Difference between revisions of "TU Wien:Analysis VO (Karigl)/Prüfung 2019-11-29"

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Theorie uneigentliches Integral 1. und 2. Art definieren + Skizze + Beispiele
Theorie uneigentliches Integral 1. und 2. Art definieren + Skizze + Beispiele


== Aufgabe 5 - MC ==
== Aufgabe 5 - MC zu alternierenden Reihe ==


Theorie Differential in 2 Variablen
Gegeben sei eine (differenzierbare) Funktion <math> f: D \to \mathbb{R}, D \subseteq  \mathbb{R}^2 </math> durch <math> z=f(x,y) </math>. <br><br>
 
<quiz>
{Der Graph der Funktion <math>f</math> ist
|type="[]"}
- ein Intervall in <math>\mathbb{R}</math>
- eine Kurve im <math>\mathbb{R}^2</math>
+ eine Fläche im<math>\mathbb{R}^3</math>
 
{Wieviele partielle Ableitungen zweiter Ordnung besitzt die Funktion <math>f</math> im Allgemeinen?
|type="[]"}
- 1
- 2
+ 4
- 8
- <math>\infty</math>
 
{Die totale Differenzierbarkeit von <math>f</math> ist für die Existenz ihrer partiellen Ableitungen
|type="[]"}
- notwendig
+ hinreichend
 
{Die Richtungsableitung von <math>f</math>
|type="[]"}
- beschreibt, in welcher Richtung sich <math>f</math> am stärksten ändert
- gibt den größten Funktionswert von <math>f</math> an
- ist ein Sonderfall der partiellen Ableitung
 
{Der Gradient <math>grad f</math> gibt die Richtung des größten Anstiegs von <math>f</math> an
|type="[]"}
+ Ja
- Nein
 
{Der Betrag <math>\|grad</math> <math> f\|</math> gibt den Wert des größten Anstiegs von <math>f</math> an
|type="[]"}
+ Ja
- Nein
 
{Der Gradient <math>grad</math> <math>f</math> ist in jedem Punkt von <math>D</math> in Bezug auf die Tangentialebene ein
|type="[]"}
+ Richtungsvektor
- Normalvektor
 
{Der Gradient <math>grad</math> <math>f</math> verschwindet im Allgemeinen ___ an jenen Stellen, an denen die Funktion <math>f</math> ein relatives Extremum besitzt.
|type="[]"}
- genau
+ zumindest
- höchstens
 
 
</quiz>

Latest revision as of 11:10, 5 March 2020

Aufgabe 1[edit]

Zeigen Sie, dass die Potenzreihe für konvergiert und für divergiert. Zeigen Sie außerdem wie sich die Reihe bei verhält.

Lösungsvorschlag Zunächst vereinfachen wir den Term:

Wir wissen, dass die hyperharmonische Reihe konvergiert. Aufgrund des Majorantenkriteriums, konvergiert unsere Reihe, wenn für fast alle n:

Nun müssen wir noch die Divergenz bei |x| > 1/9 zeigen.

Bei |x| > 1/9 divergiert die Reihe also wegen dem Nullfolgenkriterium.

Aufgabe 2[edit]

Zeige mittels Differenzieren, dass Folgendes für alle

Lösungsvorschlag

Die Lösung erfüllt die Bedingung , also setzen wir in die ursprüngliche Funktion ein:

Aufgabe 3 - Differentialgleichung[edit]

Man bestimme die partikuläre Lösung der Differentialgleichung zur Anfangsbedingung .

Aufgabe 4 - uneigentliche Integrale[edit]

Theorie uneigentliches Integral 1. und 2. Art definieren + Skizze + Beispiele

Aufgabe 5 - MC zu alternierenden Reihe[edit]

Gegeben sei eine (differenzierbare) Funktion durch .

  

1 Der Graph der Funktion ist

ein Intervall in
eine Kurve im
eine Fläche im

2 Wieviele partielle Ableitungen zweiter Ordnung besitzt die Funktion im Allgemeinen?

1
2
4
8

3 Die totale Differenzierbarkeit von ist für die Existenz ihrer partiellen Ableitungen

notwendig
hinreichend

4 Die Richtungsableitung von

beschreibt, in welcher Richtung sich am stärksten ändert
gibt den größten Funktionswert von an
ist ein Sonderfall der partiellen Ableitung

5 Der Gradient gibt die Richtung des größten Anstiegs von an

Ja
Nein

6 Der Betrag gibt den Wert des größten Anstiegs von an

Ja
Nein

7 Der Gradient ist in jedem Punkt von in Bezug auf die Tangentialebene ein

Richtungsvektor
Normalvektor

8 Der Gradient verschwindet im Allgemeinen ___ an jenen Stellen, an denen die Funktion ein relatives Extremum besitzt.

genau
zumindest
höchstens