TU Wien:Mathematik 1 VO (Drmota)/Prüfung 2004-03-19 ausgearbeitet

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Drmota Prüfung vom 19.03.2004[edit]

Praxis[edit]

Beispiel 1.[edit]

Man erläutere das Prinzip der vollständigen Induktion anhand des folgenden Beispiels:

cos(x) cos(2x) cos(4x) ... cos(2^(n-1) x) = (sin(s^n x)) / (2^n sin(x))

für alle n aus |N+, x aus |R, x != k*pi Alle Schritte des Induktionsbeweises sind genau anzugeben! (Hinweis: verwenden Sie die Identität: sin(2x) = 2 sinx cosx )


Lösung hier gefunden wenn es im Rechten Teil statt s^n 2^n heißt: f.post:443285

Beispiel 2.[edit]

Bestimmen Sie det(A^3) für

A = \begin{pmatrix}1 & 4 & 1 & 2 \\ 3 & 12 & 2 & 2 \\ 1 & 4 & 7 & -3 \\ 1 & 2 & 3 & 8 \end{pmatrix}

Bestimmen Sie weiters, ob die Matrix A invertierbar ist und bestimmen Sie ggf. det(A^(-1)).

Lösungsvorschlag

det A = 1*\begin{vmatrix}12 & 2 & 2 \\ 4 & 7 & -3 \\ 2 & 3 & 8 \end{vmatrix} - 3*\begin{vmatrix}4 & 1 & 2 \\ 4 & 7 & -3 \\ 2 & 3 & 8 \end{vmatrix} + 1*\begin{vmatrix}4 & 1 & 2 \\ 12 & 2 & 2 \\ 2 & 3 & 8 \end{vmatrix} - 1*\begin{vmatrix}4 & 1 & 2 \\ 12 & 2 & 2 \\ 4 & 7 & -3 \end{vmatrix} =

= 1 * 700 - 3*218 + 1*12 - 1*116 = -58

det(A) = -58

det(A^3) = (-58)^3 = - 195 112


det(A^-1) = det(A)^-1 = (-58)^-1 = - 0,017241...

keine Garantie das die Lösung stimmt - Kommentare erwünscht

habe das gleiche rausbekommen, sollte stimmen hofemich

Anderer Vorschlag: det(A)= -58 ==> Matrix ist invertierbar ==> invertieren und nochmal det(A^-1) ausrechnen. bei det(A^3) ist hoffentlich nicht gemeint: det(B), B=A*A*A

Beispiel 3.[edit]

Bestimmen Sie alle Lösungen über |R von

x - y + z + u = -2

2x + y - 2z + u = 2

7x + 5y - 9z + 3u + v = 10

mit dem Gaußschen Eliminationsverfahren.

Lösungsversuch x y z u v

1 -1 1 1 0 | -2

2 1 -2 1 0 | 2

7 5 -9 3 1 | 10


1 -1 1 1 0 | -2

0 3 -4 -1 0 | 6 = Z2 -2*Z1

0 12 -16 -4 1 | 24 = Z3 -7*Z1


1 -1 1 1 0 | -2

0 3 -4 -1 0 | 6

0 0 0 0 1 | 0 --> v = 0

da v = 0 lasse ich die v-Spalte weg

1 -1 1 1 | -2

0 3 -4 -1 | 6


1 0 -1/3 2/3 | 0 = Z1 - 1/3*Z2

0 1 -4/3 -1/3 | 2 = Z2*1/3


nun ist ersichtlich, das unser LGS unendlich viele Lösungen hat.

jetzt wird versucht die Lösung mit Parameterdarstellung anzugeben.

1. Schritt es wird angenommen, dass z = u = 0

dadurch haben wir für: x = 0, y = 2

\begin{pmatrix}0 \\ 2 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}

2. Schritt jetzt wird versucht z und u durch die Parameter t1 und t2 zu ersetzen

x - u/3 + 2v/3 = 0 --> x = u/3 - 2v/3

y -4u/3 - v/3 = 2 --> y = 2 + 4u/3 + v/3

-->

\begin{pmatrix}0 \\ 2 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + t_{1}*\begin{pmatrix}1/3 \\ 4/3 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + t_{2}*\begin{pmatrix}-2/3 \\ 1/3 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}

Wiederum nur ein Vorschlag - Kommentare erwünscht

Beispiel 4.[edit]

Untersuchen Sie folgende Reihen auf Konvergenz:

a) unendl. b) unendl.

     ----                               ----
     \       n - 1                      \                 2n
      >     -------                      >    (-1)^n   -------
     /        5^n                       /              n^2 + 2
     ----                               ----
      n=1                                n=1


ad a) Ich habe hier das Quotientenkriteriumkriterium verwendet und da bekomm ich raus:

lim |1/(5-5/n)| = 1/5 < 1


das ist kleiner als 1 daher konvergent...

ich hoffe das stimmt so!

Lösungsvorschlag Jacko:

Anwendung des Quotientenkriteriums

| a(n+1) / a(n) | = | [n/(5^(n+1))] / [(n-1) / 5^n] | = | n / (5n-5) | --> 0

n / (5n-5) <= 1/25 < 1

dadurch wäre meine lösung absolut konvergent

natürlich erst ab einer bestimmten größe von n.

Folgende Fragen sind noch offen für mich

- wie muss ich das q (in diesem Fall 1/25) wählen?

- kann das so stimmen oder muss dieses Beispiel anders gelöst werden?

- wie kommt ihr auf das richtige kriterium zum überprüfen auf konvergenz? (bei alternierenden ist es verständlich, sonst jedoch nicht)



b) Leibnitzkriterium: alternierende folge

lim 2/n = 0


alternierende rehe + nullfolge -> konvergent

Theorie[edit]

Frage 1[edit]

Wann ist R Teilmenge von MxM eine Äquivalenzrelation? Alle definierenden Eigenschaften sind genau anzuführen. (4 Punkte)

Antwort: Eigenschaften siehe TheoriePruefung020707#Äquivalenzrelation

Frage 2[edit]

Was versteht man unter einer Permutation einer endlichen Menge?

(Lösungen dazu: siehe "Mathematische Formelsammlung" Seite 30 oben.)

Lösung: Formel für Anzahl: n!

Was versteht man unter einer Permutation einer endlichen Multimenge?

Multimenge: eine Menge bei der das gleiche/selbe Element mehrmals beinhaltet sein kann.

Lösung: Formel für Anzahl:

 (k_{1} + k_{2} ... k_{n})! / (k_{1}!*k_{2}!*...*k_{n}!)

bist du dir da sicher?? ich glaub das ist:

 (n!/k!)

und mit wiederholung einer multimenge:

 (n! / (k_{1}!*k_{2}!*...*k_{n}!)

Geben Sie jeweils auch eine Formel für die Anzahl an!

Wieso entsprechen die Permutationen einer Multimenge, die aus k-mal dem Element a und (n-k)-mal dem Element b besteht, den k-elementigen Teilmengen einer n-elementigen Menge?

k mal Element a (n-k) mal Element b

(k+(n-k))! / k!(n-k)! = n! / k!(n-k)! = (n ueber k)

einsetzten in Permutation einer Multimenge Formel (4 Punkte)

Frage 3[edit]

Wie sind die algebraischen Strukturen Gruppoid, Halbgruppe, Monoid und Gruppe definiert? Alle Eigenschaften genau (4 Punkte)

Antwort: siehe TheoriePruefung020707#Algebraische_Strukturen

Frage 4[edit]

Wann ist eine eine Abbildung f: |R -> |R stetig an der Stelle x0?

Antwort: f ist stetig an x0:

\Leftrightarrow lim[x \to x0] f(x) = f(x0)

Wann ist eine eine Abbildung f: |R -> |R differenzierbar an der Stelle x0?

Antwort: f ist differenzierbar an x0:

\Leftrightarrow \exists lim[x \to x0] (f(x)-f(x0))/(x-x0)

Wann ist eine eine Abbildung f: |R -> |R stetig differenzierbar an der Stelle x0?

Antwort: Sobald eine f differenzierbar an x0 ist, ist f auch stetig an x0 (dies gilt umgekehrt NICHT) (4 Punkte)

Frage 5[edit]

Wie ist der Rang rg(A) einer Matrix A definiert? (1 Punkt)

Antwort: Durch die Dimension des Kerns ker(f) und des Bildes f(V): rg(A) = rg(f) = dim (f(V))

Frage 6[edit]

Wann ist eine Abbildung f: U -> V (U,V Mengen) surjektiv? (1 Punkt)

Antwort:

Vorlage:Surjektivität