TU Wien:Mathematik 2 UE (diverse)/Übungen WS10/Beispiel 15

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Gegeben sei die quadratische Form q(\vec x)=q(x,y)=24x^2+2bxy+6y^2 mit b\in\mathbb R. Wie lautet die zugehörige symmetrische Matrix A, sodass q(\vec x)=\vec x^TA\vec x? Für welche Werte von b ist die Form positiv definit?

Hilfreiches

Baustein:Quadratische Form Baustein:Definitheit Baustein:Hauptminoren

Lösungsvorschlag

Aus der allgemeinen Lösung q(x,y)=\left(x\ y\right)\begin{pmatrix}a&b\\b&c\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}=ax^2+2bxy+cy^2 folgt trivial a=24, c=6 und somit A=\begin{pmatrix}24&b\\b&6\end{pmatrix}.

Damit die Matrix positiv definit ist, müssen alle Hauptminore > 0 sein. In diesem Fall:

|A_1| = |24| = 24>0

\begin{align}
|A_2| = 24\cdot6 - b\cdot b &> 0 \\
24\cdot6 &> b \cdot b \\
144 &> b^2 \\
12 &> b > -12
\end{align}

Anmerkung

ich glaub b < 12 reicht, b > -12 is nicht notwendig (und sogar falsch). alles was negativ is wird ja durch den exponent wieder > 0 -thomas 17:29, 28. Okt. 2010 (CEST) für b=-13 gilt: 24*6-((-13)^2)=-25 und -25<0, daher muss b auch größer als -12 sein. --85.127.17.136 21:09, 28. Okt. 2010 (CEST)

Es muss auch nicht b^2>0 gelten sondern 144-b^2>0. Das ist bei negativen Zahlen bis 12 (exklusiv) gegeben. Sobald b <= -12 ist, ist die Gleichung 144-b^2>0 nichtmehr richtig. Deshalb ist das b>-12 notwendug. (Bsp -13: 144-(-13^2)>0 -> -25 > 0.)

da hab ich wohl eine klammer übersehen ;-) -thomas 00:37, 29. Okt. 2010 (CEST)

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