Difference between revisions of "TU Wien:Mathematik 2 UE (diverse)/Übungen SS11/Beispiel 25"

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<math>\lim_{x \rightarrow 1} \frac{F(x)-F(1)}{x-1} = \lim_{x \rightarrow 1} \frac{\frac{x^2-3}{2}+1}{x-1} = \lim_{x \rightarrow 1} \frac{x^2-3+2}{2(x-1)} = \lim_{x \rightarrow 1} \frac{x^2-1}{2(x-1)} = \lim_{x \rightarrow 1} \frac{x+1}{2} \rightarrow 1 </math>
 
<math>\lim_{x \rightarrow 1} \frac{F(x)-F(1)}{x-1} = \lim_{x \rightarrow 1} \frac{\frac{x^2-3}{2}+1}{x-1} = \lim_{x \rightarrow 1} \frac{x^2-3+2}{2(x-1)} = \lim_{x \rightarrow 1} \frac{x^2-1}{2(x-1)} = \lim_{x \rightarrow 1} \frac{x+1}{2} \rightarrow 1 </math>
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====Alternative Argumentation====
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Um sich die Differenzengleichung zu ersparen:
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Schon aus der Angabe ist ablesbar, daß
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<math>\begin{cases}\lim_{x \rightarrow 1-}\quad f(x) = -1\\\lim_{x \rightarrow 1+}\quad f(x) = +1\end{cases}</math>
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Da die links- und rechtsseitigen Grenzwerte an der Stelle <math>x=1</math> nicht &uuml;bereinstimmen, springt <math>f(x)=F'(x)</math> an dieser Stelle und ist daher nicht differenzierbar.
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Revision as of 05:15, 16 November 2011


Angabe

Für die Funktion f(t) = \begin{cases}-1 \, \, \, (t \leq 1) \\ t \, \, \, (t > 1)\end{cases} berechnen Sie F(x) = \int_0^x f(t) \, dt. Ist F(x) stetig bzw. differenzierbar?

Lösungsvorschlag

Integration

Es gibt zwei Fälle, die getrennt betrachtet werden müssen, nämlich x \leq 1 und x>1.


Für x \leq 1 gilt f(x)=-1.

F(x) = \int_0^x f(t) \, dt = \int_0^x -1 \, dt = -x


Im Fall x>1 gilt \int_0^x f(t) dt = \int_0^1 f(t) dt + \int_1^x f(t) dt .

F(x) = \int_0^x f(t) \, dt = \int_0^1 -1 \, dt + \int_1^x t \, dt = -1 + \frac{x^2}{2} - \frac{1}{2} = \frac{x^2 - 3}{2}


Überprüfung der Stetigkeit

Beide Teile der Funktion sind stetig, der einzige Punkt, der unstetig sein könnte ist bei x=1. Stimmen der linksseitige und der rechtsseitige Grenzwert an dieser Stelle überein, ist die Funktion stetig.

\lim_{x \rightarrow 1-} F(x) = -1

\lim_{x \rightarrow 1+} F(x) = \lim_{x \rightarrow 1+} \frac{x^2 - 3}{2} = -1

Die Grenzwerte stimmen überein, demnach ist die Funktion stetig.


Überprüfung der Differenzierbarkeit

Eine Funktion ist genau dann differenzierbar in einem Punkt x_0, wenn \lim_{x \rightarrow x_0} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} existiert.

In diesem Fall ist nur der Punkt x_0 = 1 von Bedeutung, da sowohl der Funktionszweig links von 1 als auch der Funktionszweig rechts von 1 differenzierbar sind.

Der Grenzwert \lim_{x \rightarrow 1} \frac{F(x)-F(1)}{x-1} existiert, stimmt aber für die beiden Äste der Funktion nicht überein.

Für  x \leq 1 :

\lim_{x \rightarrow 1} \frac{F(x)-F(1)}{x-1} = \lim_{x \rightarrow 1} \frac{-x+1}{x-1} = -1


Für  x>1 :

\lim_{x \rightarrow 1} \frac{F(x)-F(1)}{x-1} = \lim_{x \rightarrow 1} \frac{\frac{x^2-3}{2}+1}{x-1} = \lim_{x \rightarrow 1} \frac{x^2-3+2}{2(x-1)} = \lim_{x \rightarrow 1} \frac{x^2-1}{2(x-1)} = \lim_{x \rightarrow 1} \frac{x+1}{2} \rightarrow 1


Alternative Argumentation

Um sich die Differenzengleichung zu ersparen:

Schon aus der Angabe ist ablesbar, daß \begin{cases}\lim_{x \rightarrow 1-}\quad f(x) = -1\\\lim_{x \rightarrow 1+}\quad f(x) = +1\end{cases}

Da die links- und rechtsseitigen Grenzwerte an der Stelle x=1 nicht übereinstimmen, springt f(x)=F'(x) an dieser Stelle und ist daher nicht differenzierbar.

Baccus

Weiterführende Links

Unvollständige Version des Beispiels aus dem SS10