TU Wien:Analysis UE (diverse)/Übungen SS19/Diff SS18

From VoWi
< TU Wien:Analysis UE (diverse)‎ | Übungen SS19
Revision as of 11:43, 7 March 2019 by Gittenburg (talk | contribs) (Gittenburg verschob die Seite TU Wien:Analysis UE (diverse)/Übungen SS19/Unterschied SS18 nach TU Wien:Analysis UE (diverse)/Übungen SS19/Diff SS18, ohne dabei eine Weiterleitung anzulegen: besserer Titel)
Jump to navigation Jump to search
Analysis für Informatik und Wirtschaftsinformatik
                                   Übungsbeispiele
1) Man gebe eine Folge reeller Zahlen an, die als Häufungspunkte genau alle natürlichen
Zahlen hat. (Hinweis: Das n-te Folgenglied muss nicht explizit angegeben werden.)
2) Man gebe eine Folge reeller Zahlen an, die als Häufungspunkte genau alle ganzen Zahlen
hat. (Hinweis: Das n-te Folgenglied muss nicht explizit angegeben werden.)
3) Gibt es eine Folge reeller Zahlen, die als Häufungspunkte genau alle rationalen Zahlen
hat?
4) Man finde alle Häufungspunkte der Folge an = (−1)n + cos nπ
                                                              2 (n ≥ 0).
5) Man finde alle Häufungspunkte der Folge an = sin nπ
                                                      2 + (−1)
                                                               n(n+1)/2 (n ≥ 0).

6) Man finde alle Häufungspunkte der Folge
                                 √
                                   n · cos nπ
                                              �
                                            2 �
                            an = √           ,             (n ≥ 1).
                                   n + sin nπ22
                                    sin n
7) Man zeige, dass die Folge an =     n (n ≥      1) nur 0 als Häufungspunkt hat.
                                    sin n+cos n
8) Man zeige, dass die Folge an =        √
                                          n
                                                      (n ≥ 1) nur 0 als Häufungspunkt hat.

9–12) Man zeige, dass die Folge an konvergiert, indem man zu beliebigem ε > 0 ein N (ε)
angebe.
        sin n + cos n                                 sin n
9) an =      √        , n≥1                 10) an = √  4
                                                            , n≥1
               n                                          n
11) an = lnnn , n ≥ 1

Anleitung: Zeigen Sie, dass aus ln x < x2 die Ungleichung ln(n) < n folgt. Die erste
Ungleichung darf ohne Beweis verwendet werden.n
12) an = 4n4nn , , n ≥ 0
Anleitung: Zeigen Sie zunächst n < 2n .
13) Sei (cn )n∈N eine beliebige reelle Folge. Man zeige, dass es zwei beschränkte Folgen
(an )n∈N , (bn )n∈N gibt, die cn = abnn für alle n ∈ N erfüllen.
14) Sei (cn )n∈N eine beliebige reelle Folge. Man zeige, dass es zwei Nullfolgen (an )n∈N ,
@@ -54,14 +54,14 @@ liche Bedingung bn 6= 0 für alle n ∈ N“, die eigentlich für die Existenz
                 ”
notwendig ist, keine große Rolle?
18) Sei (an )n∈N eine Folge mit limn→∞ an = a. Zeigen Sie, dass limn→∞ |an | = |a|.
19) Seien (an )n∈N und (bn )n∈N konvergente Folgen. Zeigen Sie, dass aus an < bn für alle
n ∈ N immer limn→∞ an ≤ limn→∞ bn folgt. Läßt sich hier ≤ durch < ersetzen?

                                                  1
                                                         1              +πn
                                                                                 (3 − n5 ) cos      πn).
                                                                             �
20) Für alle n ∈ N mit n ≥ 1 sei an = 1 +               n2   + cos      2.

  1. Gelten für die Umgebung U = U1 (3) = (2, 4) von 3 die folgenden beiden Aussagen?

@@ -70,7 +70,7 @@ limn→∞ an ≤ limn→∞ bn folgt. Läßt sich hier ≤ durch < ersetzen?

  2. Geben Sie alle Häufungspunkte der Folge (an )n≥1 an.

  3. Geben Sie eine Folge natürlicher Zahlen n1 < n2 < . . . an, sodassso dass (ank )k∈N eine
     monotone Teilfolge von (an )n≥1 ist.

  4. Warum konvergieren alle monotonen Teilfolgen von (an )n≥1 ?
@@ -78,41 +78,42 @@ limn→∞ an ≤ limn→∞ bn folgt. Läßt sich hier ≤ durch < ersetzen?

21–27) Man untersuche die Folge an (mit Hilfe vollständiger Induktion) auf Monotonie
und Beschränktheit und bestimme gegebenenfalls mit Hilfe der bekannten Rechenregeln für
Grenzwerte den Grenzwert limn→∞ an . Überlegen Sie sich dabei zuerst,auch, warum die Folge wohldefiniertwohldefi-
niert ist für alle n ≥ 0.
                       √
21) a0 = 3, an+1 = 2an − 1 für alle n ≥ 0.
                       √
22) a0 = 4, an+1 = 6an − 9 für alle n ≥ 0.
                       √
23) a0 = 2, an+1 = 4an − 3 für alle n ≥ 0.
                       p √
24) a0 = 2, an+1 = 4 · an − 3 für alle n ≥ 0. Hinweis: x4 −4x+3 = (x−1)2 (x2 +2x+3).
                       p √
25) a0 = 2, an+1 = 2 · an − 3 für alle n ≥ 0. Hinweis: x4 −2x+1 = (x−1)(x3 +x2 +x−1).
                       √
26) a0 = 2, an+1 = 3 2an − 1 für alle n ≥ 0.
                          √
27) a0 = 1/2, an+1 = 3 2an − 1 für alle n ≥ 0.
28) Man untersuche nachstehende Folgen in Hinblick auf Monotonie, Beschränktheit und
mögliche Grenzwerte. Ferner veranschauliche man die Folgen auf der reellen Zahlengeraden:

 (a) (an ) = 0, 1, 1221 , 3, 41 , 5, 61 , . . . , 2n + 1, 2n+2
                                                          1
                                                             ,...
                          n+4
 (b) (bn )(bn) mit bn =        n−1   für n ≥ 2

 (c) (cn ) mit cn = (−1)n n+1
                           n für n ≥ 1

                                                                                              √
29) Sei 0 < a0 < c und (an )n∈N eine Folge positiver reeller Zahlen mit an+1 =                 an c.
                                                               √
 (a) Zeigen Sie, dass aus 0 < a < c stets a <                      ac < c folgt.

 (b) Folgern Sie aus (a) mittels Induktion nach n, dass an definiert ist und dass 0 < an < c
     für alle n ∈ N. Überlegen Sie sich dabei zuerst,auch, warum die Folge wohldefiniert ist für alle
     n ≥ 0.

 (c) Zeigen die an irgendein Monotonieverhalten? Wenn ja, welches?

@@ -128,155 +129,147 @@ n = 0, 1, 2, . . . . Man berechne die Folgenglieder an für n = 0, . . . , 10,
in Bezug auf Wohldefiniertheit, Monotonie, Beschränktheit sowie Konvergenz und berechne
– wenn möglich – den Grenzwert.

31–46) Man untersuche die Folge (an )n∈N auf Wohldefiniertheit und Konvergenz und bestimmebe-
stimme gegebenfalls den Grenzwert. (Ohne Verwendung der Regel von de l’Hospital.)(Die an sind für fast alle n ∈ N definiert.)
             2n3 + 2n − 3                                                 4n2 + 5n − 3
31) an =                                                  32) an =
             4n3 + n2 + 5                                               2n3 +2n3+ 3n2 − n + 7
             3n2 − 5n + 7                                               2n3 − 5n2 + 7
33) an =                                                  34) an =
             3n3 − 5n + 7                                               2n3 − 5n + 7
                           9                                                          11
               2n2 − 5n 4 + 7                                           3n2 − 4n 3 + n−1
35) an =                    3                             36) an =                         3
        7n3 + 2n− 2 + 1                                             2n4 + 2n− 2 + 1
        √        √
                                                                   q
                                                                         √     √
37) an = n + 1 − n                                        38) an = n + n − n
                                                                   √        √
             n!                                                      n+2− n
39) an =                                                  40) an =
             nn
                                                                        q
                                                                              3   1
                                                                                  n
                            2 +2
                sin n
                        + nn2 −n                                         n2 −4      cos n
               (n−2)2                                                   4n2 −7n − 2n−5
41) an =             3n2 +2
                                                          42) an =           3n2 +2
                     n2 +n                                                   (n−3)2

                                                                   qn
43) an = n q n (−1 < q < 0)                               44) an =     (q > 1)
                                                                   n
         n2                                                         n22
          p                                                        n
                                                                    p
45) an =      n5 + 1                                      46) an =    n3 + n2
(Hinweis zu Bsp. 45) und Bsp. 46): Man verwende den als bekannt vorausgesetzten Grenz-
             √
wert limn→∞ n n = 1.)

47–50) Man untersuche die Folge (an )n≥1 auf Konvergenz und bestimme gegebenenfalls den
Grenzwert, indem man zwei geeignete Folgen (bn )n≥1 , (cn )n≥1 mit bn ≤ an ≤ cn finde.
47)                                                       48)
                1      1           1                                    1        1               1
      an =         +       2   + ··· ++···+ 2                            an =           +         + ······+
             n2 + 1 n2 +1 n +2+ 2      n +n                                 (n + 1) 21)2 (n + 2) 22)2        (n + n)2

49)                                                       50)
             1                 1                    1                  n2 + 1 n2 + 2       n2 + n
 an = √               +√                + ··· +···+ √                an =         + 3     + · · · +
           2···+ 3
          n2     +1        n2      +2              n2+n                 3
                                                                       n +12 n +22           n +nn3 + 1 n3 + 2           n3 + n

51) Zeigen  Sie: Sind a1 , . . . , am ≥ 0 fest gewählte reelle Zahlen und ist (bn )n∈N durch
bn = n an1 + · · · + anm definiert, so gilt lim bn = max{a1 , . . . , am }.am}.
     p




                                                          3
52) Sei die Folge (an )n∈N rekursiv gegeben durch a0 = 0 und
                                                       1
                                   an = an−1 +                      (n ≥ 1).
                                                    n(n + 1)
                                                                         1
Man zeige (mit Hilfe vollständiger Induktion)1 an = 1 −                 n+1   und bestimme den Grenzwert.
53) Sei die Folge (an )n∈N rekursiv gegeben durch a0 = 0 und
                                                        n
                                   an+1 = an +                     (n ≥ 0).
                                                     (n + 1)!

Man zeige (mit Hilfe vollständiger Induktion)
                                                             1
                                                  an = 1 −
                                                             n!
und bestimme den Grenzwert.
54) Bestimmen Sie den Grenzwert der Folge
                                      1   2         n
                              an =2      +2   + ··· + 2,                   n ≥ 1,
                                      n    nn2 n2        n
für n → ∞.

55–56) Man bestimme alle Häufungspunkte, sowie lim sup an und lim inf an der Folge an :
                                                                  n→∞                n→∞

55)                                                    56)
                         n(n+1)
                                             nπ                         n2 cos nπ
                                                                                2 +1       (2n + 1)π
      an = (−1)n n(−1)      2   +1
                                     + cos                      an =                 + sin
                                              2                             n+1                2


57–58) Man zeige, dass die Folge an uneigentlich konvergiert, indem man zu jedem A > 0
ein N (A) angebe, sodass für n > N (A) immer an > A gilt.
57)                                                    58)
                         n3 + 1                                                      2n4 + n
                 an =                                                         an =
                         n−1                                                          n3 + n

59) Man gebe zwei reelle Nullfolgen (an )n∈N , (bn )n∈N an, die
                                     an                                 an
                             lim        =0          und           lim       = +∞
                            n→∞      bn                         n→∞     b2
                                                                      nb2n

erfüllen.
60) Man gebe zwei reelle Folgen (an )n∈N , (bn )n∈N mit limn→∞ an = limn→∞ bn = +∞ an,
die
                      an                           a2
                 lim      =0      und         lim n = +∞       erfüllen.
                n→∞ bn                       n→∞ bn




                                                       4
61–66) Man bestimme die Partialsummenfolge und ermittle dann gegebenenfalls den Grenz-
wert der Reihe. (Hinweis: Man stelle die Summanden als Differenz bzw. Summe passender
Ausdrücke dar.)
      ∞                                             ∞
      X       3                                     X       1
61)                                           62)
      n=1
          n(n + 2)                                  n=1
                                                        n(n + 1)n=1                                           n=1
      ∞                                              ∞
      X      n                                      X    n+1
63)                                           64)
      n=1
          (n + 1)!                                  n=1
                                                        (n + 2)!n=1                                           n=1
      ∞                                             ∞
      X              2n + 1n                         X                 2n + 5
65)         (−1)(−1)n                             66)         (−1)n
      n=1
                    n(n + 1)                        n=1
                                                                  (n + 2)(n + 3)n=1                                           n=1
67) Seien P1 und P2 beliebige Punkte der Zahlengeraden. Man halbiere fortgesetzt die
Strecke P1 P2 in P3 , die Strecke P2 P3 in P4 , P3 P4 in P5 , usw. und bestimme die Lage von
Pn für n → ∞.
@@ -284,20 +277,20 @@ Pn für n → ∞.
68–69) Man berechne unter Benützung der komplexen Zahlen und der de Moivreschen
Formel (cos x + i sin x)n = cos(nx) + i sin(nx) den Grenzwert der Reihe:
     X sin nπ                                       X cos nπ
              3                                             3
68)         n
                                               69)
          2n2                                              2n
      n≥0                                           n≥0
            ∞                               ∞
            X 1     π2                      X     1       π2
70) Es gilt     2
                  =    . Man folgere daraus             =    .
              n2n     6                         (2n − 1)2   8
              n=1                             n=1

71) Für n = 1, 2, 3, . . . sei an = n12 , bn = n(n+1)
                                                   1
71) Für n = 1, 2, 3, . . . sei an = n12 , bn = n(n+1) , cn = n1 und dn =       1
                                                                               n+1 .   Weiters sei
A = n=1 an , B = n=1 bn , C = n=1 cn und D = ∞
    P∞              P∞              P∞                   P
                                                           n=1 dn .
@@ -313,24 +306,25 @@ A = n=1 an , B = n=1 bn , C = n=1 cn und D = ∞

72–81) Man untersuche die folgenden Reihen auf Konvergenz:
     X 3n2 + 1                                  X      n−2
72)       3
                                           73)
        5n35n − 2                                     2n3 + 5n − 3
      n≥0                                           n≥0
      Xn+2                                          X n!
74)                                           75)
             6n                                       nn
      n≥0                                           n≥1
      X 2n2 + 1                                     X         n+3
76)                                           77)
             n4 + 2                                       7n2 − 2n + 1
      n≥0                                           n≥0
      Xn−1                                          X nn−1
78)                                           79)
             3n                                            n!
      n≥0                                           n≥1

      X (n2 + 1)n                                   X 3n2
80)       √ n2                                81)
            n                                             nn
      n≥1                                           n≥0

@@ -338,18 +332,19 @@ A = n=1 an , B = n=1 bn , C = n=1 cn und D = ∞
                                             5
82–85) Man untersuche die folgenden Reihen auf Konvergenz und absolute Konvergenz:
     X (−1)n                                    X (−1)n
82)      √                                 83)
     n≥0
n2 +            2
           n +2                                 n≥1
                                                    n3/2 + 5n
      X (−1)n                                                            X     (−1)n
84)       √                                                     85)
      n≥0
          3
            n+2                                                          n≥0
                                                                             (n + 3)4/3
                                                                    P
86) Sei an ≥ 0 für alle n ≥ 0 und die Reihe                            n≥0 an        konvergent. Man zeige, dass dann
auch die Reihe n≥0 a2n konvergiert.
              P

@@ -371,44 +366,45 @@ auch die Reihe n≥0 a3n konvergiert.
92–95) Man zeige, dass die folgende Funktionenreihen im jeweils angegebenen Bereich kon-
vergieren:
     X �1�                                       X �2n�               1
n92)        2 xxn ,  |x| < 1                  93)           xn , |x| <
           n                                           n              4
      n≥0                                                                n≥0
      X       z 2n+1                                                     X z 2n
94)                   ,   z∈C                                   95)             ,           z∈C
            (2n + 1)!                                                     (2n)!
      n≥0                                                                n≥0

96–97) Man untersuche, für welche x ∈ R die folgende Funktionenreihe konvergiert:
      ∞                                                                  ∞
      X       1                                                          X          n
96)                (x − 1)n                                     97)                      (x + 1)n
            2n − 1                                                                n2 + 1
      n=1                                                                n=1
98) Man zeige
                             ∞    ∞                       ∞
                             X an X bnb n                   X (a + b)n
                                                      =                       ,        a, b ∈ R .
                                      n!         n!                 n!
                             n=0           n=0            n=0

99) Man zeige
                          ∞    ∞                              ∞
                          X an X (−1)n bn                     X (a − b)n
                                                          =                       ,       a, b ∈ R .n!     n!          n!
                          n=0
                                 n!   n=0
                                                 n!           n=0
                                                                         n!


100–101) Man untersuche, welche o-, O- und ∼-Beziehungen zwischen den Folgen an , bn
und cn bestehen.
                          n2                3n4                                                               8n2
100) an = 2n, bn =         2 ,   cn =      6n2 +1
                                                  .             101) an = n2 , bn =             1
                                                                                               n2
                                                                                                  ,   cn =   4n3 +1
                                                                                                                    .

102–103) Zeigen Sie die folgenden asymptotischen Beziehungen für die Anzahlen der Kom-
binationen mit bzw. ohne Wiederholungen für festes k und n → ∞:
@@ -418,69 +414,50 @@ binationen mit bzw. ohne Wiederholungen für festes k und n → ∞:
102)       ∼                                103)               ∼
        k     k!                                        k          k!

                                                                6
104) Zeigen Sie die folgende asymptotische Beziehung für die Anzahl der Variationen ohne
Wiederholungen für festes k und n → ∞:

                         [n]k = n(n − 1) · · ·· · (n − k + 1) = nk + O(nk−1 ).

                                                                               √
105–106) Man zeige mit Hilfe der Stirlingschen Approximationsformel n! ∼ nn e−n 2πn :
105)                                              106)
                           4n
                �      �                                      � � � �n r
                    2n                                         3n   27    3
                         ∼√                                       ∼
                     n      πn                                 n     4   4πn

107) Man bestimmeBestimmen Sie die                            108) Zeigen Sie:
Größenordnungen von
                                                     (a) an = O(1) ⇐⇒ (an ) ist beschränkt.
 (a) 2,7n2 − 0,5n + 1,
                                                     (b) an = o(1) ⇐⇒ (an ) ist eine Nullfolge.
 (b) 0,35 · 2n + 5n5 ,
     p
 (c) 1 + 1,1 n2 .108) Man zeige:

 (d) an = O(1) ⇔ (an ) beschränkt, und

 (e) an = o(1) ⇔ (an ) Nullfolge.

109) Man zeige mit Hilfe der Eulerschen Formeln den Summensatz

                          cos(u + v) = cos(u) cos(v) − sin(u) sin(v).

110) Man zeige mit Hilfe der Eulerschen Formeln den Summensatz

                          cos(u − v) = cos(u) cos(v) + sin(u) sin(v).

111) Man zeige mit Hilfe der Eulerschen Formeln den Summensatz

                          sin(u − v) = sin(u) cos(v) − cos(u) sin(v).

112) Man zeige mit Hilfe der Eulerschen Formeln den Summensatz

                          sin(u + v) = sin(u) cos(v) + cos(u) sin(v).

109–112) Man zeige mit Hilfe der Eulerschen Formeln den angegebenen Summensatz.
109) cos(u+v) = cos(u) cos(v)−sin(u) sin(v)110) cos(u−v) = cos(u) cos(v)+sin(u) sin(v)
111) sin(u−v) = sin(u) cos(v)−cos(u) sin(v)112) sin(u+v) = sin(u) cos(v)+cos(u) sin(v)
113) Mit Hilfe der Rechenregeln für die Exponentialfunktion ex beweise man für den
natürlichen Logarithmus ln(x) folgende Eigenschaften:

                           ln(xy) = ln(x) + ln(y),     ln(xy ) = y ln(x).

114) Mit Hilfe der Rechenregeln für die Exponentialfunktion ex und den natürlichen Loga-
rithmus ln(x) beweise man für eine beliebige Basis a mit a > 0 und a 6= 1 die Darstellungen

                            ax = ex·ln(a) und loga (x) = ln(x)/ ln(a).


                                               7
115–118) Man zeichne den Graphen der Funktion f (x) und bestimme alle Stellen, an denen
f (x) stetig ist. (sgn(x) = 1 für x > 0, sgn(x) = −1 für x < 0 und sgn(0) = 0.)
115) f (x) = (x − π/2) sgn(cos x)                 116) f (x) = (x2 − 1) sgn(sin(πx))
                                                  118) f (x) = x sin π3 sgn(x)
                                                                               �
117) f (x) = x sgn(sin x)
119) Man skizziere den Verlauf der Funktion f : R \ {0} → R, f (x) = sin(1/x) und
beweise, dass f (x) an der Stelle x = 0 keinen Grenzwert besitzt, indem man die beiden
@@ -488,66 +465,70 @@ Folgen xn = 1/(nπ) und xn = 1/(2nπ + π/2) betrachtet.

120–124) Man zeige, dass die folgenden Funktionen stetige Umkehrfunktionen haben und
bestimme diese:
             1 − x3                                         √7
120) f (x) =        , D fDf = (1, ∞)          121) g(x) = (1 + x)x)7 , Dg = (0, ∞)
                x3
             1 − x7                                         √
122) f (x) =7        , Df = (1, ∞)          123) g(x) = (1 + x)5 , Dg = (0, ∞)
                xx7

                                                 7
            1
124) f (x) = (ex − e−x ),e−x),         Df = R
            2
125) Man zeige mit Hilfe des Nullstellensatzes, dass die Funktion y = ex/2 − 4x + 1 im
Intervall [0, 1] sowie im Intervall [6, 7] je eine Nullstelle besitzt. Wie können diese Nullstellen
näherungsweise berechnet werden?
126) Man skizziere die Graphen der Funktionen
                                  1
                                          f3 (x) = cos2 x,
                                                                                                   p
  f1 (x) = cos x,    f2 (x) =         ,f3 (x) = cos2 x,                            f4 (x) = | cos x|,   f5 (x) =    | cos x|
                                cos x
im Intervall [0, π] und untersuche alle Funktionen auf Stetigkeit und Differenzierbarkeit.
127) Sei f : [0, a] → R stetig, f (0) = 0, f (a) > a und f (x) 6= x für 0 < x < a. Man zeige,
dass dann auch f (x) > x für 0 < x < a gilt.
128) Man zeige, dass es zu jeder stetigen Funktion f : [a, b] → [a, b] wenigstens ein x0 ∈ [a, b]
mit f (x0 ) = x0 gibt.

129–134) Man untersuche, wo die Funktion f (x) differenzierbar ist und bestimme dort f 0 (x):
             √
               x2 − 4x + 4                                         �p
                                                                     3
                                                                             �
129) f (x) = √                              130) f (x) = Arcsinarcsin        x2 − 2
               x2 − 5x + 2
             √
               x2 − 4x + 4                                         �p
                                                                     4
                                                                              �
131) f (x) = √                              132) f (x) = Arccosarccos        x2 − 2
               x2 − 6x + 3
             r                                                       r        !
               x2 + 2x + 1                                              x+1
133) f (x) =                                134)    f (x) = Arctanarctan
               x2 − 4x + 3                                              x−1

135–136) Man zeige mittels Differenzieren:
135)                             r
                                     1−x 1         π
                        Arctanarctan          + Arcsinxarcsinx = ,                   x ∈ (−1, 1)
                                     1+x 2         4

136)                                         �             �
                                                    x
                         Arcsinxarcsinx = Arctanarctan        √             ,       x ∈ (−1, 1)
                                                  1 − x28

137) Zeigen Sie: Sind g1 (x), . . . , gm (x)gm(x) differenzierbar und gj (x) 6= 0 für alle j, so gilt
                                   �Q              �0
                                        m�′
                                        m
                                        j=1 gj (x)
                                                        m
                                                        X gj0gj′ (x)
                                      Qm              =           .
                                        j=1 gjg j (x)       gj (x)
                                                        j=1


138) Man zeige, dass die Funktion cosh(x) = (ex + e−x )/2 für x ≥ 0 streng monoton wach-
@@ -559,6 +540,8 @@ der Stelle x0 = 1 streng monoton fallend ist? Machen Sie eine Skizze.
                                                 √
141) Man diskutiere die Funktion f (x) = sin x + 3 cos x im Intervall I = [0, 2π].
142) Man diskutiere die Funktion f (x) = sin x − cos x im Intervall I = [0, 2π].

                                                    8
143) Man diskutiere die Funktion f (x) = sin x + cos x im Intervall I = [−π, π].
144) Man diskutiere die Funktion f (x) = sin x + (sin x)2 (d. h. man bestimme Nullstellen,
Extremwerte, Wendepunkte, Symmetrieeigenschaften, Periodizität, . . . ) und skizziere den
@@ -566,37 +549,35 @@ Funktionsgraphen.
145) Man diskutiere die Funktion f (x) = cos x + (cos x)2 (d. h. man bestimme Nullstellen,
Extremwerte, Wendepunkte, Symmetrieeigenschaften, Periodizität, . . . ) und skizziere den
Funktionsgraphen.
                                                       2
146) Man diskutiere die Funktion f (x) = x2 e−x (d. h. man bestimme Nullstellen, Extrem-
werte, Wendepunkte, Grenzwerte, Symmetrieeigenschaften, . . . ) und skizziere den Funkti-
onsgraphen.
                                                   2
147) Man diskutiere die Funktion f (x) = e−x (d. h. man bestimme Nullstellen, Extrem-
werte, Wendepunkte, Grenzwerte, Symmetrieeigenschaften, . . . ) und skizziere den Funkti-
onsgraphen.
                                                                    2
148) Man diskutiere die Funktion definiert durch f (x) = e−1/x für x 6= 0 und f(0) = 0
(d. h. man bestimme Nullstellen, Extremwerte, Wendepunkte, Grenzwerte, Symmetrieei-
genschaften, . . . ) und skizziere den Funktionsgraphen.
                                                   2
149) Man diskutiere die Funktion f (x) = xe−x (d. h. man bestimme Nullstellen, Extrem-
werte, Wendepunkte, Grenzwerte, Symmetrieeigenschaften, . . . ) und skizziere den Funkti-
onsgraphen.
150) Man diskutiere die Funktion f (x) = e−1/x (d. h. man bestimme Definitionsmen-
ge, Nullstellen, Extremwerte, Wendepunkte, Grenzwerte, Symmetrieeigenschaften, . . . ) und
skizziere den Funktionsgraphen.
151) Sei f : R → R monoton fallend und differenzierbar. Man zeige, dass dann f 0 (x) ≤ 0
für alle x ∈ R gilt.
152) Folgt in Bsp. 151) aus der strengen Monotonie sogar f 0 (x) < 0 für alle x ∈ R? (Beweis
oder Gegenbeispiel!)
153) Sei f : R → R monoton wachsend und differenzierbar. Man zeige, dass dann f 0 (x) ≥ 0
für alle x ∈ R gilt.
154) Folgt in Bsp. 153) aus der strengen Monotonie sogar f 0 (x) > 0 für alle x ∈ R? (Beweis
oder Gegenbeispiel!)

                                                  9
155) Für die Funktion f (x) = x2 und a < b berechne man eine Stelle c im Intervall [a, b],
für die gilt f 0 (c) = (f (b) − f (a))/(b − a) (siehe Mittelwertsatz der Differentialrechnung).
Man interpretiere das erhaltene Ergebnis an Hand des Funktionsgraphen.
156) Man berechne die ersten 4 Ableitungen der Funktion f (x) = (x + 1)/(x − 1). Können
Sie allgemein einen Ausdruck für die n-te Ableitung angeben?
@@ -608,6 +589,8 @@ gemein einen Ausdruck für die n-te Ableitung angeben (Fallunterscheidung nach
von n mod 4)?
159) Man leite die unendlichen Reihen für sin(x) und cos(x) durch Entwicklung der beiden
Funktionen in eine Taylorreihe mit dem Entwicklungspunkt x0 = 0 her.

                                               9
160) Mit Hilfe der Taylorentwicklung approximiere man die Funktion f (x) = 8(x + 1)3/2
durch eine lineare bzw. eine quadratische Polynomfunktion im Punkt x0 = 0. Wie groß ist
der Fehler an der Stelle x = 0,5 ? (Hinweis: Den Approximationsfehler stelle man durch das
@@ -620,9 +603,8 @@ x0 = 0. Durch Untersuchung des Restglieds Rn (x) in Lagrangescher Form bei diese
entwicklung gebe man an, wie groß n sein muss, damit an der Stelle x = 0,1 der Unterschied
zwischen Tn (x) und ex kleiner als 10−9 ist.
164) Wie voriges Beispiel mit Unterschied zwischen Tn (x) und ex kleiner als 10−10 .
                                                  1                1                   1
165) Gegeben seien die Funktionen f (x) =        1−x ,   g(x) =   1+x   und h(x) =   1−x2 .

 (a) Stellen Sie f, g und h als Potenzreihen mit Anschlussstelle x0 = 0 dar und geben Sie
     deren Konvergenzradius an.
@@ -632,22 +614,18 @@ zwischen Tn (x) und ex kleiner als 10−9 ist.
166) Man bilde das Cauchyprodukt der Potenzreihen von sin x und cos x (jeweils mit Ent-
wicklungsstelle x0 = 0) und zeige damit die Formel sin x cos x = (sin(2x))/2.

167–171) Die Hyperbelfunktionen“hyperbolischen Winkelfunktionen Sinus hyperbolicus und und Cosinus hyperbolicushyper-
bolicus sind de-

finiertdefiniert durch:
                                    ex − e−x                       ex + e−x
                       sinh(x) :=            ,        cosh(x) :=            .
                                        2                              2

167) (a) Man zeige cosh2 (x) − sinh2 (x) = 1 und begründe mit Hilfe dieser Formel die
Bezeichnung Hyperbelfunktionen“.hyperbolische Winkelfunktionen“. (Hinweis: Wie lautet die Gleichung einerHyperbel inHyperbel in Hauptlage?)
(b) Man bestimme die erste Ableitung von sinh(x) und cosh(x).
168) Man bestimme die Potenzreihenentwicklung von cosh(x) an der Stelle x0 = 0.


                                              10
169) Man bestimme die Potenzreihenentwicklung von sinh(x) an der Stelle x0 = 0.
170) Man beweise die Formel cosh(x + y) = cosh(x) cosh(y) + sinh(x) sinh(y).
171) Man beweise die Formel sinh(x + y) = sinh(x) cosh(y) + cosh(x) sinh(y).
@@ -659,479 +637,388 @@ x0 = 0.
x0 = 0.
175) Man bestimme die Potenzreihenentwicklung von f (x) = (x2 + 1) sin x an der Stelle
x0 = 0 durch Produktbildung zweier Potenzreihen.


                                                 10
176) Man bestimme die Potenzreihenentwicklung von f (x) = (1 − x2 ) cos x an der Stelle
x0 = 0 durch Produktbildung zweier Potenzreihen.
177) Man bestimme die Potenzreihenentwicklung von f (x) = (1 + 3x − 3x2 ) cos x an der
Stelle x0 = 1 durch Produktbildung zweier Potenzreihen.
178) Wie 168, nur für x0 = 1.                 179) Wie 169, nur für x0 = 2.
180) Wie 175, nur für x0 = 3.                 181) Wie 176, nur für x0 = −1.
182) Wie 177, nur für x0 = −3.                183) Wie 175, nur für x0 = −3.184) Wie 176, nur für x0 = −2.

185–191) Man berechne die Grenzwerte nachstehender unbestimmter Formen:
185)                                        186)
               2         3 �                            1 − cos x
 (a) lim          2
                    −                           (a) lim
       x→1    1−x     1 − x3                        x→0     x

           17x2 + 4x − 1                                   x2 − 1
 (b) lim                                        (b) lim
       x→∞ x3 − 12x2 + 1                            x→1+ ln(x)

184–194) Man berechne die Grenzwerte nachstehender unbestimmter Formen:
184)                                           185)
                 2      3 �                               1 − cos x
 (a) lim            −                             (a) lim
       x→1    1 − x2 1 − x3                           x→0     x

              17x2 + 4x − 1                                  x2 − 1
 (b) lim                                          (b) lim
       x→∞    x3 − 12x2 + 1                           x→1+ ln(x)

187)                                        188)

(a) lim ln(1 − x) · ln(x)                      (a) lim (1 − 2x) tan(πx)
       x→1−                                        x→1/2186)                                           187)

 (a) lim ln(1 − x) · ln(x)(x)                     (a) lim (1 − 2x) tan(πx)
       x→1−                                           x→1/2

         3x4                                                      sin(1 − x2 )
 (b) lim 4x                                       (b) lim
     x→∞ e4xe                                            x→1   (x − 1)(cos(x − 1) − 1)

188)                                           189)

11
189)                                                  190) (a) lim ln(1 − x) · ln(x)                                x2 + 4x − 5
       x→1−                                       (a) lim
                                                      x→1 tan(πx)
             �      �
                  1�             �
 (b) lim x ln 1 +
                                                          �           �
                                                            1     1
     x→∞          x                               (b) lim     −
                                                      x→0 x     sin x

                                                        191)
           3x4
 (a) lim
       x→∞ e4x

 (b)sin(x2 )
190)    lim (1 − 2x) tan(πx)                   x→1/2


192) Man berechne den Grenzwert

                                                  sin(x2 )191) lim
       .
                                              x→0x→1/2                                            x sin x
                                                      193) Man berechne den Grenzwertx→0
               �                    �                   �      �1
                   π     πx    1                          sin x x2
192)    lim          tan    −                  .193) lim
       x→1−        2      2   1−x194) Man berechne den Grenzwert
                                                �           �    1
                                                    sin x       x2
                                          lim                        .                   x→0     x
195) Man berechne den Grenzwert194) lim xx.
       x→0+196–198) Man bestimme mit Hilfe der Bisektion auf drei Dezimalstellen genau die positive
Nullstelle der Funktion f (x) im angegebenen Intervall I:
196) f (x) = sin x − x2 , I = [π/2, π].
197) f (x) = cos x − x, I = [0, π/2].
                                   π
198) f (x) = (tan x)2 − x, |x| <   4
199) Lösen Sie Aufgabe 196 mit Hilfe des Newton-Verfahrens und mit Hilfe der Regula
falsi.
200) Lösen Sie Aufgabe 197 mit Hilfe des Newton-Verfahrens und mit Hilfe der Regula
falsi.
201) Lösen Sie Aufgabe 198 mit Hilfe des Newton-Verfahrens und mit Hilfe der Regula
falsi.
202) Gesucht ist eine in der Nähe von

                           (a) x0 = 3,              bzw.             (b) x0 = −3

                                                     12
gelegenen Nullstelle der Funktion f (x) = e−x + x2 − 10.
203) Nach welcher Zeit t (in Stunden) erreichen die Betriebskosten

                      B(t) = 10.45t + 0.0016t2 + 17200 1 − e−0.0002t


eines Netzwerkrouters den Anschaffunspreis A = 100.000, − ¤ ? Ist die Lösung eindeutig
bestimmt?
(Anleitung: Man bilde die Funktion f (t) = B(t) − A, untersuche deren Monotonieverhalten
und bestimme schließlich die gesuchte Nullstelle mit Hilfe des Newton-Verfahrens.)
204) Man zeige, dass f (x) = x4 − x − 1 in [1, 2] eine Nullstelle hat und bestimme diese
näherungsweise mit (wenigstens) 4 Schritten der Bisektion und der Regula falsi.
205) Man ermittle für sämtliche Nullstellen der Funktion f (x) = 3x+2 sin2 x+1 Näherungen,
indem man jeweils 4 Schritte des Newtonverfahrens durchführt.

206–207) Bestimmen Sie eine Nullstelle der Funktion F (x) = x2 − 1 im Intervall [0, 3],
indem Sie jeweils 3 Schritte der angegebenen Verfahrens durchführen, und vergleichen Sie
die Ergebnisse.
206) a) Bisektion, b) Regula falsi, c) Newtonsches Näherungsverfahren (Startwert Interval-
lende)
207) a) Iterative Fixpunktbestimmung für x = f (x) = (x2 + 3x − 1)/3 (Startwert Inter-
vallende), b) iterative Fixpunktbestimmung für x = g(x) = (1 + 2x − x2 )/2 (Startwert
Intervallende), c) wählen Sie eine andere Funktion h(x), sodass die Gleichung h(x) = x
äquivalent ist zur Gleichung F (x) = 0.
208) Man zeige, dass die Funktion ϕ(x) = x − e−x + cos x eine kontrahierende Abbildung
des Intervalls [1.2, 1.3] in sich ist, und berechne den (einzigen) Fixpunkt x∗ dieser Funktion
im angegebenen Intervall (Genauigkeit: zwei Nachkommastellen).
(Hinweis: Zeigen Sie zunächst, dass im angebenen Intervall f 00 (x) < 0 gilt. Was kann man
daraus für f 0 (x) schliessen? Benutzen Sie dies, um die Kontraktionseigenschaft zu zeigen!)
209) Man bestimme die Lösungsfolge der beim “Babylonischen Wurzelziehen” auftretenden
Iteration
                                     1�       a�
                   xn+1 = ϕ(xn ) =      xn +     , n = 0, 1, 2, . . .
                                     2       xn
(wobei a > 0, x0 > 0 ist) auf graphischem Weg und zeige, dass stets

                                 x1 ≥ x2 ≥ x3 ≥ · · · ≥ a

gilt, d.h., die Iterationsfolge (xn ) ist ab n = 1 monoton fallend und nach unten durch       a
beschränkt.
210) Man zeige: Für a > 0 konvergiert die Iterationsfolge (xn ) gemäß xn+1 = 2xn − ax2n
mit 2a1
        < x0 < 2a 3
                    gegen den Fixpunkt x∗ = a1 . Diese Iteration stellt somit ein Verfahren
zur Division unter ausschließlicher Verwendung von Multiplikationen dar.
                                 (
                                  −1 (t ≤ 1)                             Rx
211)195) Für die Funktion f (t) =                   berechnen Sie F (x) = 0 f (t) dt. Ist F (x)
                                  1      (t > 1)
stetig bzw. differenzierbar?
                            (                                             (
                              −2 (t ≤ 1)                                    −1 (t ≤ 1)
212)196) Wie 211)195) für f (t) =                 .   213)197) Wie 211)195) für f (t) =                .
                              1    (t > 1)                                  t    (t > 1)13
                            (                                            (
                              −t2 (t ≤ 2)                                  −t3 + 1 (t ≤ 3)
214)198) Wie 211)195) für f (t) = 2                 . 215)199) Wie 211)195) für f (t) = 3                  .
                              t     (t > 2)                                t −1      (t > 3)



                                             216–218)11
200–202) Hinweise: (i) Äquidistante Teilung des Intervalls [a, b] bedeutet, dass man die
Teilungspunkte xk = a + (b − a)k/n, k = 0, 1, . . . , n, betrachtet. (ii) nk=1 k 2k2 = n(n+1)(2n+1)
                                                                         P
                                                                                         6       ;Pn       n(n+1)       Pn     3    n+1
                                             2
(iii) k=1 k = 2n(n+1)
     Pn
                     ; (iv) k=1 knk=1 k3 = n+1
                           P               �
                 2                      2      .
                     R2
216)200) Berechnen Sie 1 x2 dx mit Hilfe von Obersummen bei äquidistanter Teilung.
                     R3 217)2
201) Berechnen Sie 2 x2x dx mit Hilfe von Untersummen bei äquidistanter Teilung.
                   R2
218)202) Berechnen Sie 1 x3 dx mit Hilfe von Untersummen bei äquidistanter Teilung.
219)203) Sei a ≥ 0. Berechnen Sie
                                                     n
                                                1    X
                                        lim                ka
                                        n→∞   na+1
                                                     k=1
durch Interpretation als Grenzwert Riemannscher Zwischensummen.
220)204) Berechnen Sie
                                               n
                                            1 X
                                      lim        k(n − k)
                                     n→∞    n3
                                               k=1
durch Interpretation als Grenzwert Riemannscher Zwischensummen.
221)205) Berechnen Sie
                                            n
                                         1 Xp 2
                                      lim     n − k2
                                     n→∞ n2
                                               k=1
durch Interpretation als Grenzwert Riemannscher Zwischensummen.
222)206) Berechnen Sie
                                               n
                                               X        1
                                       lim n
                                       n→∞           n2 + k 2
                                               k=1
durch Interpretation als Grenzwert Riemannscher Zwischensummen.
223)207) Berechnen Sie
                                            n
                                        1 Xp
                                     lim  2
                                              k(n − k)
                                    n→∞ n2n
                                              k=1
durch Interpretation als Grenzwert Riemannscher Zwischensummen.
                                                                1+t
Hinweis: Man substitutiere im auftretenden Integral x =          2 .
224)208) Mit Hilfe der Substitutionsregel beweise man dienachstehende Integrationsregel
             Z 0
                u (x)                                                        dx
                                                                         Z
                      dx = ln |u(x)| + Cu(x)
                     Z
                         dx      und berechne damit                  .
                u(x)                                                       x ln x
                                                                       R
225)209) Wie 224,208, nur letzter Teil ersetzt durch und berechne damit cot(x) dx.“ (cot(x) :=
                                               ”
cos(x)/ sin(x) bezeichnet den Cotangens).
                     Z ∞
                              1
226)210) Man berechne          √        dx.
                       1  x x−114                                  √
(Anleitung: Zum Integrieren wähle man die Substitution u = x − 1. Ferner beachte man,
dass das angegebene Integral sowohl bei x = 1 als auch bei x = ∞ uneigentlich ist.)
227)211) Sei In (x) := (1 + x2 )−n dx (n = 1, 2, 3, . . .). Durch partielle Integration zeige man
                   R

die Rekursion
                                    2n − 1              1      x
                         In+1 (x) =        · In (x) +     ·          .
                                      2n               2n (1 + x2 )n
Mit Hilfe dieser Formel berechne man I3 (x) (beachte I1 (x) = arctan(x) + C).

                                                228–267)12
212–251) Man berechne:
                                                         4x3 + x2 + 3x + 5
      Z                                        Z
228)212)    xarcsinx dx                     229)213)                                  dx
                                                       (x − 1)2 (x2 + 2x + 3)
                     x                                 x3 + x2 + 7
       Z                                       Z
x
230)        3214)                    dx              231)215)                       dx
               xx3    +1                                x2 + 5x + 6
            x2 + 1                                     x3 − x2 + 2
       Z                                       Z
232)216)                     dx             233)217)                       dx
       (x − 1)2 (x + 1)2                               x3 − 3x + 2
     Z 6          √
       x − 6x + 12x
                                               Z
234)218)                     dx             235)219)           x2 cos x dx
              x2
Z                                               Z           dx                                                dx
     236)    2
                                              237)               2
       xZ                                         Z
220)                                    221)
       x2 + 2x + 9                                     2 sinsin2 x cos2 x
            ex
     Z                                         Z
238)222)                dx                  239)223)           arccosx dx
       e2xe − ex − 6
        2x

                                                       (x − 3)2
     Z                                         Z
240)224)   xarctan (x) dx                   241)225)                    dx
                                                        x−7/2
       Z                                       Z
2
242)226)           x(ln x)x)2 dx              243)227)           (sin x)(1 + 2 cos x)4 dx
       Z √Z
                    x+1
                                               244)Z
228)                    dx              245)229)           (x2 + 1)e−2x dx
                     x
                      x2 + 1                    x2 + 3
       Z                                       Z
246)230)                              dx    247)231)           dx
               x3    + x2 − x − 1              2x2 + 7
               ex − 1
       Zx
        e −1                                     Z p
248)232)                   dx               249)233)     1 + 7x2 dx
               e2x + 1Z                                               Z
            dx                                          dx
       250)Z                                       Z
234)251)235)
        (1 + x) x                                      sin x
                                                       
     Z 2  rq                                              2πx
              q                                Z
          4                                             3x
         ( x( x x))5 dx                                     (sin2 x + √
               3
252)                                          253)236)                                    237)                                  ) dx
           1                                       0                   1 + x2
       Z       1                               Z       π/2
254)238)               x arccos x dx        255)239)                 x2 cos2 x dx
           0                                       0Z
               2Z                                       π/2
                    1   x �
       256)Z                                       Z
240)                  −      dx         257)241)                 cos2 x dx
           1        x 1 + x2                       0Z
               π/4Z                                     e
                                                            dx
       258)Z                                       Z
242)                 tan2 x dx          259)243)                √
           0                                       1       x ln x15
       Z
               1Z                                       1p
                 2
                                                               x dx
       260)            xZ                p                      Z
244)               x2    1 − x2 dx      261)245)               √
        −1                                         0           1 + x2
       Z ∞                                     Z       ∞
                                                                  2
262)246)               xe−x dx              263)247)                xe−x dx
           0                                       0Z
               ∞     �      �Z                          ∞
                          1                                    dx
       264)Z                                       Z
248)               ln 1 +     dx        265)249)                  √
           1              x                        1        x2 1 + x2ZZ                                       1
                          dx                                     dx
       266)Z                                       Z
250)267)251)               √
           1            x(1 + x)                   0           x(1 + x)

                                       268–277)13
252–261) Untersuchen Sie die folgenden uneigentlichen Integrale auf Konvergenz.
      Z ∞                                         Z ∞
          | sin x|                                     | cos x|
268)252)               dx                       269)253)                dx
       0    x 3/2
                                                    1     x2
      Z ∞                                         Z ∞
          | sin x|                                     ln x
270)           2254)               dx                       271)255)            dx
       0     xx2                                     1    x
      Z ∞                                         Z ∞
          ln x                                           x
272)256)            dx                          273)257)            dx
       1   x 2x2                                       0  ex3
      Z ∞                                         Z ∞ x
                x+3                                     x
274)258)                      dx                275)259)            dx
       0  2
          2x2x2 + 3x + 2                              0  ex2
      Z ∞                                         Z ∞
                   2x − 1                              sin x
276)          3260)                          dx            261)              dx
       0  3x3 + 2x2 + 3x + 5dx           277)              dx
       0  3x                        0     x
                                               Hinweis: Einmal partiell integrieren und erst
                                               danach die Konvergenzuntersuchung vorneh-
                                               men.
278–281)262–265) Bestimmen Sie den Wert der folgenden Integrale näherungsweise auf 3 Dezimal-
stellen (mit und ohne Computer).
Hinweis: Entwickeln Sie den Integranden in eine Taylorreihe. Wieviele Terme sind nötig,
um die gewünschte Genauigkeit zu erzielen?
      Z 1 −x2                                    Z 1
          e     − 1 + x2                               sin(u2 )
278)262)               4
                          dx                279)263)                du
       0         x4x                                 0      u
      Z 1Z                                            1/2
          cos(t2 ) − 1                                         1
                                                 280)Z
264)            2
                       dt                   281)265)         ln        dx
       0       t                                   0        1 − x3

282–293)266–277) Untersuchen Sie mit Hilfe des Integralkriteriums, ob die folgenden Reihen konver-
gieren:
                                                              √
       X            1                                 X e− n
282)266)           2                               283)267)      √
           n(ln  n −  ln n − 6)                           n
       n≥1                                            n≥1
       X        1                                     X              1
284)268)                      (α > 0)              285)269)
             n lnα n                                        (1 + n2 ) arctan n
       n≥2                                            n≥1
       X             1                                X                1
286)270)                                (α > 0)    287)271)
             n ln n lnα (ln n)                           n ln n ln(ln n) ln5 (ln(ln n))
       n≥2                                          n≥102
       X                                            X         288)2
272)         ne−n                              289)273)    ne−n
       n≥0                                            n≥016

       X ln3 (ln n)                                   X       n
290)                                            291)274)                                           275)       p
           n ln n                                          (1 + n2n 2 )3
     n≥2                                              n≥0
     X �          1
                    �                                 X        1
292)276)     ln 1 +                                293)277)          √
                  n                                       n2n 2 1 + n2
       n≥1                                            n≥1

294)278) Man zeige, dass die Ungleichung |d(x, y)−d(y, z)| ≤ d(x, z) in jedem metrischen Raum
(X, d) für alle x, y, z ∈ X gilt.




                                              295)14
279) Für jede der Metriken d = d1 (Summen-Metrik), d = d2 (Euklidische Metrik), d = d∞
(Maximums-Metrik) und d = dH (Hamming-Metrik) auf R2 beschreibe man die abgeschlos-
sene Einheitskugel K̄d (~0, 1) = {~x | d(~0, ~x) ≤ 1} geometrisch (inkl. Skizze).
296)280) Wie 295),279), aber für R3 .
297)281) (X, d) sei ein beliebiger metrischer Raum und p ∈ X. Man zeige, dass durch
                                      (
                                        0,                 falls x = y,
                         dp (x, y) :=
                                        d(x, p) + d(p, y), sonst,

eine Metrik auf X definiert wird.
298)282) Man zeige, dass die Hamming-Metrik auf Rn nicht durch eine Norm induziert wird.
299)283) Für fest gewählte a, b ∈ R, a < b, bezeichne C[a, b] die Menge aller stetigen Funktionen
                                                    Rb
f : [a, b] → R. Man zeige, dass die durch ||f || := a |f (x)|dx(x)| dx definierte Funktion || · || eine
Norm auf C[a, b] ist.
300)284) Für fest gewählte a, b ∈ R, a < b, bezeichne I[a, b] die Menge aller integrierbaren
                                                                    Rb
Funktionen f : [a, b] → R. Man überprüfe, ob die durch ||f || := a |f (x)|dx(x)| dx definierte
Funktion || · || eine Norm auf I[a, b] ist.
301)285) Man betrachte den metrischen Raum (R, d), wobei d die euklidische Metrik ist. Man
zeige, dass in diesem Raum die Menge Q weder offen noch abgeschlossen ist.
302)286) Man bestimme alle offenen und alle abgeschlossenen Mengen in (R, dH ), wobei dH die
Hamming-Metrik ist.
303)287) Man zeige, dass eine Menge O ⊆ R2 bzgl. der Euklidischen Metrik d2 offen ist genau
dann, wenn O offen ist bzgl. der Summen-Metrik d1 .
304)288) Man zeige, dass eine Menge O ⊆ R2 bzgl. der Euklidischen Metrik d2 offen ist genau
dann, wenn O offen ist bzgl. der Maximums-Metrik d∞ .
305)289) Man zeige, dass eine Menge A ⊆ R2 bzgl. der Euklidischen Metrik d2 abgeschlossen
ist genau dann, wenn A abgeschlossen ist bzgl. der Summen-Metrik d1 .
306)290) Man zeige, dass eine Menge A ⊆ R2 bzgl. der Euklidischen Metrik d2 abgeschlossen
ist genau dann, wenn A abgeschlossen ist bzgl. der Maximums-Metrik d∞ .

307–309)291–293) Man stelle den Definitionsbereich und den Wertebereich folgender Funktionen fest
und beschreibe die Höhenlinien:
307)291)                                                          r2    2
                                                                         x2 y 2
                    (a) f (x, y)z = xx2 − y 2 ,              (b) f (x, y)z =       1−       − .
                                                                         4  9

292)
                                                                   x
                                (a) z = xy,            (b) z =       .
                                                                   y

293)
                                                                   x
                             (a)   z = x2 y,           (b) z =        .
                                                                   y2

                                              17
308)
                                                                                      x
                          (a)      f (x, y) = xy,                (b)     f (x, y) =     .
                                                                                      y

309)
                                                                                      x
                         (a)      f (x, y) = x2 y,               (b) f (x, y) =          .
                                                                                      y2


                                               310)15
294) Gegeben sei die Polynomfunktion f (x, y) = xy 2 −10x. Man bestimme die Gleichungen
ihrer Schnittkurven mit den senkrechten Ebenen x = x0 bzw. y = y0 sowie die Höhenlinien
für z = z0 und skizziere alle drei Kurvenscharen. Mittels eines Computeralgebrasystems
ermittle man eine 3D-Darstellung der gegebenen Funktion.
311)295) Wie Bsp 310294 mit der Funktion f (x, y) = x2 y + 2x − y.
312)296) Eine Funktion f (x1 , . . . , xn )xn) heißt homogen vom Grad r, falls für jedes feste λ > 0
und alle (x1 , . . . , xn ) aus dem Definitionsbereich von f , für die (λx1 , . . . , λxn ) auch im
Definitionsbereich von f liegt, gilt:

@@ -1140,26 +1027,27 @@ Definitionsbereich von f liegt, gilt:
Man beweise, dass die beiden Produktionsfunktionen f (x, y) = cxα y 1−α und
g(x, y) = (cxα + dy α )1/α (x Arbeit, y Kapital, c, d, α konstant) homogene Funktionen vom
Homogenitätsgrad r = 1 sind.
313)297) Man prüfe nach, ob die Funktionen

           (a)   f (x, y, z) = x + (yz)1/2 (für y, z ≥ 0)                     (b) f (x, y) = x2 + y
                              b c
           (c) f (x, y) = axbax yc (mit a, b, c ∈ R, x, y > 0)

homogen sind.

314–315)298–299) Man untersuche für beliebige α, β ∈ R den Grenzwert limt→0 f (αt, βt). Ist die
Funktion f (x, y) an (0, 0) stetig?
314)298)
                                      |y|
                    f (x, y) =                   für (x, y) 6= (0, 0) und f (0, 0) = 1
                                  |x|3 + |y|

315)299)
                                    2y 2
                     f (x, y) =                 für (x, y) 6= (0, 0) und f (0, 0) = 0
                                  |x| + y 2

316)300) Sei
                                                      x cos x1 + y sin y
                                        f (x, y) =
                                                           2x − y
@@ -1169,19 +1057,20 @@ für 0 6= 2x 6= y. Man untersuche und vergleiche die iterierten Grenzwerte
                           y→0 x→0                                 x→0 y→0

Existiert der Grenzwert lim(x,y)→(0,0) f (x, y)?
317)301) Sei
                                                         x + y cos y1
                                           f (x, y) =
                                                             x+y

                                                        18
für 0 6= y 6= −x. Man untersuche und vergleiche die iterierten Grenzwerte

                           lim lim f (x, y)            und         lim lim f (x, y).
                           y→0 x→0                                 x→0 y→0

Existiert der Grenzwert lim(x,y)→(0,0) f (x, y)?


                                                        318)16
302) Sei
                                            f (x, y) = x1/y
für y > 0 und x ≥ 0. Man untersuche und vergleiche die iterierten Grenzwerte

@@ -1189,35 +1078,34 @@ für y > 0 und x ≥ 0. Man untersuche und vergleiche die iterierten Grenzwerte
                         y→0 x→1                           x→1 y→0

Existiert der Grenzwert lim(x,y)→(1,0) f (x, y)?
319)303) In welchen Punkten (x, y) ∈ R2 ist die Funktion
                                  (
                                       xy 2
                                     x2 +y 4
                                             für (x, y) 6= (0, 0)
                       f (x, y) =
                                        0    für (x, y) = (0, 0)

stetig?

320–321)
304–305) Man untersuche die Funktion
                                    f : R2 → R auf Stetigkeit (Hinweis: EsFür alle a, b ≥ 0
gilt die Ungleichung a + b ≥ 2 ab für a, b ≥ 0.):
320)ab.):
304)
                                  xy
                  f (x, y) =                für (x, y) 6= (0, 0) und f (0, 0) = 0.
                               |x| + |y|

321)305)
                              xy 2 + x2 y
                 f (x, y) =                  für (x, y) 6= (0, 0) und     f (0, 0) = 0.
                               x2 + y 2
                                                          1−cos(xy)         sin z
322)306) Sei f : R3 → R definiert durch f (x, y, z) =           xyz       +   1+x2 +y 2 .   In welchen Punkten
des Definitionsbereiches ist f stetig?
323)307) Zeigen Sie: Die Komposition stetiger Funktionen f : I ⊆ R → Rn , g : M ⊆ Rn → Rm
mit f (I) ⊆ M is wiederum stetig.
324)308) Man untersuche die Stetigkeit der Funktion f : R2 → R im Punkt (0, 0).
                                   ( 2 2
                                     x −y
                                     x2 +y 2
@@ -1225,132 +1113,129 @@ mit f (I) ⊆ M is wiederum stetig.
                        f (x, y) =
                                        0    für (x, y) = (0, 0)

325)309) Man untersuche die Stetigkeit der Funktion f : R2 → R im Punkt (0, 0).
                                   ( 3 3
                                     x +y
                        f (x, y) =   x2 +y 2 für (x, y) 6= (0, 0)f (x, y) =
                                        0    für (x, y) = (0, 0)

326)310)
                                 p
 (a) Für die Funktion f (x, y) = 1 − x2 − y 2 berechne man die partiellen Ableitungen fx ,
     fy und die Gleichung der Tangentialebene an der Stelle (x0 , y0 ) = (0.2, 0.3).


                                                   19
 (b) Man berechne alle partiellen Ableitungen erster und zweiter Ordnung für die Funktion
     f (x, y) = x2 sin y + cos(x + 2y).




                                                   327)17
311) Man prüfe nach, ob die gemischten partiellen Ableitungen fxy und fyx für die folgenden
Funktionen f (x, y) übereinstimmen:

                        x2                                             2                                  p
   (a)   f (x, y) =          ,             (b) f (x, y) = x3 ey ,                        (c) f (x, y) =    xy 3 .
                      1 + y2


328–329)312–313) Man bestimme den Definitionsbereich der Vektorfunktion x(t), sowie die Ableitung
x0x′ (t), wo sie existiert:
328)312)
                                           �              �5           �            �!
                                                  2t       4                 1
                             x(t) =            √               , sin
                                                1 − 3t2                    1 + t2

329)313)
                                                                            5
                                                                                !
                                                                  t4
                                  x(t) =       sin(1 + cos(t)), √
                                                                 1 − t2

330)314) Das elektrostatische Potential einer Punktladung Q im Koordinatenursprung ist durch
                                                     Q       1
                                  ϕ1 (x, y, z) =        p
                                                    4π�04πǫ0 x2 + y 2 + z 2

gegeben, für das Potential eines Dipols mit dem Dipolmoment p = (p, 0, 0) gilt:
                                                   1           px
                                 ϕ2 (x, y, z) =                             .
                                                  4π�0 (x4πǫ0 (x2 + y 2 + z 2 )3/22

(Dabei sind Q, p und �0ǫ0 Konstante.) In beiden Fällen berechne man das zugehörige elektri-
sche Feld E nach der Formel E = −gradϕ.

331–334)315–318) Man bestimme die partiellen Ableitungen erster Ordnung der folgenden Funktio-
nen:
                                                                      √
                           4x2 y 2
                       �           �
                                                                 y + xz
331)315) f (x, y) = Arctan                     332)arctan                     316) f (x, y, z) =
                         1+x+y                                 1 + sin2 (xyz)
                            3 �2x3 y
                                                                   x + y3z2
                       �
                          
333)2x y
317) f (x, y) = Arctan                     334)arctan                     318)  f (x, y, z) =
                         y − x3                                1 + cos2 (1 + x)

335–338)319–322) Man bestimme die Funktionalmatrix zu f                   : R3 → R2 :
                                                                   
          x     �                   �                                  x      � x �
                   sin(x + y −   z)                                                y2 z
335) f    y   =                          336)y2z
319) f  y  =cos              xy         320)                     f y =
                       cos z                                                     xy z 2
          z                                                            z
                                                                   
          x                                                          x
                    q       !
                       x−z
                                                                                  ln(Arctan(xln(arctan(x + y 2 ))
                                                                           �                           �
y+1                                                      √
337)321) f    y   =        338)y+1               322)                     f yy  =               
                                                                                       2
                        z·e
                          −xx
                   z · e− y                                                   x cos(y2 − x) · tan(xyz)
          z                                                           z
                 xy
339)323) Duch z = x+y    ist eine Fläche im R3 gegeben. Die Beschränkung von x und y auf
die Werte x = et und y = e−t (t ∈ R) liefert eine Kurve auf dieser Fläche. Man bestimme

                                                     20
dz
dt mittels Kettenregel und mache die Probe, indem man zuerst x und y in z einsetzt und
anschließend nach dem Parameter t differenziert. Wo verläuft diese Kurve auf der Fläche
horizontal?

                                                      18
                           ∂               1+tan(u)2                     ∂
324) Es sei gu (u, v) =   ∂u g(u, v)   =   v+tan(u)    und gv (u, v) = ∂v  g(u, v)   = (v + tan(u))−1 . Man
                                                       d         2 + 1).
bestimme mit Hilfe der Kettenregel h(t) =              dt g(2t, t
                         ∂                                2   3                ∂                         2 +v 3
340)325) Es sei gu (u, v) = ∂u g(u, v) = e−u(1−2u2 )e−u +v und gv (u, v) =            ∂v g(u, v)   = −ev3uv2 e−u            .
                                                   d
Man bestimme dmit Hilfe der Kettenregel h(t) = dt     g(t2 − 1, 3t).
341)326) Mit Hilfe der Kettenregel berechne man den Wert der partiellen Ableitung der Funk-
tion F (x, y) = f (g(x, y), h(x, y)) nach y an der Stelle (0, 0), wobei f (u, v) = u2 + v 2v2 ,
g(x, y) = cos x + sin y und h(x, y) = x + y + 1 ist.
                            4
342)327) Es sei zF (x, y) = y2x5 −2x2x    +y
                        y 5 −2x
                                , x = 2u − 3v + 1, y = u + 2v − 2. Man berechne ∂z∂F       ∂F
                                                                                 ∂u und∂z ∂v
für u = 2, v = 1 mit Hilfe der Kettenregel.
−1

343)328) Man bestimme die Ableitung der Funktion f (x, y) in Richtung −1

                                                                         1   im Punkt (3, 2)
mit
                        x2                                         2
                                                                                                p
   (a)   f (x, y) =          ,             (b) f (x, y) = x3 ey ,              (c) f (x, y) =    xy 3 .
                      1 + y2

344)329) Man berechne die Ableitung von f (x, y) = x2 + 4y 2 im Punkt P0 (3, 2)

 (a) in Richtung der Koordinatenachsen,

@@ -1358,330 +1243,225 @@ mit

 (c) in Richtung von gradf .

345)330) In welcher Richtung erfolgt die maximale Änderung von

                                 f (x, y, z) = x2 sin(yz) − y 2 cos(yz)

vom Punkt P0 (4, π4 , 2) aus und wie groß ist sie annähernd?
346)331) Gegeben sei die Funktion f : R2 → R mit
                                  (
                                    1 falls y − 1 = (x − 1)2 > 0
                       f (x, y) =
                                    0 sonst.

Zeigen Sie: f ist an der Stelle (1, 1) unstetig, aber an dieser Stelle existieren alle Richtungs-
ableitungen und sind identisch 0.
347)332) Man bestimme die lineare und die quadratische Approximation der Funktion
                                                                       2
                                       f (x, y) = x2 (y − 1) + xey

im Entwicklungspunkt (1, 0).
348)333) Für die Funktion f (x, y) = xyex+y berechne man das Taylorsche Näherungspolynom
zweiter Ordnung an der Stelle (x0 , y0 ) = (1, 1).
349)334) Für die Funktion f (x, y) = x ln(1+xy) berechne man das Taylorsche Näherungspolynom
zweiter Ordnung an der Stelle (x0 , y0 ) = (1, 0).
350)335) Für die Funktion f (x, y) = ex−y (x + 1) + x sin(x2 − y) berechne man das Taylorsche
Näherungspolynom zweiter Ordnung an der Stelle (x0 , y0 ) = (0, π2 ).


                                                       2119
                                                 2
351)336) Für die Funktion f (x, y, z) = ex +yz (x+yz+1) berechne man das Taylorsche Näherungspolynom
zweiter Ordnung an der Stelle (x0 , y0 , z0 ) = (0, 0, π2 ).
352)337) Für die Funktion f (x, y, z) = x3 cos(x2 − arctan(y − z)) berechne man das Taylorsche
Näherungspolynom zweiter Ordnung an der Stelle (x0 , y0 , z0 ) = (0, 0, π2 ).
353)338) Für die Funktion f (x, y, z) = x cos(x−y−z)) berechne man das Taylorsche Näherungspolynom
zweiter Ordnung an der Stelle (x0 , y0 , z0 ) = (1, 1, 2).
                             dy
354)339) Man bestimme            dx   für folgende Kurven durch implizites Differenzieren:(a)   x2/3 + y
            2/3        2/3
    (a) x         +y         = 1, für x0 = 0.5,            (b) x3 + y 3 − 2xy = 0, für x0 = 1.

                                                                         dy           d2 y
355)340) Es sei F (x, y) = ex sin y +ey sin x−1 = 0. Man berechne            dx   und     dx2    im Punkt (π/2, 0).dx2356)341) Es sei F (x, y) =       x3   − 3xy   + y 3y3   − 1 = 0. Man berechne   y 0y′   und   y 00′′   im Punkt (1, − 3).
357)342) Man berechne y 0 und y 00′′ im Punkt (1, 1) der Kurve x3 + 3x2 y − 6xy 2 + 2y 3 = 0.
358)343) Es sei F (x, y, z) = x2 (2x + 3z) + y 2 (3x − 4z) + z 2 (x − 2y) − xyz = 0. Man berechne
zx und zy .
359)344) In welchen Punkten der Kurve x2 + 4xy + 16y 2 = 27 sind die Tangenten horizontal,
in welchen vertikal?
360)345) Bestimmen Sie alle Tangenten mit Anstieg ±1 an die Kurve 2x2 − 4xy + 9y 2 = 36.
361)346) Man ermittle die Gleichungen einer Tangente aus dem Punkt (0, 0) an die durch
y 3 = x3 − 2x + 2 bestimmte Kurve.
362)347) Gegeben sei die quadratische Form q(x) = q(x, y) = 4x2 + 2bxy + 25y 2 mit b ∈ R. Wie
lautet die zugehörige symmetrische Matrix A, sodass q(x) = xAxT ? Für welche Werte von
b ist die Form positiv definit?
363)348) Bestimmen Sie einen Wert a ∈ Z, sodass die quadratische Form 3x2 + axy + 2xz +
2y 2 + 2yz + 2z 2 positiv definit ist.
364)349) Wie 363348 für x2 + axy + 3xz + y 2 − 2yz + 4z 2 .
365)350) Bestimmen Sie einen Wert a ∈ Z, sodass die quadratische Form −x2 + axy − 3xz +
y 2 − 2yz + 4z 2 negativ definit ist.

366–371)351–356) Bestimmen Sie das Definitheitsverhalten der folgenden Matrizen:
                                                                        
             4 2 2                                        −2 −1         4
366)351) A =    2 2 3                        367)352) A =      −1 −2         1 
             2 3 14                                        4      1 −10
                                                                        
             −1   1      1                                −3      3     1
368)353) A =  1 −3 −7                        369)354) A =  3 −4              2 
               1 −7 −20                                    1      2 −10
                                                                     
               3 −3 −1                                    −1      0 0
370)355) A =    −3   4 −2                    371)356) A =       0 −1 0 
             −1 −2 10                                      0      0 1
                                           Hinweis: Setzen Sie den Vektor (1, 0, 0) und
                                           den Vektor (0, 0, 1) in die der Matrix entspre-
                                           chenden quadratischen Form ein.

                                                       22
372–376)20
357–361) Man bestimme alle relativen Extrema und Sattelpunkte der Funktion f (x, y) im
angegebenen Bereich. Hinweis: Eine symmetrische 2x2-Matrix ist genau dann indefinit, wenn
ihre Determinante negativ ist.
372)357) f (x, y) = (x2 + y 2 )2 − 2(x2 − y 2 ) für x, y ∈ R.
373)358) f (x, y) = 2x3 − 5xy 2 + 3y für x, y ∈ R.
374)359) f (x, y) = x2 + xy + y 2 + x + y + 1 für x, y ∈ R.
                                   2 −y 2
375)360) f (x, y) = (x2 + 5y 2 )e−x             für x, y ∈ R.
                                   376)2    2
361) f (x, y) =   (x2   + 3y 2 )e −x2)e−x −2y2      für x, y ∈ R.

377–382)362–367) Man bestimme alle relativen Extrema und Sattelpunkte der Funktion f (x, y) im
Inneren des angegebenen Bereichs und alle absoluten Extrema im gesamten, angegebenen
Bereich. Hinweis: Eine symmetrische 2x2-Matrix ist genau dann indefinit, wenn ihre Deter-
minante negativ ist.
377)362) f (x, y) = sin(x + y) + sin x + sin y für 0 ≤ x, y ≤ π/2.
378)363) f (x, y) = sin(x + y) + sin x + sin y für 0 ≤ x, y ≤ π.
379)364) f (x, y) = sin(x + y) + sin x − sin y für 0 ≤ x, y ≤ π/2.
380)365) f (x, y) = sin(x + y) + sin x − sin y für 0 ≤ x, y ≤ π.
381)366) f (x, y) = cos(x + y) + sin x + sin y für 0 ≤ x, y ≤ π/2.
382)367) f (x, y) = cos(x + y) + sin x + sin y für 0 ≤ x, y ≤ π.
383)368) Man bestimme die relativen Extrema der Funktion f (x, y) = 4(x − 2)(y 2 + 10y) + 3x3 .
384)369) Man bestimme die Extrema von f (x, y) = x2 + 3xy + 2y 2 .
385)370) Gesucht ist das absolute Maximum der Funktion f (x, y) = xy(3 − x − y) auf dem
Definitionsbereich D = {(x, y)|x ≥ 0, y ≥ 0, y ≤ 3 − x}.
(Anleitung: Man skizziere den Definitionsbereich D in der (x, y)-Ebene, bestimme dessen
Rand und ermittle alle Funktionswerte auf dem Rand. Das absolute Maximum ist dann
unter den relativen Maxima im Inneren von D sowie unter den Funktionswerten am Rand
von D zu suchen.)
371) Durch Einsetzen bestätige man, dass die allgemeine Lösung der Differentialgleichung

386–405) Lösen Sie die folgenden Aufgaben mit Hilfe der Methode der Lagrangeschen Mul-
tiplikatoren.
386) Berechnen Sie die Extrema der Funktion f (x, y) = x + y unter der Nebenbedingung
x2 + y 2 = 1.
387) Berechnen Sie den maximalen Wert von 3x+2y unter der Nebenbedingung x+y 2 = 0.
388) Berechnen Sie den maximalen Wert von x − 3y unter der Nebenbedingung x2 − y = 0.
389) Berechnen Sie den minimalen Wert von x2 +y 2 unter der Nebenbedingung 2x+3y−1 =
0.
390) Man bestimme denjenigen Punkt auf der Ebene z = x+y, der von dem Punkt (1, 0, 0)
den kleinsten (euklidischen) Abstand hat.
391) Man bestimme die extremalen Werte der Funktion f (x, y) = xy auf der Einheitskreis-
linie.


                                                      23
392) Man bestimme zu einer gegebenen Kugel einen eingeschriebenen Zylinder von maxi-
maler Oberfläche.
393) Man bestimme zu einer gegebenen Kugel einen eingeschriebenen Zylinder von maxi-
malem Volumen.
394) Man bestimme zu einer gegebenen Kugel einen eingeschriebenen Drehkegel von ma-
ximaler Oberfläche.
395) Man bestimme zu einer gegebenen Kugel einen eingeschriebenen Drehkegel von ma-
ximalem Volumen.
396) Welcher Quader mit gegebener Oberfläche A besitzt maximales Volumen?
397) Welcher Kegel mit gegebener Oberfläche A besitzt maximales Volumen?
398) Welcher Doppelkegel (das heißt, zwei Drehkegel mit gleicher Grundfläche und gleicher
Höhe, die an ihren Basisflächen zusammengeklebt sind) mit gegebener Oberfläche A besitzt
maximales Volumen?
Hinweis: Quadrieren Sie die Nebenbedingung.
399) Ein Turm habe die Form eines oben mittels einer Ebene abgeschnittenen Zylinders.
Das Dach hat somit die Form einer Ellipse. Der Grundriß des Turms sei ein Kreis mit 12m
Durchmesser und Mittelpunkt im Ursprung. Die Ebene, in der das Dach liegt, habe die
Gleichung z = x + 2y + 55. Berechnen Sie die Höhe des Turms.
400) Für welche Werte wird f (x, y, z) = xyz unter den Nebenbedingungen xy +yz +zx = a
und x + y + z = b möglichst groß?
401) Für welche Werte wird f (x, y, z) = x2 + y 2 + z 2 unter den Nebenbedingungen xy +
yz + zx = a und x + y + z = b möglichst groß?
402) Bestimmen Sie alle Extrema der Funktion f (x, y, z) = x + 3y + 2z unter den Neben-
bedingungen x2 + y 2 = 1 und x + z = 2.
403) Die Herstellung eines Produks P unter Verwendung zweier Produktionsfaktoren A
und B werde durch die Produktionsfunktion
                                                          1   1
                        (NB)      y = f (x1 , x2 ) = 5 − √ − √
                                                          x1   x2

beschrieben. Der Gewinn des Produzenten sei durch

                             G(x1 , x2 , y) = yp0 − x1 p1 − x2 p2

gegeben. Man maximiere den Gewinn für die Preise p0 = 2, p1 = 1, p2 = 8 und unter Berück-
sichtigung der Nebenbedingung (NB), und ermittle die im Gewinnmaximum benötigten
Faktormengen x1 , x2 , die Produktmenge y und den Unternehmergewinn G.
404) Bestimmen Sie die stationären Punkte der Funktion f (x, y, z) = x + y + z 2 unter den
Nebenbedingungen x2 − y 2 + z 2 = 1 und x + y = 1.
405) Bestimmen Sie die stationären Punkte der Funktion f (x, y, z) = x − y + z 2 unter den
Nebenbedingungen x2 + y 2 + z 2 = 2 und x − y = 1.

406–412) Berechnen Sie die folgenden Bereichsintegrale:
406) B (xy + x2 − y 2 ) dx dy, wobei B ⊂ R2 der Rechtecksbereich sei, welcher durch die
     RR

Eckpunkte (−1, 1), (5, 1), (5, 5) und (−1, 5) bestimmt ist.

                                             24
407) B (x + 2xy − y 2 ) dx dy, wobei B ⊂ R2 der Rechtecksbereich sei, welcher durch die
     RR

Eckpunkte (3, 1), (4, 1), (4, 5) und (3, 5) bestimmt ist.
408) B e2x (y + 1) dx dy, wobei B ⊂ R2 der Rechtecksbereich sei, welcher durch die Eck-
     RR

punkte (−2, 0), (4, 0), (4, 3) und (−2, 3) bestimmt ist.
        sin(x + y) dx dy, wobei B ⊂ R2 das Quadrat mit den Eckpunkten (0, 0), (0, π),
     RR
409)
        B
(π, 0), (π, π) sei.
       RR 2
410)      x ln(y) dx dy, wobei B ⊂ R2 der Bereich {(x, y) | 1 ≤ y ≤ 2 und |x| ≤ 2} sei.
        B

              (xy 2 z + 2z 2 ) dx dy dz, wobei B ⊂ R3 der Bereich {(x, y, z) | 1 ≤ x ≤ 2, |y| ≤
        RRR
411)
        B
2 und 0 ≤ z ≤ 1} sei.
     RRR 2x
          e (y + 1) + x sin(z) dx dy dz, wobei B ⊂ R3 der Bereich {(x, y, z) | 0 ≤ x ≤

412)
        B
2, |y| ≤ 1 und 0 ≤ z ≤ π} sei.
413) Durch Einsetzen bestätige man, dass die allgemeine Lösung der Differentialgleichung                                                 d2 y
                                            x2        − 6y = 12 ln x
                                                 dx2
durch
                                       C2                        1
                            y(x) = C1 x3 + −+− 2 ln x +               , C1 , C2 ∈ R
                                       x2                        3
gegeben ist. Wie lautet die partikuläre Lösung zu              den Anfangsbedingungen y(1) = 2/3,
y 0 (1) = −1?
414)372) Man betrachte die Eulersche Differentialgleichung

                                             x2 y 00′′ + 3xy 0 + y = 0.

Zeigen Sie, dass C1 x1 + C2 lnxx die allgemeine Lösung dieser Differentialgleichung ist. Wie
lautet die partikuläre Lösung zu den Anfangsbedingungen y(1) = 3, y 0 (1) = −2?


                                                       415)21
373) Man ermittle das Richtungsfeld der Differentialgleichung y 0 = xy und überlege, ob es
durch jeden Punkt der (x, y)-Ebene genau eine Lösung der Gleichung gibt.
416)374) Gegeben ist die Differentialgleichung y 0 = axy mit a reell. Skizzieren Sie das Rich-
tungsfeld und die Isoklinen für a = −2, a = −1 und a = 1.
417)375) Skizzieren Sie mit Hilfe der Isoklinen das Richtungsfeld der Differentialgleichung
                                                        xy
                                             y0y′ = −
                                                      x2+1x2 + 1
und finden Sie die allgemeine Lösung.
418)376) Skizzieren Sie mit Hilfe der Isoklinen das Richtungsfeld der Differentialgleichung y 0 =
 x
x−y .

419)377) Man löse die homogene lineare Differentialgleichung y 0 − y tan x = 0.
420)378) Man löse die inhomogene lineare Differentialgleichung xy 0 + y = x2 + 3x + 2.
421)379) Man bestimme die Lösung der Differentialgleichung y 0 + y cos x = sin x cos x zur An-
fangsbedingung y(0) = 1.

25
422–427)380–385) Man bestimme die allgemeine Lösung der Differentialgleichung bzw. die Lösung
der Anfangswertaufgabe:
422)380) y 0 = y sin x
423)381) y − xy 0 + 1 = 0
              424)1
382) y 0 +1   1−x y   = x2 , y(0) = 1
               425)1
383) y 0 +1   1+2x y   = 2x − 3, y(0) = 2
                426)2
384) y0 = sin2sin x cos2 y
       427)

385) xy 0 = yln xy
428)386) Man löse die folgenden linearen homogenen Differentialgleichungen:

                                       (a) y 00′′ − 8y 0 − 20y = 0,
                                       (b) y 00′′ + 8y 0 + 16y = 0,
                                       (c) y 00′′ − 8y 0 + 25y = 0.

429)387) Man löse die folgenden linearen homogenen Differentialgleichungen:

                                       (a) y 00′′ − 6y 0 − 27y = 0,
                                       (b) y 00′′ + 6y 0 + 9y = 0,
                                       (c) y 00′′ − 6y 0 + 25y = 0.

430)388) Man löse die folgenden linearen homogenen Differentialgleichungen:

                                       (a) y 00′′ − 12y 0 + 36y = 0,
                                       (b) y 00′′ + 12y 0 + 60y = 0,
                                       (c) y 00′′ − 12y 0 + 25y = 0.



                                                   431)22
389) Man löse die folgenden linearen homogenen Differentialgleichungen:

                                       (a) y 00′′ − 10y 0 + 100y = 0,
                                       (b) y 00′′ + 10y 0 + 16y = 0,
                                       (c) y 00′′ − 10y 0 + 25y = 0.

432)390) Man bestimme die partikuläre Lösung der Differentialgleichung y 00′′ + 2y 0 + 2y = 0 zu
den Anfangsbedingungen y(0) = 1 und y 0 (0) = 0.
433)391) Gesucht ist die allgemeine Lösung der Differentialgleichung y 00′′ − y 0 − 2y = x.

434–458)392–416) Lösen Sie die folgenden Differentialgleichungen:
434)392) xy 0 − y = x3 + 3x2 − 2x
              y
435)393) y 0 +    x   − ex = 0
436) y 0394)   y′   + 2(cot x)y + sin 2x = 0
437)395) y 0 + y cot x = 5ecos x (für x = π/2 sei y = −4)
438)396) (1 + ex )y 0 = −ex+y
26
439)397) xy 0 = y + x2 cos x
440)398) y 00′′ − y = 4ex
441)399) y 00′′ + 7y 0 + 6y = cosh(x)
442)400) y 00′′ + 4y 0 + 4y = e−2x
443)401) y 000′′′ − 5y 00′′ + 8y 0 − 4y = e2x
444)402) y 00′′ − 2y 0 = ex sin x
445)403) y 00′′ + y = cos x
446)404) y 00′′ − 6y 0 + 9y = x2 e3x
447)405) y 00′′ + 3y 0 + y = x3x
448)406) y 00′′ − y 0 + y = x
449)407) y 0 = − x1 y +    ln x
                        x
        450)′                  3
408) y0 + 2xy = 2xy
3
451)409) y 0 = (1 − 2x)y + (1 + x2 )
452)410) y 0 = y + xy + 1
453)411) y 000′′′ + y 00′′ = 6x2 + 4
454)412) x2 y 00′′ − 5xy 0 + 5y = 0. Ansatz: y = xr .
455)413) x3 y 000′′′ − 3x2 y 00′′ + 6xy 0 − 6y = 0. Ansatz: y(x) = xr .
456)414) x2 y 00′′ + 3xy 0 − 3y = 0. Ansatz: y = xr .
457)415) x2 y 00′′ − xy 0 − 3y = x. Ansatz für yh (x): y = xr . Zur Bestimmung von yp (x) versuchen
Sie die Standardansätze.
458)416) x2 y 00′′ + xy 0 − 3y = 5x2 . Ansatz für yh (x): y = xr . Zur Bestimmung von yp (x)yp(x) versuchen
Sie die Standardansätze.

                                                   459) Man diskutiere das Gleitkomma-System M(b = 10, n = 4, emin = −9, emax = 9): Zah-
lendarstellung, größte Zahl, kleinste positive normalisierte/denormalisierte Zahl, absolute
Abstände, Anzahl der Maschinenzahlen in M, relative Maschinengenauigkeit. Ferner zeige
man, dass die größte darstellbare Zahl durch fortlaufende Addition von 1 in M nicht erreicht
werden kann.
460) In der Menge der Maschinenzahlen M ist die Multiplikation keine assoziative Opera-
tion. Man belege diese Aussage durch ein Beispiel.
461) Mit Hilfe der Näherung
                                       ∆f (x)   xf 0 (x) ∆x
                                              =
                                        f (x)    f (x) x
für den relativen Fehler der Funktion f (x) finde man Fehlerabschätzungen für die folgenden
Rechenoperationen:

                 f (x) = x, f (x) = ex , f (x) = ln(x) und f (x) = sin x.




                                                  2723