TU Wien:Mathematik 2 UE (diverse)/Übungen WS10/Beispiel 15

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Gegeben sei die quadratische Form q(\vec x)=q(x,y)=24x^2+2bxy+6y^2 mit b\in\mathbb R. Wie lautet die zugehörige symmetrische Matrix A, sodass q(\vec x)=\vec x^TA\vec x? Für welche Werte von b ist die Form positiv definit?

Hilfreiches

Quadratische Form
Quadratische Form

Definition:

Die Quadratische Form aus einem Vektor \vec x=\begin{pmatrix}x_1\\\vdots\\x_n\end{pmatrix} und einer symmetrischen quadratischen Matrix A_n=\begin{pmatrix}a_{11}&\cdots&a_{1n}\\\vdots&\ddots&\vdots\\a_{n1}&\cdots&a_{nn}\end{pmatrix},\;a_{ij}=a_{ji}\;\forall i,j ist

q(\vec x)=\vec x^TA\vec x=\sum_{i,j=1}^na_{ij}x_ix_j.
  • Für z.B. den Fall n=2 ist also q(x,y)=\left(x\ y\right)\begin{pmatrix}a&b\\b&c\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}=ax^2+2bxy+cy^2.
Definitheit
Definitheit

Definition: Eine quadratische Form q(\vec x)=\vec x^TA\vec x (bzw. die zugehörige symmetrische Matrix A) heißt:

  1. positiv definit, falls q(\vec x)>0\quad\forall\vec x\neq\vec 0
  2. negativ definit, falls q(\vec x)<0\quad\forall\vec x\neq\vec 0
  3. positiv semidefinit, falls q(\vec x)\geq0\quad\forall\vec x
  4. negativ semidefinit, falls q(\vec x)\leq0\quad\forall\vec x
  5. indefinit sonst.
Hauptminoren
Hauptminoren

Definition:

Die Determinanten der Teilmatrizen Ak einer quadratischen Matrix, die durch Streichung der n−k rechtesten Spalten und n−k untersten Zeilen entstehen, heißen Hauptminoren.

Wenn alle Hauptminoren einer symmetrischen quadratischen Matrix >0 sind, so ist die Matrix positiv definit.

Lösungsvorschlag

Aus der allgemeinen Lösung q(x,y)=\left(x\ y\right)\begin{pmatrix}a&b\\b&c\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}=ax^2+2bxy+cy^2 folgt trivial a=24, c=6 und somit A=\begin{pmatrix}24&b\\b&6\end{pmatrix}.

Damit die Matrix positiv definit ist, müssen alle Hauptminore > 0 sein. In diesem Fall:

|A_1| = |24| = 24>0

\begin{align}
|A_2| = 24\cdot6 - b\cdot b &> 0 \\
24\cdot6 &> b \cdot b \\
144 &> b^2 \\
12 &> b > -12
\end{align}

Anmerkung

ich glaub b < 12 reicht, b > -12 is nicht notwendig (und sogar falsch). alles was negativ is wird ja durch den exponent wieder > 0 -thomas 17:29, 28. Okt. 2010 (CEST) für b=-13 gilt: 24*6-((-13)^2)=-25 und -25<0, daher muss b auch größer als -12 sein. --85.127.17.136 21:09, 28. Okt. 2010 (CEST)

Es muss auch nicht b^2>0 gelten sondern 144-b^2>0. Das ist bei negativen Zahlen bis 12 (exklusiv) gegeben. Sobald b <= -12 ist, ist die Gleichung 144-b^2>0 nichtmehr richtig. Deshalb ist das b>-12 notwendug. (Bsp -13: 144-(-13^2)>0 -> -25 > 0.)

da hab ich wohl eine klammer übersehen ;-) -thomas 00:37, 29. Okt. 2010 (CEST)

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