TU Wien:Mathematik 2 UE (diverse)/Übungen SS11/Beispiel 25

Für die Funktion $f(t)={\begin{cases}-1\,\,\,(t\leq 1)\\t\,\,\,(t>1)\end{cases}}$ berechnen Sie $F(x)=\int _{0}^{x}f(t)\,dt$. Ist $F(x)$ stetig bzw. differenzierbar?

Lösungsvorschlag

Integration

Es gibt zwei Fälle, die getrennt betrachtet werden müssen, nämlich $x\leq 1$ und $x>1$.

Für $x\leq 1$ gilt $f(x)=-1$.

$F(x)=\int _{0}^{x}f(t)\,dt=\int _{0}^{x}-1\,dt=-x$

Im Fall $x>1$ gilt $\int _{0}^{x}f(t)dt=\int _{0}^{1}f(t)dt+\int _{1}^{x}f(t)dt$.

$F(x)=\int _{0}^{x}f(t)\,dt=\int _{0}^{1}-1\,dt+\int _{1}^{x}t\,dt=-1+{\frac {x^{2}}{2}}-{\frac {1}{2}}={\frac {x^{2}-3}{2}}$

Überprüfung der Stetigkeit

Beide Teile der Funktion sind stetig, der einzige Punkt, der unstetig sein könnte ist bei $x=1$. Stimmen der linksseitige und der rechtsseitige Grenzwert an dieser Stelle überein, ist die Funktion stetig.

$\lim _{x\rightarrow 1-}F(x)=-1$

$\lim _{x\rightarrow 1+}F(x)=\lim _{x\rightarrow 1+}{\frac {x^{2}-3}{2}}=-1$

Die Grenzwerte stimmen überein, demnach ist die Funktion stetig.

Überprüfung der Differenzierbarkeit

Eine Funktion ist genau dann differenzierbar in einem Punkt $x_{0}$, wenn $\lim _{x\rightarrow x_{0}}{\frac {f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}}$ existiert.

In diesem Fall ist nur der Punkt $x_{0}=1$ von Bedeutung, da sowohl der Funktionszweig links von 1 als auch der Funktionszweig rechts von 1 differenzierbar sind.

Der Grenzwert $\lim _{x\rightarrow 1}{\frac {F(x)-F(1)}{x-1}}$ existiert, stimmt aber für die beiden Äste der Funktion nicht überein.

Für $x\leq 1$:

$\lim _{x\rightarrow 1}{\frac {F(x)-F(1)}{x-1}}=\lim _{x\rightarrow 1}{\frac {-x+1}{x-1}}=-1$

Für $x>1$:

$\lim _{x\rightarrow 1}{\frac {F(x)-F(1)}{x-1}}=\lim _{x\rightarrow 1}{\frac {{\frac {x^{2}-3}{2}}+1}{x-1}}=\lim _{x\rightarrow 1}{\frac {x^{2}-3+2}{2(x-1)}}=\lim _{x\rightarrow 1}{\frac {x^{2}-1}{2(x-1)}}=\lim _{x\rightarrow 1}{\frac {x+1}{2}}\rightarrow 1$

Alternative Argumentation

Um sich die Differenzengleichung zu ersparen:

Schon aus der Angabe ist ablesbar, daß ${\begin{cases}\lim _{x\rightarrow 1-}\quad f(x)=-1\\\lim _{x\rightarrow 1+}\quad f(x)=+1\end{cases}}$

Da die links- und rechtsseitigen Grenzwerte an der Stelle $x=1$ nicht übereinstimmen, springt $f(x)=F'(x)$ an dieser Stelle und ist daher nicht differenzierbar.

Baccus

Weiterführende Links

Unvollständige Version des Beispiels aus dem SS10