TU Wien:Mathematik 2 UE (diverse)/Übungen SS11/Beispiel 25

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Angabe

Für die Funktion berechnen Sie . Ist stetig bzw. differenzierbar?

Lösungsvorschlag

Integration

Es gibt zwei Fälle, die getrennt betrachtet werden müssen, nämlich und .


Für gilt .


Im Fall gilt .


Überprüfung der Stetigkeit

Beide Teile der Funktion sind stetig, der einzige Punkt, der unstetig sein könnte ist bei . Stimmen der linksseitige und der rechtsseitige Grenzwert an dieser Stelle überein, ist die Funktion stetig.

Die Grenzwerte stimmen überein, demnach ist die Funktion stetig.


Überprüfung der Differenzierbarkeit

Eine Funktion ist genau dann differenzierbar in einem Punkt , wenn existiert.

In diesem Fall ist nur der Punkt von Bedeutung, da sowohl der Funktionszweig links von 1 als auch der Funktionszweig rechts von 1 differenzierbar sind.

Der Grenzwert existiert, stimmt aber für die beiden Äste der Funktion nicht überein.

Für :


Für :


Alternative Argumentation

Um sich die Differenzengleichung zu ersparen:

Schon aus der Angabe ist ablesbar, daß

Da die links- und rechtsseitigen Grenzwerte an der Stelle nicht übereinstimmen, springt an dieser Stelle und ist daher nicht differenzierbar.

Baccus

Weiterführende Links

Unvollständige Version des Beispiels aus dem SS10