Difference between revisions of "TU Wien:Mathematik 1 UE (diverse)/Übungen WS07/Beispiel 61"
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Lösen Sie die folgenden Kongruënzen (d.h. Gleichungen in Restklassen) bzw. beweisen Sie die Unlösbarkeit: | Lösen Sie die folgenden Kongruënzen (d.h. Gleichungen in Restklassen) bzw. beweisen Sie die Unlösbarkeit: | ||
− | *< | + | *<math>x^2\equiv2\;(\text{mod}\ 5)</math> |
− | *< | + | *<math>x^2\equiv2\;(\text{mod}\ 7)</math> |
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− | a) < | + | a) <math>x^2\equiv2\;(\text{mod}\ 5)</math> |
Modulo 5 bedeutet, daß die Restklassen 0,1,2,3 und 4 vorliegen. Jetzt kann man einfach die Produkte dieser Restklassen in einer Tabelle ausrechenen oder nur die Produkte: | Modulo 5 bedeutet, daß die Restklassen 0,1,2,3 und 4 vorliegen. Jetzt kann man einfach die Produkte dieser Restklassen in einer Tabelle ausrechenen oder nur die Produkte: | ||
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Keines, daher keine Lösung. | Keines, daher keine Lösung. | ||
− | + | Falsche Lösung gelöscht siehe [[{{TALKPAGENAME}}|Diskussionsseite]] --[[Benutzer:W1n5t0n|W1n5t0n]] 23:24, 30. Mär. 2009 (CEST) | |
− | b) < | + | b) <math>x^2\equiv2\;(\text{mod}\ 7)</math> |
− | Modulo | + | Modulo 7 bedeutet, daß die Restklassen 0,1,2,3, 4, 5 und 6 vorliegen. Jetzt kann man einfach die Produkte dieser Restklassen in einer Tabelle ausrechenen oder nur die Produkte: |
0 * 0 = 0, 1 * 1 = 1, 2 * 2 = 4, 3 * 3 = 9 = '''2''', 4 * 4 = 16 = '''2''', 5 * 5 = 25 = 4, 6 * 6 = 36 = 1 | 0 * 0 = 0, 1 * 1 = 1, 2 * 2 = 4, 3 * 3 = 9 = '''2''', 4 * 4 = 16 = '''2''', 5 * 5 = 25 = 4, 6 * 6 = 36 = 1 | ||
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Lösen Sie die folgenden Kongruënzen (d.h. Gleichungen in Restklassen) bzw. beweisen Sie die Unlösbarkeit:
Hilfreiches[edit]
Lösungsversuch[edit]
Rechnen mit Kongruenzen
Allgemeines:
Modulo teilt Werte in Restklassen durch Division mit dem Mod-Wert e, d.h. beide Werte haben bei der Division durch den Faktor m (Modulo) denselben Rest.
a
b mod m bedeutet daher bei Bestehen der Kongruenz daß a/m und b/m denselben Rest haben. Daraus folgt, daß m | (b-c) gilt und somit m den Term (b-c) ohne Rest teilt (sonst nicht kongruent!).Weiters bedeutet 3a
3b mod m dasselbe wie a b mod m, man kann also die linke Seite des Ausdrucks um den gemeinsamen Teiler kürzen, wenn auf der rechten Seite m nicht teilbar ist.Ist m aber ebenfalls teilbar, so lautet die Rechenregel 3a
3b mod 3m entspricht a b mod m, d.h. auch m muß dividiert werden.Eine Kongruenz der Form ax
b ist genau dann lösbar, wenn der ggT (a, m ) die Zahl c teilt.
a)
Modulo 5 bedeutet, daß die Restklassen 0,1,2,3 und 4 vorliegen. Jetzt kann man einfach die Produkte dieser Restklassen in einer Tabelle ausrechenen oder nur die Produkte:
0 * 0 = 0, 1 * 1 = 1, 2 * 2 = 4, 3 * 3 = 9 = 4, 4 * 4 = 16 = 1
Somit hat man die Lösung, denn die Produkte welcher Restklassen ergeben die Restklasse 2? Keines, daher keine Lösung.
Falsche Lösung gelöscht siehe Diskussionsseite --W1n5t0n 23:24, 30. Mär. 2009 (CEST)
b)
Modulo 7 bedeutet, daß die Restklassen 0,1,2,3, 4, 5 und 6 vorliegen. Jetzt kann man einfach die Produkte dieser Restklassen in einer Tabelle ausrechenen oder nur die Produkte:
0 * 0 = 0, 1 * 1 = 1, 2 * 2 = 4, 3 * 3 = 9 = 2, 4 * 4 = 16 = 2, 5 * 5 = 25 = 4, 6 * 6 = 36 = 1
Somit hat man die Lösung, denn die Produkte welcher Restklassen ergeben die Restklasse 2? Restklasse 3 und 4.
In diesem Fall: x1 = 3 + 7k {k = 0 ...
}, x2 = 4 + 7k {k = 0 ... (Für ganze Zahlen 3 7k bzw. 4 7k)
Hapi