TU Wien:Mathematik 1 UE (diverse)/Übungen WS07/Beispiel 10

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Man beweise mittels vollständiger Induktion

\sum\limits_{j = 1}^n j \left( {j + 1} \right) = {n \over 6}\left( {2n^2  + 6n + 4} \right), wobei \left( {n \ge 1} \right)

Beweis[Bearbeiten]

(i) Induktionsanfang
n = 1:n = 1 \to 2 = {1 \over 6}\left( {2 + 6 + 4} \right) = {{12} \over 6} = 2

(ii) Induktionsschritt

Induktionsvoraussetzung:

\sum\limits_{j = 1}^n j \left( {j + 1} \right) = {n \over 6}\left( {2n^2  + 6n + 4} \right) für ein beliebiges n \ge 1

Induktionsbehauptung:

\sum\limits_{j = 1}^{n + 1} j \left( {j + 1} \right) = {n \over 6}\left( {2n^2  + 6n + 4} \right) + (n + 1)(n + 2)



\sum\limits_{j = 1}^{n + 1} j \left( {j + 1} \right) = {{n\left( {n + 1} \right)\left( {2n + 4} \right) + \left( {n + 1} \right)\left( {6n + 12} \right)} \over 6}

\sum\limits_{j = 1}^{n + 1} j \left( {j + 1} \right) = {{\left( {n + 1} \right)\left( {2n^2  + 10n + 12} \right)} \over 6}

\sum\limits_{j = 1}^{n + 1} j \left( {j + 1} \right) = {{n + 1} \over 6}\left( {2\left( {n + 1} \right)^2  + 6\left( {n + 1} \right) + 4} \right)\ \ \ \ \ \ \ \ q.e.d.


Lösung von Schnuffel:

Hab mir das Beispiel für den Test angesehen und habe den Eindruck, dass bei der oben geposteten Lösung Behauptung und Beweis irgendwie verdreht sind. Hier meine Lösung:


Induktionsanfang:

siehe obige Lösung


Induktionsannahme:

siehe obige Lösung


Induktionsbehauptung:

\sum\limits_{j = 1}^{n + 1} j \left( {j + 1} \right) = {(n+1) \over 6}\left( {2(n+1)^2  + 6(n+1) + 4} \right)

= {{(n+1)(2n^2+4n+2+6n+6+4)} \over 6}

= {{(n+1)(2n^2+10n+12)} \over 6}

= {{2n^3+12n^2+22n+12} \over 6}

= {{2n(n^2+6n+11)} \over 6}+2


Induktionsbeweis:

{{(n)(2n^2+6n+4)} \over 6}+(n+1)(n+2)

= {{2n^3+6n^2+4n} \over 6}+n^2+3n+2

= {{2n^3+6n^2+4n+6n^2+18n+12} \over 6}

= {{2n^3+12n^2+22n+12} \over 6}

= {{2n(n^2+6n+11)} \over 6}+2


q.e.d