red;">343)</span><span style="color:green;">328)</span> Man bestimme die Ableitung der Funktion f (x, y) in Richtung <span style="color:green;">−1</span>
 <span style="color:green;">                                                                           �</span>
                                                                          1   im Punkt (3, 2)
 mit
                         x2                                         2
                                                                                                 p
    (a)   f (x, y) =          ,             (b) f (x, y) = x3 ey ,              (c) f (x, y) =    xy 3 .
                       1 + y2
 
 <span style="color:red;">344)</span><span style="color:green;">329)</span> Man berechne die Ableitung von f (x, y) = x2 + 4y 2 im Punkt P0 (3, 2)
 
  (a) in Richtung der Koordinatenachsen,
 
 <span style="color:teal;">@@ -1358,330 +1243,225 @@</span> mit
 
  (c) in Richtung von gradf .
 
 <span style="color:red;">345)</span><span style="color:green;">330)</span> In welcher Richtung erfolgt die maximale Änderung von
 
                                  f (x, y, z) = x2 sin(yz) − y 2 cos(yz)
 
 vom Punkt P0 (4, π4 , 2) aus und wie groß ist sie annähernd?
 <span style="color:red;">346)</span><span style="color:green;">331)</span> Gegeben sei die Funktion f : R2 → R mit
                                   (
                                     1 falls y − 1 = (x − 1)2 &gt; 0
                        f (x, y) =
                                     0 sonst.
 
 Zeigen Sie: f ist an der Stelle (1, 1) unstetig, aber an dieser Stelle existieren alle Richtungs-
 ableitungen und sind identisch 0.
 <span style="color:red;">347)</span><span style="color:green;">332)</span> Man bestimme die lineare und die quadratische Approximation der Funktion
                                                                        2
                                        f (x, y) = x2 (y − 1) + xey
 
 im Entwicklungspunkt (1, 0).
 <span style="color:red;">348)</span><span style="color:green;">333)</span> Für die Funktion f (x, y) = xyex+y berechne man das Taylorsche Näherungspolynom
 zweiter Ordnung an der Stelle (x0 , y0 ) = (1, 1).
 <span style="color:red;">349)</span><span style="color:green;">334)</span> Für die Funktion f (x, y) = x ln(1+xy) berechne man das Taylorsche Näherungspolynom
 zweiter Ordnung an der Stelle (x0 , y0 ) = (1, 0).
 <span style="color:red;">350)</span><span style="color:green;">335)</span> Für die Funktion f (x, y) = ex−y (x + 1) + x sin(x2 − y) berechne man das Taylorsche
 Näherungspolynom zweiter Ordnung an der Stelle (x0 , y0 ) = (0, π2 ).
 
 
                                                        <span style="color:red;">21</span><span style="color:green;">19</span>
                                                  2
 <span style="color:red;">351)</span><span style="color:green;">336)</span> Für die Funktion f (x, y, z) = ex +yz (x+yz+1) berechne man das Taylorsche Näherungspolynom
 zweiter Ordnung an der Stelle (x0 , y0 , z0 ) = (0, 0, π2 ).
 <span style="color:red;">352)</span><span style="color:green;">337)</span> Für die Funktion f (x, y, z) = x3 cos(x2 − arctan(y − z)) berechne man das Taylorsche
 Näherungspolynom zweiter Ordnung an der Stelle (x0 , y0 , z0 ) = (0, 0, π2 ).
 <span style="color:red;">353)</span><span style="color:green;">338)</span> Für die Funktion f (x, y, z) = x cos(x−y−z)) berechne man das Taylorsche Näherungspolynom
 zweiter Ordnung an der Stelle (x0 , y0 , z0 ) = (1, 1, 2).
                              dy
 <span style="color:red;">354)</span><span style="color:green;">339)</span> Man bestimme            dx   für folgende Kurven durch implizites Differenzieren:<span style="color:red;">(a)   x2/3 + y</span>
             2/3        <span style="color:green;">2/3</span>
 <span style="color:green;">    (a) x         +y</span>         = 1, für x0 = 0.5,            (b) x3 + y 3 − 2xy = 0, für x0 = 1.
 
                                                                          dy           d2 y
 <span style="color:red;">355)</span><span style="color:green;">340)</span> Es sei F (x, y) = ex sin y +ey sin x−1 = 0. Man berechne            dx   und     <span style="color:green;">dx2</span>    im Punkt (π/2, 0).<span style="color:red;">dx2</span>
                                                                                                          √
 <span style="color:red;">356)</span><span style="color:green;">341)</span> Es sei F (x, y) =       x3   − 3xy   + <span style="color:red;">y 3</span><span style="color:green;">y3</span>   − 1 = 0. Man berechne   <span style="color:red;">y 0</span><span style="color:green;">y′</span>   und   y <span style="color:red;">00</span><span style="color:green;">′′</span>   im Punkt (1, − 3).
 <span style="color:red;">357)</span><span style="color:green;">342)</span> Man berechne y <span style="color:red;">0</span><span style="color:green;">′</span> und y <span style="color:red;">00</span><span style="color:green;">′′</span> im Punkt (1, 1) der Kurve x3 + 3x2 y − 6xy 2 + 2y 3 = 0.
 <span style="color:red;">358)</span><span style="color:green;">343)</span> Es sei F (x, y, z) = x2 (2x + 3z) + y 2 (3x − 4z) + z 2 (x − 2y) − xyz = 0. Man berechne
 zx und zy .
 <span style="color:red;">359)</span><span style="color:green;">344)</span> In welchen Punkten der Kurve x2 + 4xy + 16y 2 = 27 sind die Tangenten horizontal,
 in welchen vertikal?
 <span style="color:red;">360)</span><span style="color:green;">345)</span> Bestimmen Sie alle Tangenten mit Anstieg ±1 an die Kurve 2x2 − 4xy + 9y 2 = 36.
 <span style="color:red;">361)</span><span style="color:green;">346)</span> Man ermittle die Gleichungen einer Tangente aus dem Punkt (0, 0) an die durch
 y 3 = x3 − 2x + 2 bestimmte Kurve.
 <span style="color:red;">362)</span><span style="color:green;">347)</span> Gegeben sei die quadratische Form q(x) = q(x, y) = 4x2 + 2bxy + 25y 2 mit b ∈ R. Wie
 lautet die zugehörige symmetrische Matrix A, sodass q(x) = xAxT ? Für welche Werte von
 b ist die Form positiv definit?
 <span style="color:red;">363)</span><span style="color:green;">348)</span> Bestimmen Sie einen Wert a ∈ Z, sodass die quadratische Form 3x2 + axy + 2xz +
 2y 2 + 2yz + 2z 2 positiv definit ist.
 <span style="color:red;">364)</span><span style="color:green;">349)</span> Wie <span style="color:red;">363</span><span style="color:green;">348</span> für x2 + axy + 3xz + y 2 − 2yz + 4z 2 .
 <span style="color:red;">365)</span><span style="color:green;">350)</span> Bestimmen Sie einen Wert a ∈ Z, sodass die quadratische Form −x2 + axy − 3xz +
 y 2 − 2yz + 4z 2 negativ definit ist.
 
 <span style="color:red;">366–371)</span><span style="color:green;">351–356)</span> Bestimmen Sie das Definitheitsverhalten der folgenden Matrizen:
                                                                         
              4 2 2                                        −2 −1         4
 <span style="color:red;">366)</span><span style="color:green;">351)</span> A =    2 2 3                        <span style="color:red;">367)</span><span style="color:green;">352)</span> A =      −1 −2         1 
              2 3 14                                        4      1 −10
                                                                         
              −1   1      1                                −3      3     1
 <span style="color:red;">368)</span><span style="color:green;">353)</span> A =  1 −3 −7                        <span style="color:red;">369)</span><span style="color:green;">354)</span> A =  3 −4              2 
                1 −7 −20                                    1      2 −10
                                                                      
                3 −3 −1                                    −1      0 0
 <span style="color:red;">370)</span><span style="color:green;">355)</span> A =    −3   4 −2                    <span style="color:red;">371)</span><span style="color:green;">356)</span> A =       0 −1 0 
              −1 −2 10                                      0      0 1
                                            Hinweis: Setzen Sie den Vektor (1, 0, 0) und
                                            den Vektor (0, 0, 1) in die der Matrix entspre-
                                            chenden quadratischen Form ein.
 
                                                        <span style="color:red;">22</span>
 <span style="color:red;">372–376)</span><span style="color:green;">20</span>
 <span style="color:green;">357–361)</span> Man bestimme alle relativen Extrema und Sattelpunkte der Funktion f (x, y) im
 angegebenen Bereich. Hinweis: Eine symmetrische 2x2-Matrix ist genau dann indefinit, wenn
 ihre Determinante negativ ist.
 <span style="color:red;">372)</span><span style="color:green;">357)</span> f (x, y) = (x2 + y 2 )2 − 2(x2 − y 2 ) für x, y ∈ R.
 <span style="color:red;">373)</span><span style="color:green;">358)</span> f (x, y) = 2x3 − 5xy 2 + 3y für x, y ∈ R.
 <span style="color:red;">374)</span><span style="color:green;">359)</span> f (x, y) = x2 + xy + y 2 + x + y + 1 für x, y ∈ R.
                                    2 −y 2
 <span style="color:red;">375)</span><span style="color:green;">360)</span> f (x, y) = (x2 + 5y 2 )e−x             für x, y ∈ R.
                                    <span style="color:red;">376)</span><span style="color:green;">2    2</span>
 <span style="color:green;">361)</span> f (x, y) =   (x2   + 3y 2 <span style="color:red;">)e −x2</span><span style="color:green;">)e−x</span> −2y<span style="color:red;">2</span>      für x, y ∈ R.
 
 <span style="color:red;">377–382)</span><span style="color:green;">362–367)</span> Man bestimme alle relativen Extrema und Sattelpunkte der Funktion f (x, y) im
 Inneren des angegebenen Bereichs und alle absoluten Extrema im gesamten, angegebenen
 Bereich. Hinweis: Eine symmetrische 2x2-Matrix ist genau dann indefinit, wenn ihre Deter-
 minante negativ ist.
 <span style="color:red;">377)</span><span style="color:green;">362)</span> f (x, y) = sin(x + y) + sin x + sin y für 0 ≤ x, y ≤ π/2.
 <span style="color:red;">378)</span><span style="color:green;">363)</span> f (x, y) = sin(x + y) + sin x + sin y für 0 ≤ x, y ≤ π.
 <span style="color:red;">379)</span><span style="color:green;">364)</span> f (x, y) = sin(x + y) + sin x − sin y für 0 ≤ x, y ≤ π/2.
 <span style="color:red;">380)</span><span style="color:green;">365)</span> f (x, y) = sin(x + y) + sin x − sin y für 0 ≤ x, y ≤ π.
 <span style="color:red;">381)</span><span style="color:green;">366)</span> f (x, y) = cos(x + y) + sin x + sin y für 0 ≤ x, y ≤ π/2.
 <span style="color:red;">382)</span><span style="color:green;">367)</span> f (x, y) = cos(x + y) + sin x + sin y für 0 ≤ x, y ≤ π.
 <span style="color:red;">383)</span><span style="color:green;">368)</span> Man bestimme die relativen Extrema der Funktion f (x, y) = 4(x − 2)(y 2 + 10y) + 3x3 .
 <span style="color:red;">384)</span><span style="color:green;">369)</span> Man bestimme die Extrema von f (x, y) = x2 + 3xy + 2y 2 .
 <span style="color:red;">385)</span><span style="color:green;">370)</span> Gesucht ist das absolute Maximum der Funktion f (x, y) = xy(3 − x − y) auf dem
 Definitionsbereich D = {(x, y)|x ≥ 0, y ≥ 0, y ≤ 3 − x}.
 (Anleitung: Man skizziere den Definitionsbereich D in der (x, y)-Ebene, bestimme dessen
 Rand und ermittle alle Funktionswerte auf dem Rand. Das absolute Maximum ist dann
 unter den relativen Maxima im Inneren von D sowie unter den Funktionswerten am Rand
 von D zu suchen.)
 <span style="color:green;">371) Durch Einsetzen bestätige man, dass die allgemeine Lösung der Differentialgleichung</span>
 
 <span style="color:red;">386–405) Lösen Sie die folgenden Aufgaben mit Hilfe der Methode der Lagrangeschen Mul-</span>
 <span style="color:red;">tiplikatoren.</span>
 <span style="color:red;">386) Berechnen Sie die Extrema der Funktion f (x, y) = x + y unter der Nebenbedingung</span>
 <span style="color:red;">x2 + y 2 = 1.</span>
 <span style="color:red;">387) Berechnen Sie den maximalen Wert von 3x+2y unter der Nebenbedingung x+y 2 = 0.</span>
 <span style="color:red;">388) Berechnen Sie den maximalen Wert von x − 3y unter der Nebenbedingung x2 − y = 0.</span>
 <span style="color:red;">389) Berechnen Sie den minimalen Wert von x2 +y 2 unter der Nebenbedingung 2x+3y−1 =</span>
 <span style="color:red;">0.</span>
 <span style="color:red;">390) Man bestimme denjenigen Punkt auf der Ebene z = x+y, der von dem Punkt (1, 0, 0)</span>
 <span style="color:red;">den kleinsten (euklidischen) Abstand hat.</span>
 <span style="color:red;">391) Man bestimme die extremalen Werte der Funktion f (x, y) = xy auf der Einheitskreis-</span>
 <span style="color:red;">linie.</span>
 
 
 <span style="color:red;">                                                      23</span>
 <span style="color:red;">392) Man bestimme zu einer gegebenen Kugel einen eingeschriebenen Zylinder von maxi-</span>
 <span style="color:red;">maler Oberfläche.</span>
 <span style="color:red;">393) Man bestimme zu einer gegebenen Kugel einen eingeschriebenen Zylinder von maxi-</span>
 <span style="color:red;">malem Volumen.</span>
 <span style="color:red;">394) Man bestimme zu einer gegebenen Kugel einen eingeschriebenen Drehkegel von ma-</span>
 <span style="color:red;">ximaler Oberfläche.</span>
 <span style="color:red;">395) Man bestimme zu einer gegebenen Kugel einen eingeschriebenen Drehkegel von ma-</span>
 <span style="color:red;">ximalem Volumen.</span>
 <span style="color:red;">396) Welcher Quader mit gegebener Oberfläche A besitzt maximales Volumen?</span>
 <span style="color:red;">397) Welcher Kegel mit gegebener Oberfläche A besitzt maximales Volumen?</span>
 <span style="color:red;">398) Welcher Doppelkegel (das heißt, zwei Drehkegel mit gleicher Grundfläche und gleicher</span>
 <span style="color:red;">Höhe, die an ihren Basisflächen zusammengeklebt sind) mit gegebener Oberfläche A besitzt</span>
 <span style="color:red;">maximales Volumen?</span>
 <span style="color:red;">Hinweis: Quadrieren Sie die Nebenbedingung.</span>
 <span style="color:red;">399) Ein Turm habe die Form eines oben mittels einer Ebene abgeschnittenen Zylinders.</span>
 <span style="color:red;">Das Dach hat somit die Form einer Ellipse. Der Grundriß des Turms sei ein Kreis mit 12m</span>
 <span style="color:red;">Durchmesser und Mittelpunkt im Ursprung. Die Ebene, in der das Dach liegt, habe die</span>
 <span style="color:red;">Gleichung z = x + 2y + 55. Berechnen Sie die Höhe des Turms.</span>
 <span style="color:red;">400) Für welche Werte wird f (x, y, z) = xyz unter den Nebenbedingungen xy +yz +zx = a</span>
 <span style="color:red;">und x + y + z = b möglichst groß?</span>
 <span style="color:red;">401) Für welche Werte wird f (x, y, z) = x2 + y 2 + z 2 unter den Nebenbedingungen xy +</span>
 <span style="color:red;">yz + zx = a und x + y + z = b möglichst groß?</span>
 <span style="color:red;">402) Bestimmen Sie alle Extrema der Funktion f (x, y, z) = x + 3y + 2z unter den Neben-</span>
 <span style="color:red;">bedingungen x2 + y 2 = 1 und x + z = 2.</span>
 <span style="color:red;">403) Die Herstellung eines Produks P unter Verwendung zweier Produktionsfaktoren A</span>
 <span style="color:red;">und B werde durch die Produktionsfunktion</span>
 <span style="color:red;">                                                          1   1</span>
 <span style="color:red;">                        (NB)      y = f (x1 , x2 ) = 5 − √ − √</span>
 <span style="color:red;">                                                          x1   x2</span>
 
 <span style="color:red;">beschrieben. Der Gewinn des Produzenten sei durch</span>
 
 <span style="color:red;">                             G(x1 , x2 , y) = yp0 − x1 p1 − x2 p2</span>
 
 <span style="color:red;">gegeben. Man maximiere den Gewinn für die Preise p0 = 2, p1 = 1, p2 = 8 und unter Berück-</span>
 <span style="color:red;">sichtigung der Nebenbedingung (NB), und ermittle die im Gewinnmaximum benötigten</span>
 <span style="color:red;">Faktormengen x1 , x2 , die Produktmenge y und den Unternehmergewinn G.</span>
 <span style="color:red;">404) Bestimmen Sie die stationären Punkte der Funktion f (x, y, z) = x + y + z 2 unter den</span>
 <span style="color:red;">Nebenbedingungen x2 − y 2 + z 2 = 1 und x + y = 1.</span>
 <span style="color:red;">405) Bestimmen Sie die stationären Punkte der Funktion f (x, y, z) = x − y + z 2 unter den</span>
 <span style="color:red;">Nebenbedingungen x2 + y 2 + z 2 = 2 und x − y = 1.</span>
 
 <span style="color:red;">406–412) Berechnen Sie die folgenden Bereichsintegrale:</span>
 <span style="color:red;">406) B (xy + x2 − y 2 ) dx dy, wobei B ⊂ R2 der Rechtecksbereich sei, welcher durch die</span>
 <span style="color:red;">     RR</span>
 
 <span style="color:red;">Eckpunkte (−1, 1), (5, 1), (5, 5) und (−1, 5) bestimmt ist.</span>
 
 <span style="color:red;">                                             24</span>
 <span style="color:red;">407) B (x + 2xy − y 2 ) dx dy, wobei B ⊂ R2 der Rechtecksbereich sei, welcher durch die</span>
 <span style="color:red;">     RR</span>
 
 <span style="color:red;">Eckpunkte (3, 1), (4, 1), (4, 5) und (3, 5) bestimmt ist.</span>
 <span style="color:red;">408) B e2x (y + 1) dx dy, wobei B ⊂ R2 der Rechtecksbereich sei, welcher durch die Eck-</span>
 <span style="color:red;">     RR</span>
 
 <span style="color:red;">punkte (−2, 0), (4, 0), (4, 3) und (−2, 3) bestimmt ist.</span>
 <span style="color:red;">        sin(x + y) dx dy, wobei B ⊂ R2 das Quadrat mit den Eckpunkten (0, 0), (0, π),</span>
 <span style="color:red;">     RR</span>
 <span style="color:red;">409)</span>
 <span style="color:red;">        B</span>
 <span style="color:red;">(π, 0), (π, π) sei.</span>
 <span style="color:red;">       RR 2</span>
 <span style="color:red;">410)      x ln(y) dx dy, wobei B ⊂ R2 der Bereich {(x, y) | 1 ≤ y ≤ 2 und |x| ≤ 2} sei.</span>
 <span style="color:red;">        B</span>
 
 <span style="color:red;">              (xy 2 z + 2z 2 ) dx dy dz, wobei B ⊂ R3 der Bereich {(x, y, z) | 1 ≤ x ≤ 2, |y| ≤</span>
 <span style="color:red;">        RRR</span>
 <span style="color:red;">411)</span>
 <span style="color:red;">        B</span>
 <span style="color:red;">2 und 0 ≤ z ≤ 1} sei.</span>
 <span style="color:red;">     RRR 2x</span>
 <span style="color:red;">          e (y + 1) + x sin(z) dx dy dz, wobei B ⊂ R3 der Bereich {(x, y, z) | 0 ≤ x ≤</span>
 <span style="color:red;">                              �</span>
 <span style="color:red;">412)</span>
 <span style="color:red;">        B</span>
 <span style="color:red;">2, |y| ≤ 1 und 0 ≤ z ≤ π} sei.</span>
 <span style="color:red;">413) Durch Einsetzen bestätige man, dass die allgemeine Lösung der Differentialgleichung</span>                                                 d2 y
                                             x2        − 6y = 12 ln x
                                                  dx2
 durch
                                        C2                        1
                             y(x) = C1 x3 <span style="color:red;">+ −</span><span style="color:green;">+−</span> 2 ln x +               , C1 , C2 ∈ R
                                        x2                        3
 gegeben ist. Wie lautet die partikuläre Lösung zu              den Anfangsbedingungen y(1) = 2/3,
 y <span style="color:red;">0</span><span style="color:green;">′</span> (1) = −1?
 <span style="color:red;">414)</span><span style="color:green;">372)</span> Man betrachte die Eulersche Differentialgleichung
 
                                              x2 y <span style="color:red;">00</span><span style="color:green;">′′</span> + 3xy <span style="color:red;">0</span><span style="color:green;">′</span> + y = 0.
 
 Zeigen Sie, dass C1 x1 + C2 lnxx die allgemeine Lösung dieser Differentialgleichung ist. Wie
 lautet die partikuläre Lösung zu den Anfangsbedingungen y(1) = 3, y <span style="color:red;">0</span><span style="color:green;">′</span> (1) = −2?
 
 
                                                        <span style="color:red;">415)</span><span style="color:green;">21</span>
 <span style="color:green;">373)</span> Man ermittle das Richtungsfeld der Differentialgleichung y <span style="color:red;">0</span><span style="color:green;">′</span> = xy und überlege, ob es
 durch jeden Punkt der (x, y)-Ebene genau eine Lösung der Gleichung gibt.
 <span style="color:red;">416)</span><span style="color:green;">374)</span> Gegeben ist die Differentialgleichung y <span style="color:red;">0</span><span style="color:green;">′</span> = axy mit a reell. Skizzieren Sie das Rich-
 tungsfeld und die Isoklinen für a = −2, a = −1 und a = 1.
 <span style="color:red;">417)</span><span style="color:green;">375)</span> Skizzieren Sie mit Hilfe der Isoklinen das Richtungsfeld der Differentialgleichung
                                                         xy
                                              <span style="color:red;">y0</span><span style="color:green;">y′</span> = −
                                                       <span style="color:red;">x2+1</span><span style="color:green;">x2 + 1</span>
 und finden Sie die allgemeine Lösung.
 <span style="color:red;">418)</span><span style="color:green;">376)</span> Skizzieren Sie mit Hilfe der Isoklinen das Richtungsfeld der Differentialgleichung y <span style="color:red;">0</span><span style="color:green;">′</span> =
  x
 x−y .
 
 <span style="color:red;">419)</span><span style="color:green;">377)</span> Man löse die homogene lineare Differentialgleichung y <span style="color:red;">0</span><span style="color:green;">′</span> − y tan x = 0.
 <span style="color:red;">420)</span><span style="color:green;">378)</span> Man löse die inhomogene lineare Differentialgleichung xy <span style="color:red;">0</span><span style="color:green;">′</span> + y = x2 + 3x + 2.
 <span style="color:red;">421)</span><span style="color:green;">379)</span> Man bestimme die Lösung der Differentialgleichung y <span style="color:red;">0</span><span style="color:green;">′</span> + y cos x = sin x cos x zur An-
 fangsbedingung y(0) = 1.
 
 <span style="color:red;">25</span>
 <span style="color:red;">422–427)</span><span style="color:green;">380–385)</span> Man bestimme die allgemeine Lösung der Differentialgleichung bzw. die Lösung
 der Anfangswertaufgabe:
 <span style="color:red;">422)</span><span style="color:green;">380)</span> y <span style="color:red;">0</span><span style="color:green;">′</span> = y sin x
 <span style="color:red;">423)</span><span style="color:green;">381)</span> y − xy <span style="color:red;">0</span><span style="color:green;">′</span> + 1 = 0
               <span style="color:red;">424)</span><span style="color:green;">1</span>
 <span style="color:green;">382)</span> y <span style="color:red;">0</span><span style="color:green;">′</span> +<span style="color:red;">1</span>   1−x y   = x2 , y(0) = 1
                <span style="color:red;">425)</span><span style="color:green;">1</span>
 <span style="color:green;">383)</span> y <span style="color:red;">0</span><span style="color:green;">′</span> +<span style="color:red;">1</span>   1+2x y   = 2x − 3, y(0) = 2
                 <span style="color:red;">426)</span><span style="color:green;">2</span>
 <span style="color:green;">384)</span> y<span style="color:red;">0</span> = <span style="color:red;">sin2</span><span style="color:green;">sin</span> x cos2 y
        <span style="color:red;">427)</span><span style="color:green;">′</span>
 
 <span style="color:green;">385)</span> xy <span style="color:red;">0</span><span style="color:green;">′</span> = yln xy
 <span style="color:red;">428)</span><span style="color:green;">386)</span> Man löse die folgenden linearen homogenen Differentialgleichungen:
 
                                        (a) y <span style="color:red;">00</span><span style="color:green;">′′</span> − 8y <span style="color:red;">0</span><span style="color:green;">′</span> − 20y = 0,
                                        (b) y <span style="color:red;">00</span><span style="color:green;">′′</span> + 8y <span style="color:red;">0</span><span style="color:green;">′</span> + 16y = 0,
                                        (c) y <span style="color:red;">00</span><span style="color:green;">′′</span> − 8y <span style="color:red;">0</span><span style="color:green;">′</span> + 25y = 0.
 
 <span style="color:red;">429)</span><span style="color:green;">387)</span> Man löse die folgenden linearen homogenen Differentialgleichungen:
 
                                        (a) y <span style="color:red;">00</span><span style="color:green;">′′</span> − 6y <span style="color:red;">0</span><span style="color:green;">′</span> − 27y = 0,
                                        (b) y <span style="color:red;">00</span><span style="color:green;">′′</span> + 6y <span style="color:red;">0</span><span style="color:green;">′</span> + 9y = 0,
                                        (c) y <span style="color:red;">00</span><span style="color:green;">′′</span> − 6y <span style="color:red;">0</span><span style="color:green;">′</span> + 25y = 0.
 
 <span style="color:red;">430)</span><span style="color:green;">388)</span> Man löse die folgenden linearen homogenen Differentialgleichungen:
 
                                        (a) y <span style="color:red;">00</span><span style="color:green;">′′</span> − 12y <span style="color:red;">0</span><span style="color:green;">′</span> + 36y = 0,
                                        (b) y <span style="color:red;">00</span><span style="color:green;">′′</span> + 12y <span style="color:red;">0</span><span style="color:green;">′</span> + 60y = 0,
                                        (c) y <span style="color:red;">00</span><span style="color:green;">′′</span> − 12y <span style="color:red;">0</span><span style="color:green;">′</span> + 25y = 0.
 
 
 
                                                    <span style="color:red;">431)</span><span style="color:green;">22</span>
 <span style="color:green;">389)</span> Man löse die folgenden linearen homogenen Differentialgleichungen:
 
                                        (a) y <span style="color:red;">00</span><span style="color:green;">′′</span> − 10y <span style="color:red;">0</span><span style="color:green;">′</span> + 100y = 0,
                                        (b) y <span style="color:red;">00</span><span style="color:green;">′′</span> + 10y <span style="color:red;">0</span><span style="color:green;">′</span> + 16y = 0,
                                        (c) y <span style="color:red;">00</span><span style="color:green;">′′</span> − 10y <span style="color:red;">0</span><span style="color:green;">′</span> + 25y = 0.
 
 <span style="color:red;">432)</span><span style="color:green;">390)</span> Man bestimme die partikuläre Lösung der Differentialgleichung y <span style="color:red;">00</span><span style="color:green;">′′</span> + 2y <span style="color:red;">0</span><span style="color:green;">′</span> + 2y = 0 zu
 den Anfangsbedingungen y(0) = 1 und y <span style="color:red;">0</span><span style="color:green;">′</span> (0) = 0.
 <span style="color:red;">433)</span><span style="color:green;">391)</span> Gesucht ist die allgemeine Lösung der Differentialgleichung y <span style="color:red;">00</span><span style="color:green;">′′</span> − y <span style="color:red;">0</span><span style="color:green;">′</span> − 2y = x.
 
 <span style="color:red;">434–458)</span><span style="color:green;">392–416)</span> Lösen Sie die folgenden Differentialgleichungen:
 <span style="color:red;">434)</span><span style="color:green;">392)</span> xy <span style="color:red;">0</span><span style="color:green;">′</span> − y = x3 + 3x2 − 2x
               y
 <span style="color:red;">435)</span><span style="color:green;">393)</span> y <span style="color:red;">0</span><span style="color:green;">′</span> +    x   − ex = 0
 <span style="color:red;">436) y 0</span><span style="color:green;">394)   y′</span>   + 2(cot x)y + sin 2x = 0
 <span style="color:red;">437)</span><span style="color:green;">395)</span> y <span style="color:red;">0</span><span style="color:green;">′</span> + y cot x = 5ecos x (für x = π/2 sei y = −4)
 <span style="color:red;">438)</span><span style="color:green;">396)</span> (1 + ex )y <span style="color:red;">0</span><span style="color:green;">′</span> = −ex+y
 <span style="color:red;">26</span>
 <span style="color:red;">439)</span><span style="color:green;">397)</span> xy <span style="color:red;">0</span><span style="color:green;">′</span> = y + x2 cos x
 <span style="color:red;">440)</span><span style="color:green;">398)</span> y <span style="color:red;">00</span><span style="color:green;">′′</span> − y = 4ex
 <span style="color:red;">441)</span><span style="color:green;">399)</span> y <span style="color:red;">00</span><span style="color:green;">′′</span> + 7y <span style="color:red;">0</span><span style="color:green;">′</span> + 6y = cosh(x)
 <span style="color:red;">442)</span><span style="color:green;">400)</span> y <span style="color:red;">00</span><span style="color:green;">′′</span> + 4y <span style="color:red;">0</span><span style="color:green;">′</span> + 4y = e−2x
 <span style="color:red;">443)</span><span style="color:green;">401)</span> y <span style="color:red;">000</span><span style="color:green;">′′′</span> − 5y <span style="color:red;">00</span><span style="color:green;">′′</span> + 8y <span style="color:red;">0</span><span style="color:green;">′</span> − 4y = e2x
 <span style="color:red;">444)</span><span style="color:green;">402)</span> y <span style="color:red;">00</span><span style="color:green;">′′</span> − 2y <span style="color:red;">0</span><span style="color:green;">′</span> = ex sin x
 <span style="color:red;">445)</span><span style="color:green;">403)</span> y <span style="color:red;">00</span><span style="color:green;">′′</span> + y = cos x
 <span style="color:red;">446)</span><span style="color:green;">404)</span> y <span style="color:red;">00</span><span style="color:green;">′′</span> − 6y <span style="color:red;">0</span><span style="color:green;">′</span> + 9y = x2 e3x
 <span style="color:red;">447)</span><span style="color:green;">405)</span> y <span style="color:red;">00</span><span style="color:green;">′′</span> + 3y <span style="color:red;">0</span><span style="color:green;">′</span> + y = x3x
 <span style="color:red;">448)</span><span style="color:green;">406)</span> y <span style="color:red;">00</span><span style="color:green;">′′</span> − y <span style="color:red;">0</span><span style="color:green;">′</span> + y = x
 <span style="color:red;">449)</span><span style="color:green;">407)</span> y <span style="color:red;">0</span><span style="color:green;">′</span> = − x1 y +    ln x
                         x
         <span style="color:red;">450)</span><span style="color:green;">′                  3</span>
 <span style="color:green;">408)</span> y<span style="color:red;">0</span> + 2xy = 2xy
 <span style="color:red;">3</span>
 <span style="color:red;">451)</span><span style="color:green;">409)</span> y <span style="color:red;">0</span><span style="color:green;">′</span> = (1 − 2x)y + (1 + x2 )
 <span style="color:red;">452)</span><span style="color:green;">410)</span> y <span style="color:red;">0</span><span style="color:green;">′</span> = y + xy + 1
 <span style="color:red;">453)</span><span style="color:green;">411)</span> y <span style="color:red;">000</span><span style="color:green;">′′′</span> + y <span style="color:red;">00</span><span style="color:green;">′′</span> = 6x2 + 4
 <span style="color:red;">454)</span><span style="color:green;">412)</span> x2 y <span style="color:red;">00</span><span style="color:green;">′′</span> − 5xy <span style="color:red;">0</span><span style="color:green;">′</span> + 5y = 0. Ansatz: y = xr .
 <span style="color:red;">455)</span><span style="color:green;">413)</span> x3 y <span style="color:red;">000</span><span style="color:green;">′′′</span> − 3x2 y <span style="color:red;">00</span><span style="color:green;">′′</span> + 6xy <span style="color:red;">0</span><span style="color:green;">′</span> − 6y = 0. Ansatz: y(x) = xr .
 <span style="color:red;">456)</span><span style="color:green;">414)</span> x2 y <span style="color:red;">00</span><span style="color:green;">′′</span> + 3xy <span style="color:red;">0</span><span style="color:green;">′</span> − 3y = 0. Ansatz: y = xr .
 <span style="color:red;">457)</span><span style="color:green;">415)</span> x2 y <span style="color:red;">00</span><span style="color:green;">′′</span> − xy <span style="color:red;">0</span><span style="color:green;">′</span> − 3y = x. Ansatz für yh (x): y = xr . Zur Bestimmung von yp (x) versuchen
 Sie die Standardansätze.
 <span style="color:red;">458)</span><span style="color:green;">416)</span> x2 y <span style="color:red;">00</span><span style="color:green;">′′</span> + xy <span style="color:red;">0</span><span style="color:green;">′</span> − 3y = 5x2 . Ansatz für yh (x): y = xr . Zur Bestimmung von <span style="color:red;">yp (x)</span><span style="color:green;">yp(x)</span> versuchen
 Sie die Standardansätze.
 
                                                    <span style="color:red;">459) Man diskutiere das Gleitkomma-System M(b = 10, n = 4, emin = −9, emax = 9): Zah-</span>
 <span style="color:red;">lendarstellung, größte Zahl, kleinste positive normalisierte/denormalisierte Zahl, absolute</span>
 <span style="color:red;">Abstände, Anzahl der Maschinenzahlen in M, relative Maschinengenauigkeit. Ferner zeige</span>
 <span style="color:red;">man, dass die größte darstellbare Zahl durch fortlaufende Addition von 1 in M nicht erreicht</span>
 <span style="color:red;">werden kann.</span>
 <span style="color:red;">460) In der Menge der Maschinenzahlen M ist die Multiplikation keine assoziative Opera-</span>
 <span style="color:red;">tion. Man belege diese Aussage durch ein Beispiel.</span>
 <span style="color:red;">461) Mit Hilfe der Näherung</span>
 <span style="color:red;">                                       ∆f (x)   xf 0 (x) ∆x</span>
 <span style="color:red;">                                              =</span>
 <span style="color:red;">                                        f (x)    f (x) x</span>
 <span style="color:red;">für den relativen Fehler der Funktion f (x) finde man Fehlerabschätzungen für die folgenden</span>
 <span style="color:red;">Rechenoperationen:</span>
 <span style="color:red;">                        √</span>
 <span style="color:red;">                 f (x) = x, f (x) = ex , f (x) = ln(x) und f (x) = sin x.</span>
 
 
 
 
 <span style="color:red;">                                                  27</span><span style="color:green;">23</span>
<!-- Footer - unter dieser Zeile bitte nichts löschen! -->
[[Kategorie:Materialien]]
@@ Line 1: / Line 1: @@
-Vergleich mit [[TU Wien:Analysis UE (diverse)/Übungen SS18]]
-__NOINDEX__
   Analysis für Informatik und Wirtschaftsinformatik
                                      Übungsbeispiele