Difference between revisions of "TU Wien:Mathematik 2 VO (Gittenberger)/Prüfung 2007-07-02"

From VoWi
Jump to navigation Jump to search
Line 36: Line 36:
 
==Lösungsbeitrag von ...==
 
==Lösungsbeitrag von ...==
 
-->
 
-->
[[Bild:VOPG2-2007.gif|200px|Bsp.2]]
+
[[Bild:VOPG2-2007.gif|thumb|200px|Bsp.2]]
  
  

Revision as of 06:55, 5 July 2007

M2-VO-Prüfung Gittenberger, 2.7.2007:

  1. (8 Pkt.) Lösen Sie <amsmath>\int\frac{6-2x}{(x-1)(x-2)}dx</amsmath>
  2. (8 Pkt.) Ermitteln Sie mithilfe von Lagrange-Multiplikatoren die stationären Punkte von <amsmath>f(x,y)=x^2+2y^2</amsmath>, Nebenbedingung:<amsmath>x+y=3</amsmath>
  3. (8 Pkt.) <amsmath>a_n=8a_{n-1}+16a_{n-2}=2^{n-1}</amsmath>, <amsmath>a_0=2,\;a_1=3</amsmath>
  4. (8 Pkt.) Erklären Sie: Kurve in <amsmath>\mathbb R^3</amsmath>, Vektorfeld im <amsmath>\mathbb R^3</amsmath>, Kurvenintegral entlang dieser Kurve, weg-unabhängigkeit, was ist eine hinreichende Bedingung für Wegunabhängigkeit?
  5. (8 Pkt.) Erklären Sie: lineare Differentialgleichung 1. Ordnung, was ist die Lösungsgesamtheit einer inhomogenen DiffGl 1.O, erklären Sie das Verfahren zur Berechnung derselben und geben Sie ein Beispiel!


Lösungsbeitrag

Beispiel 1

<amsmath>\int\frac{6-2x}{(x-1)(x-2)}dx</amsmath>

Partialbruchzerlegung:

<amsmath>\frac{6-2x}{(x-1)(x-2)}=\frac{A}{x-1}+\frac{B}{x-2}</amsmath>


<amsmath>6-2x=A~x-2A+B~x-B</amsmath>

Koeffizientenvergleich:

<amsmath>-2=A+B\Rightarrow B=-2-A</amsmath>

<amsmath>6=-2A-B=-A+2</amsmath>

<amsmath>A=-4</amsmath>

<amsmath>B=2</amsmath>

Integrieren:

<amsmath>-4\int\frac{1}{x-1}dx+\int\frac{1}{x-2}dx=-4\ln |x-1|+2\ln |x-2|+C</amsmath>

Bsp.2



Beispiel 2

<amsmath>f(x,y)=x^{2}+2y^{2}</amsmath>

<amsmath>NB: x+y=3</amsmath>


OK, erster Schritt, die NB umformen auf <amsmath>x+y-3=0</amsmath>

danach bringt man die Funktion auf die Form


<amsmath>\Phi(x,y)=x^{2}+2y^{2}+\lambda*(x+y-3)</amsmath>


Danach <amsmath>\Phi_x,\Phi_y,\Phi_{\lambda}</amsmath> bilden und Null setzen:


<amsmath>\Phi_x=2x +\lambda = 0</amsmath>

<amsmath>\Phi_y=4y +\lambda = 0</amsmath>

<amsmath>\Phi_{\lambda}=x+y-3 = 0</amsmath>


Nun das Gleichungssystem nach <amsmath>x,y,\lambda</amsmath> auflösen.

Da erhält man dann den Punkt P(2,1)

Mögliche Vorgehensweise:

<amsmath>\Phi_x - \Phi_y = 2x - 4y = 0</amsmath>

<amsmath>\Phi_{\lambda}</amsmath> umformen <amsmath>\rightarrow y = 3 - x</amsmath>

einsetzen:

<amsmath>2x - 4(3 - x) = 0 \rightarrow x = 2</amsmath>

<amsmath>y = 3 - 2 = 1</amsmath>



Beispiel 3

<amsmath>a_{n}=8a_{n-1}-16a_{n-2}+2^{(n-1)}</amsmath>

<amsmath>a_{0}=2</amsmath>

<amsmath>a_{1}=3</amsmath>


Gleichung umformen auf :

<amsmath>a_{n}-8a_{n-1}+16a_{n-2}=2^{(n-1)}</amsmath>

Ansatz für die homogene Lösung :

<amsmath>\lambda^{2}-8\lambda+16=0</amsmath>

<amsmath>\lambda_{1,2}= 4 \pm \sqrt{4^{2}-16} = 4</amsmath>

deshalb ist die homogene Lösung

<amsmath>a_{n}^{(h)}=(C_{1}+C_{2}n)\lambda_{1}^{n} = (C_{1}+C_{2}n)4^{n}</amsmath>

Nun zur partikulären Lösung :

<amsmath>S(n)=2^{n-1}=\frac{1}{2}2^{n}</amsmath>

dadurch ergibt sich der Ansatz

<amsmath>a_{n}^{(p)}=A*2^{n}</amsmath>

Diesen setzt man nun in die Gleichung ein.

<amsmath>A*2^{n}-8A*2^{n-1}+16A*2^{n-2}=2^{n-1}</amsmath>

nun durch <amsmath>2^{n-1}</amsmath> dividieren.


<amsmath>2A-8A+8A=1</amsmath>

<amsmath>A=\frac{1}{2}</amsmath>

Nun haben wir die partikuläre Lösung mit

<amsmath>a_{n}^{(p)}=\frac{1}{2}*2^{n}</amsmath>


und die Gesamtlösung :

<amsmath>a_{n}=(C_{1}+C_{2}n)4^{n} + \frac{1}{2}*2^{n}</amsmath>

Da wir auch 2 spezielle Lösungen vorgegeben haben, müssen wir uns mit diesen noch <amsmath>C_{1},C_{2}</amsmath> ausrechnen.

<amsmath>(I) a_{0} : 2=(C_{1}+C_{2}*0)4^{0} + \frac{1}{2}*2^{0} = C_{1} + \frac{1}{2} </amsmath>

<amsmath>(II) a_{1} :3=(C_{1}+C_{2}*1)4^{1} + \frac{1}{2}*2^{1} = 4*C_{1} + 4*C_{2} +1 \frac{1}{2} </amsmath>

aus <amsmath>(I)</amsmath> erhalten wir <amsmath>C_{1}=\frac{3}{2} </amsmath>

aus <amsmath>(II)+(I)</amsmath> erhalten wir <amsmath>C_{2}=-1 </amsmath>


als spezielle Lösung erhalten wir dann

<amsmath>a_{n}=(\frac{3}{2}-n)4^{n} + \frac{1}{2}*2^{n}</amsmath>

Links


Wikipädia: