TU Wien:Analysis VO (Karigl)/Prüfung 2019-11-29

Aufgabe 1Edit

Zeigen Sie, dass die Potenzreihe für   konvergiert und für   divergiert. Zeigen Sie außerdem wie sich die Reihe bei   verhält.

 

Lösungsvorschlag Zunächst vereinfachen wir den Term:

 

Wir wissen, dass die hyperharmonische Reihe   konvergiert. Aufgrund des Majorantenkriteriums, konvergiert unsere Reihe, wenn für fast alle n:

 

Nun müssen wir noch die Divergenz bei |x| > 1/9 zeigen.

 

 

Bei |x| > 1/9 divergiert die Reihe also wegen dem Nullfolgenkriterium.

Aufgabe 2Edit

Zeige mittels Differenzieren, dass Folgendes für alle  

 

Lösungsvorschlag

 

Die Lösung erfüllt die Bedingung  , also setzen wir in die ursprüngliche Funktion ein:

 

Aufgabe 3 - DifferentialgleichungEdit

Man bestimme die partikuläre Lösung der Differentialgleichung zur Anfangsbedingung  .

 

Aufgabe 4 - uneigentliche IntegraleEdit

Theorie uneigentliches Integral 1. und 2. Art definieren + Skizze + Beispiele

Aufgabe 5 - MC zu alternierenden ReiheEdit

Gegeben sei eine (differenzierbare) Funktion   durch  .

  

1 Der Graph der Funktion   ist

ein Intervall in  
eine Kurve im  
eine Fläche im 

2 Wieviele partielle Ableitungen zweiter Ordnung besitzt die Funktion   im Allgemeinen?

1
2
4
8
 

3 Die totale Differenzierbarkeit von   ist für die Existenz ihrer partiellen Ableitungen

notwendig
hinreichend

4 Die Richtungsableitung von  

beschreibt, in welcher Richtung sich   am stärksten ändert
gibt den größten Funktionswert von   an
ist ein Sonderfall der partiellen Ableitung

5 Der Gradient   gibt die Richtung des größten Anstiegs von   an

Ja
Nein

6 Der Betrag     gibt den Wert des größten Anstiegs von   an

Ja
Nein

7 Der Gradient     ist in jedem Punkt von   in Bezug auf die Tangentialebene ein

Richtungsvektor
Normalvektor

8 Der Gradient     verschwindet im Allgemeinen ___ an jenen Stellen, an denen die Funktion   ein relatives Extremum besitzt.

genau
zumindest
höchstens