Difference between revisions of "TU Wien:Analysis VO (Karigl)/Prüfung 2019-11-29"

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<center><math>\arcsin(x) + 2 \arctan \left( \sqrt\frac {1-x}{1+x} \right) = \frac \pi 2</math></center>
<center><math>\arcsin(x) + 2 \arctan \left( \sqrt\frac {1-x}{1+x} \right) = \frac \pi 2</math></center>
<details><summary>Lösungsvorschlag</summary>
<math>
\begin{align}
&\frac 1 \sqrt{1-x^2} + \frac 2 {1 + \frac {1-x}{1+x}} \left(\frac\sqrt{1-x}\sqrt{1+x}\right)'= 0\\
&\frac 1 \sqrt{1-x^2} + \frac {2+2x} 2 \frac{(\sqrt{1-x})'\sqrt{1+x} - \sqrt{1-x}(\sqrt{1+x})'}{1+x}= 0\\
&\frac 1 \sqrt{1-x^2} + (1+x) \frac{-\frac\sqrt{1+x}{2\sqrt{1-x}} - \frac\sqrt{1-x}{2\sqrt{1+x}}}{1+x}= 0\\
&\frac 1 \sqrt{1-x^2} + \frac{-\sqrt{1+x}\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x}\sqrt{1-x}}{2\sqrt{1-x}\sqrt{1+x}}= 0\\
&\frac 1 \sqrt{1-x^2} + \frac{-(1+x)-(1-x)}{2\sqrt{1-x}\sqrt{1+x}} = 0\\
&\frac 1 \sqrt{1-x^2} + \frac{-2}{2\sqrt{1-x}\sqrt{1+x}(1+x)} = 0\\
&\frac 1 \sqrt{1-x^2} - \frac 1 {\sqrt{1-x^2}(1+x)} = 0\\
&\frac {(1+x) - 1} {\sqrt{1-x^2}(1+x)} = 0\\
& x = 0
\end{align}
</math>
Die Lösung erfüllt die Bedingung <math>|x| < 1</math>, also setzen wir in die ursprüngliche Funktion ein:
<math>
\begin{align}
&\arcsin(0) + 2 \arctan (1) = \frac \pi 2\\
&0 + 2 \frac \pi 4 = \frac \pi 2\\
\end{align}
</math>
</details>


== Aufgabe 3 - Differentialgleichung ==
== Aufgabe 3 - Differentialgleichung ==

Revision as of 09:56, 2 March 2020

Aufgabe 1

Zeigen Sie, dass die Potenzreihe für konvergiert und für divergiert. Zeigen Sie außerdem wie sich die Reihe bei verhält.

Lösungsvorschlag Zunächst vereinfachen wir den Term:

Wir wissen, dass die hyperharmonische Reihe konvergiert. Aufgrund des Majorantenkriteriums, konvergiert unsere Reihe, wenn für fast alle n:

Nun müssen wir noch die Divergenz bei |x| > 1/9 zeigen.

Bei |x| > 1/9 divergiert die Reihe also wegen dem Nullfolgenkriterium.

Aufgabe 2

Zeige mittels Differenzieren, dass Folgendes für alle

Lösungsvorschlag

Die Lösung erfüllt die Bedingung , also setzen wir in die ursprüngliche Funktion ein:

Aufgabe 3 - Differentialgleichung

Man bestimme die partikuläre Lösung der Differentialgleichung zur Anfangsbedingung .

Aufgabe 4 - uneigentliche Integrale

Theorie uneigentliches Integral 1. und 2. Art definieren + Skizze + Beispiele

Aufgabe 5 - MC

Theorie Differential in 2 Variablen