TU Wien:Mathematik 1 UE (diverse)/Übungen WS07/Beispiel 15

Man beweise mittels vollständiger Induktion:

$\sum _{k=1}^{n}k5^{k}={\frac {5}{16}}(n5^{n+1}-(n+1)5^{n}+1)\qquad n\geq 1$

Induktionsanfang: $n=1$ ergibt

Linke Seite: $1*5^{1}=5$

Rechte Seite: ${\frac {5}{16}}(1*5^{2}-2*5^{1}+1)={\frac {5}{16}}(16)=5$

OK.

Induktionsvorraussetzung: Es muss gezeigt werden, dass gilt:

$\sum _{k=1}^{n+1}k5^{k}={\frac {5}{16}}((n+1)5^{n+1+1}-(n+1+1)5^{n+1}+1)$

(Alle n durch n+1 ersetzt)

Wir formen die rechte Seite weiter um, zwecks Vereinfachung:

${\frac {5}{16}}(n*5^{n+2}+5^{n+2}-n*5^{n+1}-2*5^{n+1}+1)=$

Wir heben $5^{n}$ heraus!

$={\frac {5}{16}}(5^{n}*(n*5^{2}+5^{2}-n*{5}-2*5)+1)=$

$={\frac {5}{16}}(5^{n}*(25n+25-5n-10)+1)=$

$={\frac {5}{16}}(5^{n}*(20n+15)+1)$

Induktionsschluss: (Nachweis der Induktionsbehauptung)

Die rechte $(n+1)*5^{n+1}$ zu addieren. Wir vereinfachen diesen Addend:

$(n+1)*5^{n+1}=5*(n+1)*5^{n}$

Es soll sich ergeben: ${\frac {5}{16}}(5^{n}*(20n+15)+1)$

${\frac {5}{16}}(n5^{n+1}-(n+1)5^{n}+1)+5*(n+1)*5^{n}=$

Da einigen der Übergang zum nächsten Schritt etwas unklar war, füge ich ein - zunächst wird der rechte Addend mit ${\frac {16}{16}}$ multipliziert:

${\frac {5}{16}}(n5^{n+1}-(n+1)5^{n}+1)+{\frac {16*5*(n+1)*5^{n}}{16}}=$

Praktischerweise ist im linken Addend schon 5 herausgehoben - da auch im rechten Addend 5 herausgehoben werden kann, kommen wir auf:

$={\frac {5}{16}}*(n5^{n+1}-(n+1)5^{n}+1+16(n+1)*5^{n})=$

$={\frac {5}{16}}*(n5^{n+1}-(n+1)5^{n}+1+(16n+16)*5^{n})=$

Wiederum heben wir $5^{n}$ heraus und erhalten:

$={\frac {5}{16}}*(5^{n}*(5n-n-1+16n+16)+1)=$

$={\frac {5}{16}}(5^{n}*(20n+15)+1)$

Q.e.d.