Difference between revisions of "TU Wien:Mathematik 3 VO (Panholzer)/Mitschrift WS06/0-99-gesamt-LaTeX"

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Revision as of 19:47, 25 March 2007

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   %   Created by Markus Diem, Markus Nemetz
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        \title{\textbf{Mathematik 3 f{\"u}r Informatiker 0.99}\\ \emph{Prof. Alois Panholzer} \\WS 06/07, LVA-Nr. 118.180    }
        \author{\emph{Markus Nemetz}, \underline{markus.nemetz@tuwien.ac.at}, TU Wien\\Weitere Beteiligte:
        \emph{Michael Birsak, Markus Diem, Andreas Kasper}}
        \date{25.03.2007}

\begin{document}



        \maketitle

\newpage \thispagestyle{empty} \begin{center} Dieses Skripum ist Herrn\\[0.4cm] \textbf{Dipl.-Ing. Dr.techn. Sebastian POPPRATH}\\[0.4cm] gewidmet, meinem lieben Arbeitskollegen. \\[0.2cm] Er war Projektassistent am Institut für Mechanik und Mechatronik, und wurde am 07.03.2007 28-jährig aus dem Leben gerissen.\\[0.5cm]

Frei nach \textsc{Joseph Roth}:

\emph{Der Schmerz wird uns weise machen, die Bitternis gütig!}\\[0.5cm]

Ich vergesse Dich nie - Dein Freund Markus! \end{center} \newpage \pagenumbering{roman}

\tableofcontents


\newpage

Dies ist eine Überarbeitung der Mitschriften zu der LVA Mathematik 3 f{\"u}r Informatiker, welche im Wintersemester 2006/2007 von \emph{Prof. Alois Panholzer} abgehalten wurde.\\[0.2cm]

Herzlich bedanken möchte ich mich bei all jenen, die mit Anregungen und Korrekturvorschlägen mitgewirkt haben, insbesondere aber bei \emph{Michael Birsak}, \emph{Markus Diem} und \emph{Andreas Kasper}, welche mir ihre Mitschriften zur Verfügung gestellt und auch am Text mitgearbeitet haben.\\[0.2cm]

Weitere Informationen zur dieser Lehrveranstaltung und der separaten Übung hält die von mir betreute Website \begin{center}\underline{\texttt{http://inf.wikiserver.at/mathe3}}\end{center} bereit. Hinzugefügt sei, dass diese Website keine offizielle LVA-Website ist!\\[0.2cm]

Abschließend möchte ich mich bei \emph{Prof. Panholzer} für die interessante, lehrreiche und jovial geführte Vorlesung bedanken, sowie bei seinem Assistenten \emph{Andreas Kuba} für die reibungslose Durchführung der Übungen zu der Vorlesung.\\[0.2cm]

\begin{flushright} Wien, März 2007, Markus NEMETZ \end{flushright}

\newpage

\section*{Allgemeines} \begin{tabbing} \textbf{Buch:} \; \= \textsc{Meyberg und Vachenauer}, \textit{H{\"o}here Mathematik 2}, \\

   \> 4. Auflage, Springer, Berlin 2001

\end{tabbing}

\begin{tabbing} \textbf{Stoff:} \= \textbf{Harmonische Analyse} \\

   \> \; \; \= Fourier Reihen Entwicklung \\
   \> \> Diskrete Fourier Transformation \\
   \> \> Fourier Transformation \\
   \> \textbf{Differentialgleichungen} \\
   \> \> Gew{\"o}hnliche Differentialgleichung \\
   \> \> Spezielle Typen \\
   \> \> Laplace Transformation \\
   \> \> Potenzreihenentwicklung \\
   \> \> Randwertprobleme \\
   \> \> Numerische L{\"o}sungsverfahren \\
   \> \textbf{Partielle Differentialgleichungen} \\
   \> \> Lineare und quasi lineare partielle Differentialgleichung 1. Ordnung \\
   \> \> Lineare partielle Differentialgleichung 2. Ordnung (Klassifikation)\\
   \> \> Separationsansatz

\end{tabbing} Die letzten beiden Punkte aus dem Kapitel partielle Differentialgleichungen wurden aus Zeitmangel nicht abgehandelt.

\clearpage\pagenumbering{arabic} \pagestyle{scrheadings} \section[Gew{\"o}hnliche Differentialgleichungen - Grundbegriffe]{Gew{\"o}hnliche Differentialgleichungen - theoretische Grundbegriffe} Gleichungen, in denen neben $x$ und der gesuchten Funktion $y=y(x)$ auch deren Ableitungen $y'(x),...,y^{(n)}(x)$ vorkommen, werden als Differentialgleichungen bezeichnet. Es werden hier haupts{\"a}chlich reellwertige Funktionen betrachtet.

\definition \[

   \begin{array}{lcl}
       F: \; \real^{n+2} \supseteq D \rightarrow \real \\
       F(x,y,y',...,y^{(n)})= 0
   \end{array}

\] nennt man implizite Form einer Differentialgleichung $n$-ter Ordnung, falls $y^{(n)}$ vorkommt.

Explizite Form: \[

   y^{(n)}= G(x,y,y',...,y^{(n-1)})

\]

\subsection{L{\"o}sungen von Differentialgleichungen} \definition Eine Funktion mit Definitionsbereich $y(x): I \rightarrow \real$ hei{\ss}t L{\"o}sung der Differentialgleichung, falls $y(x)$ die Differentialgleichung erf{\"u}llt. $y(x)$ muss dabei $n$-mal differenzierbar sein.

\bsp$y'= xy + x^2$ Differentialgleichung 1. Ordnung. Sie ist linear, da $y$ und $y'$ nur linear vorkommen.

L{\"o}sungen von Differentialgleichungen sind im Allgemeinen parameterabh{\"a}ngig (d.h. nicht eindeutig). \begin{itemize}

   \item Spezielle- bzw. Partikul{\"a}rl{\"o}sung ist eine L{\"o}sung, die nicht von Paramtern abh{\"a}ngt.
   \item Allgemeine L{\"o}sung einer Differentialgleichung $n$-ter Ordnung ist eine L{\"o}sung, die von $n$ frei w{\"a}hlbaren Parametern (=~Integrationskonstanten) abh{\"a}ngt.
   \item Vollst{\"a}ndige L{\"o}sung einer Differentialgleichung $n$-ter Ordnung, ist eine allgemeine L{\"o}sung, die alle L{\"o}sungen beinhaltet.

\end{itemize}

Gegeben sei eine Differentialgleichung $n$-ter Ordnung: \[

   y^{(n)}= G(x,y,y',...,y^{(n-1)})

\] Die eindeutige L{\"o}sung bekommt man nur durch zus{\"a}tzliche Bedingungen.

\noindent \textbf{Anfangswertproblem (AWP):} Bedingungen (=~Gleichungen) an einem Punkt $x_0$. Bei einer Differentialgleichung $n$-ter Ordnung m{\"u}ssen Bedingungen bis zur $n-1$-ten Ordnung in $x_0$ bekannt sein. \[

   \begin{array}{lcl}
       y^{(n)} = G(x,y,y',...,y^{(n-1)}) \\
       y(x_0) = y_0, \; y'(x_0)= y_1,\; ... \; ,\; y^{(n-1)}(x_0)= y_{n-1} \\
       y_0,y_1, ... , y_{n-1} \in \real
   \end{array}

\] \begin{figure}[htbp]

   \centering
   \includegraphics[width=65mm]{lokale-loesung.eps}
   \includegraphics[width=65mm]{lokale-loesung-fortsetzung.eps}
   \caption[Lokale L{\"o}sung des Anfangswertproblems]{Lokale L{\"o}sung des Anfangswertproblems (li.), Fortsetzung (re.).}
   \label{fig:ll}

\end{figure}

\definition Die lokale L{\"o}sung des Anfangswertproblems ist eine L{\"o}sung der Differentialgleichung im Intervall $(x_0-\epsilon, x_0+\epsilon)$, welche die Anfangsbedingung $y(x_0)=y_0,\;...$ erf{\"u}llt.

Ein Anfangswertproblem hei{\ss}t \emph{well posed} oder sachgem{\"a}{\ss} gestellt, wenn folgende Bedingungen erf{\"u}llt sind:

\begin{itemize}

   \item Existenz einer lokalen L{\"o}sung des Anfangswertproblems.
   \item Eindeutigkeit der lokalen L{\"o}sung.
   \item Stetige Abh{\"a}ngigkeit der L{\"o}sung von den Anfangswerten.

\end{itemize} Letzteres ist besonders f{\"u}r numerische L{\"o}sungsverfahren wichtig.

Von Interesse ist gegen{\"u}ber der lokalen L{\"o}sung die ganze Funktion in einem betrachteten Gebiet (Abbildung \ref{fig:ll}).

\noindent \textbf{Randwertprobleme (RWP):} ) nennt man in der Mathematik eine wichtige Klasse von Problemstellungen, in denen die Lösungen zu einer vorgegebenen Differentialgleichung (DGL) gesucht werden, die auf dem Rand des Definitionsbereiches vorgegebenene Funktionswerte (Randbedingung) annehmen sollen. Der Gegensatz dazu ist das Anfangswertproblem, bei dem nur Werte zu einem anfänglichen Zeitpunkt vorgegeben werden.

\subsection[Graphische Interpretation]{Graphische Interpretation einer expliziten Differentialgleichung 1. Ordnung} \[

   y'= f(x,y) \varphi

\]

\begin{figure}[htbp]

   \centering
   \includegraphics[width=110mm]{graphische-interpretation.eps}
   \caption{Richtungsfeld, Eulersches Polygonzugverfahren}
   \label{fig:gi}

\end{figure}


Die L{\"o}sung ist eine differenzierbare Kurve (siehe Abbildung 2), die in das Richtungsfeld passt. (d.h. differenzierbare Kurve, deren Tangentenanstiege in jedem Punkt $(x,y)$ mit $y'= f(x,y)$ gleich sind.) Das graphische L{\"o}sungsverfahren hei{\ss}t auch \textbf{Eulersches Polygonzugverfahren}. Es ist ebenfalls ein numerisches L{\"o}s\-ungs\-ver\-fahr\-en f{\"u}r Differenzialgleichungen.

\subsection{Existenz und Eindeutigkeit der L{\"o}sung} Gegeben sei wiederum eine Differentialgleichung $y'=f(x,y)$ \begin{itemize}

   \item $f(x,y)$ ist stetig. Diese Forderung muss erf{\"u}llt sein, reicht jedoch nicht aus.
   \item $f(x,y)$ ist differenzierbar (nach $x$ und $y$). Diese Forderung w{\"u}rde die Existenz und Eindeutigkeit einer L{\"o}sung zwar implizieren, ist jedoch zu streng formuliert. In der Praxis gilt sie oft nicht, obwohl eine L{\"o}sung existiert und eindeutig ist. Au{\ss}erdem ist sie zum Teil schwer {\"u}berpr{\"u}fbar.
   \item $f(x,y)$ soll Lipschitz-stetig sein. Diese Forderung garantiert die Existenz und Eindeutigkeit einer L{\"o}sung.

\end{itemize}

\paragraph{Lipschitz-Stetigkeit:} Es sei ein Gebiet $G \subseteq \real ^2$ gegeben. Eine Funktion $f(x,y)$ erf{\"u}llt die globale-Lipschitz Bedingung (=~sie ist global Lipschitz-stetig) in Bezug auf $y$, falls es eine positive Konstante $L > 0$ gibt, sodass die globale $L$ Bedingung gilt: \[

   \begin{array}{lcl}
   |f(x,y_1)-f(x,y_2)| \leq L \cdot |y_1-y_2| \\
   \forall x,y_1,y_2 \; \textrm{mit} \; (x,y_1) \in G, (x,y_2) \in G
   \end{array}

\] wobei $L$ die Lipschitzkonstante ist. Ein Gebiet $G$ ist eine offene, zusammenh{\"a}ngende (d.h. Von jedem Punkt $(x,y) \in G$ f{\"u}hrt ein Weg zu einem beliebigen anderen Punkt $(x_1,y_1) \in G$.) Menge.

\newpage

Eine Funktion $f(x,y)$ erf{\"u}llt eine lokale $L$ -Bedingung (=~ist lokal Lipschitz-stetig), wenn es f{\"u}r alle $(x,y) \in G$ eine Umgebung $U$ gibt, mit $U \subseteq G$, sodass f{\"u}r alle $(x,y_1), (x,y_2) \in U$ gilt: \[

   |f(x,y_1)-f(x,y_2)| \leq L \cdot |y_1-y_2|, \; \; L > 0

\] d.h. $L$ ist abh{\"a}ngig von $(x,y_1)$ und gegebenenfalls unterschiedlich.

\subsection{Existenz- und Eindeutigkeitssatz} \paragraph{Existenz- und Eindeutigkeitssatz (von Picard und Lindel{\"o}f):} Gegeben ist ein Gebiet $G \subseteq \real ^2$ und eine Differenzialgleichung $y'= f(x,y)$. Falls $f$ in Bezug auf $x$ und $y$ stetig ist und in Bezug auf $y$ eine lokale $L$ Bedingung erf{\"u}llt, dann besitzt das Anfangswertproblem mit $y(x_0)=y_0$ f{\"u}r alle $x_0,y_0$ mit $(x_0,y_0) \in G$ eine eindeutige L{\"o}sung, die sich bis an den Rand von $G$ fortsetzt.

Wir betrachten das Anfangswertproblem $y'(x) = f(x,y)$ mit $y(x_0) = y_0$.

$f(x,y)$ ist stetig und erf{\"u}llt eine lokale \emph{L}-Bedingung bez{\"u}glich \emph{y}. Anmerkung: Wenn $f(x,y)$ stetig nach \emph{y} differenzierbar ist, dann erf{\"u}llt es eine lokalen \emph{L}-Bedingung bez{\"u}glich y.

In diesem Fall gilt f{\"u}r den Rechtecksbereich \emph{D}, der vollst{\"a}ndig in \emph{G} liegt:: Lipschitz-Konstante \begin{gather*}

   L = max \, | f_y(x,y) | \qquad (y \in D)

\end{gather*}

\begin{figure}[htbp]

   \centering
   \includegraphics[scale=0.5]{vo2_rechteck_eef.eps}
   \caption{Rechtecksbereich $D$ liegt vollständig in Gebiet $G$}
   \label{fig:gi}

\end{figure}

\newpage

Betrachten die Beweisidee vom Existenz- und Eindeutigkeitssatz - \textbf{Picard-Iteration}: \begin{gather*}

   y' = f(x,y), \qquad y(x_0) = y_0 \qquad \text{Integrieren} \\
   \int_{x_0}^x y'(t) \, dt = \int_{x_0}^x f(t,y(t)) \, dt \\
   y |_{x_0}^{x} = \int_{x_0}^x f(t,y(t)) \, dt \\
   \Rightarrow \mathbf{y(x) = y_0 + \int_{x_0}^x f(t,y(t)) \, dt}
   \qquad \text{'Integralgleichung'}

\end{gather*}

Wir wollen $y(x)$ durch die Funktion $y_0(x), y_1(x), y_2(x), \dots$ approximieren: \begin{gather*}

   y_0(x) = y_0 \qquad \text{konstante Funktion} \\
   y_1(x) = y_0 + \int_{x_0}^x f(t,y_0(t)) \, dt \\
   y_2(x) = y_0 + \int_{x_0}^x f(t,y_1(t)) \, dt \\
   \\
   \vdots \qquad \text{iterieren}\\
   \\
   y_n(x) = y_0 + \int_{x_0}^x f(t,y_{n-1}(t)) \, dt \\

\end{gather*}

Die Funktionenfolge $y_n(x), n=0,1,2, \dots$ konvergiert unter der Voraussetzung des Existenz- und Eindeutigkeitssatzes in einem Intervall $y_0 - \varepsilon \leq x \leq y_0 + \varepsilon$ gleichm{\"a}ssig gegen die Grenzfunktion $y(x) = \lim_{n \rightarrow \infty} \, y_n(x)$, die auch die L{\"o}sung des Anfangswertproblems ist.

\textbf{Beispiel:} Die bekannte L{\"o}sung des AWP $y' = xy, y(0) = 1$, wird mittels Picard-Iteration approximiert ($f(x,y) = xy, y_0 = 0, y_0 = 1$): \begin{alignat*}{1}

   y_0(x) = 1 & \\
   y_1(x) = 1 & + \int_0^x t\cdot y_0(t) \, dt \, \, = 1 +
   \frac{x^2}{2}\\
   y_2(x) = 1 & + \int_0^x t\cdot y_1(t) \, dt \, \, = 1 +
   \frac{x^2}{2}+ \frac{x^4}{8} \\
   y_3(x) = 1 & + \int_0^x t\cdot y_2(t) \, dt \, \, = 1 +
   \frac{x^2}{2}+ \frac{x^4}{8} + \frac{x^6}{48} \\
   y_4(x) = 1 & + \int_0^x t\cdot y_3(t) \, dt \, \, = 1 +
   \frac{x^2}{2}+ \frac{x^4}{8} + \frac{x^6}{48} + \frac{x^8}{384}

\end{alignat*}

Allgemein ergibt dies \begin{gather*}

   y_n(x) = \sum_{k=0}^{n} \frac{y^{2k}}{2^kk!}

\end{gather*} $y_n(x)$ mit $n \rightarrow \infty$ konvergiert gegen die L{\"o}sung \begin{gather*}

   y(x)= e^{\frac{1}{2}x^2} = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{y^{2k}}{2^kk!}

\end{gather*}

Dies kann man dadurch verifizieren, dass man $y' = xy$ auf $\frac{y'}{y} = x$ umformt und aus dieser 'trennbaren Differentialgleichung' die L{\"o}sung mittels 'Trennung der Ver{\"a}nderlichen' errechnet: \begin{gather*}

   \log y(x) = \frac{x^2}{2} + \widetilde{c} \qquad \Rightarrow
   \qquad y(x) =ce^{\frac{x^2}{2}} \\
   y(0) = 1 \qquad \Rightarrow \qquad ce^{\frac{0^2}{2}} = 1 \qquad \Rightarrow
   \qquad y(x) = e^{\frac{x^2}{2}} \\
    y(x) = e^{\frac{x^2}{2}} \underbrace{=}_{\text{Taylorreihe}}
    1 + \frac{x^2}{2} + \frac{({\frac{x^2}{2}})^2}{2!} +
    \frac{({\frac{x^2}{2}})^3}{3!} + \dots \\
    e^x \underbrace{=}_{\text{Taylorreihe}} = 1 + x +
    \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \dots

\end{gather*}

Die \textbf{stetige Abh{\"a}ngigkeit der L{\"o}sung von den Anfangswerten} besagt, dass sich zwei L{\"o}sungen auf einem beschr{\"a}nkten Intervall $[a,b]$ wenig unterscheiden, sobald nur die beiden Anfangswerte bei $a$ hinreichend nahe beieinanderliegen.

\begin{figure}[htbp]

   \centering
   \includegraphics[scale=0.5]{VO2_anfangswert.eps}
   \caption{Stetige Abhängigkeit der Lösung von den Anfangswerten}
   \label{fig:gi}

\end{figure}

Wenn eine stetige Funktion $f$ in einem Gebiet $G \subseteq \mathbb{R}^2$ eine $L$-Bedingung ($L > 0$) erf{\"u}llt, kann man den Abstand zwischen zwei in $G$ verlaufenden L{\"o}sungen $y_1(x)$ und $y_2(x)$ wie folgt absch{\"a}tzen: \begin{gather*}

   |y_1(x) - y_2(x)| \leq |y_1(x_0) - y_2(x_0)|e^{L|x-x_0|}

\end{gather*} Je gr{\"o}sser $L$ ist, desto weiter werden die L{\"o}sungen auseinander liegen!\\[0.3cm]

Vereinfacht gesagt bedeutet die \textbf{stetige Abh{\"a}ngigkeit der L{\"o}sung von der rechten Seite}, dass kleine {\"A}nderungen der rechten Seite $f$ bei gleichen Anfangsbedingungen auch nur eine kleine {\"A}nderung der L{\"o}sung bewirken.

\begin{figure}[htbp]

   \centering
   \includegraphics[scale=0.5]{VO2_rechteseite.eps}
   \caption{Stetige Abhängigkeit der Lösung von der rechten Seite}
   \label{fig:gi}

\end{figure}

Wenn eine stetige Funktion $f$ in einem Gebiet $G \subseteq \mathbb{R}^2$ eine $L$-Bedingung ($L > 0$) erf{\"u}llt und sich $f^\ast$ auf $G$ nur um $\varepsilon$ ($|f(x,y) - f^\ast(x,y)| < \varepsilon| \, \forall (x,y) \in G$) unterscheiden, dann gilt f{\"u}r die L{\"o}sungen $y(x)$ von $y'=f(x,y)$ und $y^\ast(x)$ von $y'=f^\ast(x,y)$, mit derselben Anfangsbedingung $y(x_0) = y^\ast(x_0) = y_0$ im Intervall $x_0 \leq x \leq x_0 + \delta$ die Absch{\"a}tzung: \begin{gather*}

   |y(x) - y^\ast(x)| \leq \varepsilon\delta e^{L(x-x_0)}

\end{gather*}

\section{Differentialgleichungen: Spezielle Typen} \subsection{Trennbare Differentialgleichungen} Ergibt sich (eventuell nach Umformung) eine Differentialgleichung in der Form \begin{gather*}

   y' = f(x) \cdot g(x),

\end{gather*} welche stetige, auf den Intervallen $I \subseteq \mathbb{R} (x,x_0 \in I)$ und $J \subseteq \mathbb{R} (y,y_0 \in J)$ stetig definierte Funktionen $f$ und $g$ besitzt, sind zwei F{\"a}lle zu unterscheiden: \begin{enumerate}

   \item $g(y) \neq 0$ - durch \textbf{Trennung der Variablen
   (Ver{\"a}nderlichen)} ergibt sich eine exakte
   Differentialgleichung in der Form:
   \begin{gather*}
       f(x) - \frac{1}{g(y)}\cdot y' = 0
   \end{gather*}
   und der Stammfunktion ($x,x_0 \in I$, $y,y_0 \in J$):
   \begin{gather*}
       U(x,y) = \int_{x_0}^{x} f(\xi) \, d\xi - \int_{y_0}^{y} \frac{d\eta}{g(\eta)}
   \end{gather*}
   \item $g(\eta) = 0, \eta \in J$ - es gilt: $y(x) = \eta$, $x
   \in I$ ist eine konstante L{\"o}sung.

\end{enumerate} F{\"u}r trennbare Differentialgleichungen ($x_0 \in I$, $y_0 \in J$) besagt der \textbf{Existenz- und Eindeutigkeitssatz}, dass das Anfangswertproblem \begin{gather*}

   y'= f(x) \cdot g(x), \qquad y(x_0) = y_0,

\end{gather*} lokal eindeutig l{\"o}sbar ist wenn gilt: \begin{enumerate}

   \item $g(y_0) \neq 0$, oder
   \item $|g(y)| < L \cdot |y-y0|$ in einer Umgebung von $y_0$,
   $L > 0$ konstant (Lipschitz).

\end{enumerate} Das \textbf{L{\"o}sungsverfahren} f{\"u}r $y' = f(x) \cdot g(x)$ lautet allgemein: \begin{enumerate}

   \item S{\"a}mtliche Nullstellen von $\eta \in J$ bestimmen - $y(x)
   = \eta$ ist jeweils eine partikul{\"a}re L{\"o}sung
   \item Trennung der Variablen ('y, dy nach links; x, dx nach
   rechts')
   \begin{gather*}
       \frac{1}{g(y)} \, dy = f(x) \, dx
   \end{gather*}
   \item Unbestimmte Integration beider Seiten:
   \begin{gather*}
       G(y) \, := \, \int \frac{dy}{g(y)}, \qquad F(x) \, := \, \int
       f(x) \, dx.
   \end{gather*}
   Allgemeine implizite L{\"o}sung lautet:
   \begin{gather*}
       G(y) - F(x) = c, \qquad c \in \mathbb{R}.
   \end{gather*}
   \item Anfangswertprobleml{\"o}sung: Wenn $g(y_0) \neq 0, c_0 :=
   G(y_0) - F(x_0)$. Soferne m{\"o}glich $ G(y) - F(x) = c_0$ nach
   $y$ aufl{\"o}sen.
   Wenn $g(y_0) = 0$, dann ist $y(x) = y_0$ die L{\"o}sung.

\end{enumerate}

\subsection{Exakte Differentialgleichungen} Exakte Differentalgleichungen stellen eine spezielle Form der Differentialgleichungen 1. Ordnung dar und entstehen durch Differentiation nach der Kettenregel aus $U(x,y) = const.$ Ihre implizite Form lautet \begin{gather*}

   U_x(x,y) +  U_y(x,y)y' = 0,

\end{gather*} und die explizite f{\"u}r $U_y \neq 0$: \begin{gather*}

   y'=-\frac{U_x(x,y)}{U_y(x,y)}

\end{gather*} Normalerweise ist die Exaktheit einer Differentialgleichung nicht auf den ersten Blick ersichtlich. Eine Differentialgleichung der Form \begin{gather*}

   A(x,y) + B(x,y)y' = 0

\end{gather*} ist dann exakt, wenn es eine Funktion $U$ gibt, so dass gilt: \begin{gather*}

   U_x = \frac{\operatorname{d} U}{\operatorname{d} x}=A, \qquad U_y = \frac{\operatorname{d} U}{\operatorname{d}
   y}=B

\end{gather*} $\mathbf{U}$ ist dann die \textbf{Stammfunktion von} $\mathbf{A(x,y) + B(x,y)y' = 0}$ - und ist nichts anderes als die Stammfunktion des Vektorfeldes \begin{gather*}

   (x,y) \mapsto \begin{pmatrix}
     A(x,y) \\
     B(x,y) \\
   \end{pmatrix}

\end{gather*} Der \textbf{Exaktheitstest} ergibt f{\"u}r $A(x,y) + B(x,y)y' = 0$ genau dann ein positives Resultat, wenn folgende \textbf{Integrabilit{\"a}tsbedingung} erf{\"u}llt ist: \begin{gather*}

   \frac{\operatorname{d}A(x,y)}{y} = \frac{\operatorname{d}B(x,y)}{x}

\end{gather*} Allgemein lautet die \textbf{L{\"o}sungsmethode f{\"u}r exakte Differentialgleichung der Form} $\textbf{A(x,y) + B(x,y)y' = 0}$: \begin{enumerate}

   \item Best{\"a}tigen von
   \begin{gather*}
       \frac{\operatorname{d} A}{\operatorname{d} y} = \frac{\operatorname{d} B}{\operatorname{d} x}

\end{gather*}

   \item Bestimmung einer Stammfunktion {\"u}ber den Ansatz $u_x=A$,
   $U_y = B$:
   \begin{enumerate}
       \item $A$ unbestimmt nach $x$ integrieren
       \begin{gather*}
           U(x,y) = \int A(x,y) \, dx + c(y)
       \end{gather*}
       \item $y$ partiell nach $y$ differenzieren, mit $B$
       gleichsetzen:
       \begin{gather*}
           U_y(x,y) = (\int A(x,y) \, dx)_y + c'(y) = B
       \end{gather*}
       \item $c(y)$ durch Integration nach $y$ bestimmen
   \end{enumerate}
   Allgemeine implizite L{\"o}sung: $U(x,y) = const$.
   \item Implizite L{\"o}sung ist $U(x,y) = U(x_0,y_0)$ - wenn
   m{\"o}glich nach $y$ aufl{\"o}sen und Definitionsbereich bestimmen.

\end{enumerate}


\subsection{Integrierender Faktor} Eine nicht exakte Differentialgleichung in der Form \begin{gather*}

   A(x,y) + B(x,y)y' = 0

\end{gather*} geht durch die Multiplikation mit einer Funktion $M(x,y)$ in die exakte Differntialgleichung \begin{gather*}

   M(x,y) \cdot A(x,y) + M(x,y) \cdot B(x,y)y' = 0

\end{gather*} {\"u}ber. $M(x,y)$ ist der \textbf{integrierende Faktor} oder \textbf{Euler-Multiplikator}.

Allgemein lautet der L{\"o}sungsweg f{\"u}r $A(x,y) + B(x,y)y' = 0$ mit integrierendem Faktor vom Typ $M(x,y) = m(u(x,y))$: \begin{enumerate}

   \item Berechnung von $A_y - B_x$. Wenn $0$ herauskommt, dann
   liegt eine exakte Differentialgleichung vor, die wie gehabt
   gel{\"o}st werden kann. (siehe 2.2.)
   \item Wenn $u(x,y)$ nicht explizit vorgegeben so versuchen wir
   ausgehend von folgender Konstellation:
   \begin{gather*}
       A(x,y) + B(x,y)y'=0
   \end{gather*}
   \begin{itemize}
       \item Wir prüfen, ob
             \begin{gather*}
               \frac{A_y - B_x}{B}
             \end{gather*}
             nur von $x$ abhängt. Sollte das der Fall sein,
             setzen wir
             \begin{gather*}
               \mu_x=\frac{A_y - B_x}{B}\mu
             \end{gather*}
             und erhalten als Lösung dieser Differentialgleichung
             einen nur von $x$ abhängigen integrierenden Faktor
             $\mu$.
       \item Wir prüfen, ob
             \begin{gather*}
               \frac{A_y - B_x}{A}
             \end{gather*}
             nur von $y$ abhängt. Sollte das der Fall sein,
             setzen wir
             \begin{gather*}
               \mu_y=\frac{A_y - B_x}{A}\mu
             \end{gather*}
             und erhalten als Lösung dieser Differentialgleichung
             einen nur von $y$ abhängigen integrierenden Faktor
             $\mu$.
       \item Wenn der Hinweis vorhanden ist, dass der
       integrierende Faktor $m(x,y)$ eine bestimmte Gestalt hat,
       z.B. $m(x,y)=x^ay^b$, so löst man folgende Gleichung (evtl.
       ist Koeffizientenvergleich notwendig):
       \begin{gather*}
           A(x,y)\frac{\operatorname{d}m(x,y)}{\operatorname{d}y}
           -
           B(x,y)\frac{\operatorname{d}m(x,y)}{\operatorname{d}x}+
           m(x,y)(\frac{\operatorname{d}A(x,y)}{\operatorname{d}y} -
           \frac{\operatorname{d}B(x,y)}{\operatorname{d}x})=0
       \end{gather*}
       \item Sollte keiner der o.g. Punkte zutreffen, so
           bleibt nur die  Auswahl    verschiedener Funktionen $u(x,y)$ und dazu Berechnung von
           \begin{gather*}
               H(x,y) := \frac{Ay-Bx}{BU_x - Au_y}
           \end{gather*}
           Wenn $H(x,y)=h(u(x,y))$ weiter mit n{\"a}chstem Schritt, ansonsten
           anderes $u(x,y)$ w{\"a}hlen.
           Standard-Ans{\"a}tze f{\"u}r $u(x,y)$:
               \begin{center}
               \begin{tabular}{|c|c|}
               \hline
               $\mathbf{u(x,y)}$ & $\mathbf{H(x,y)}$ \\
               \hline
               $x$ & $\frac{A_y - B_x}{B}$ \\
               \hline
               $y$ & $\frac{A_y - B_x}{-A}$ \\
               \hline
               $x+y$ &$\frac{A_y-B_x}{B-A}$  \\
               \hline
               $x-y$ &$\frac{A_y-B_x}{B+A}$ \\
               \hline
               $xy$ &$\frac{A_y-B_x}{yB-yA}$ \\
               \hline
               $y^2 + y^2$ & $\frac{1}{2} \cdot \frac{A_y-B_x}{xB-yA}$ \\
               \hline
               $x^2 - y^2$ & $\frac{1}{2} \cdot \frac{A_y-B_x}{xB+yA}$ \\
               \hline
               \end{tabular}
               \end{center}
   \end{itemize}
   \item Berechne $m(u)=e^{\int h(u) \, du}$. $M(x,y) = m(u(x,y))$
   ist der Euler-Multiplikator
   \item L{\"o}sung der exakten Differentialgleichung $M(x,y) \cdot A(x,y) + M(x,y) \cdot B(x,y)y' = 0$

\end{enumerate}

\newpage

\section{Inhomogene Lineare DGL 1. Ordnung} \subsection{Grundlagen} F{\"u}r inhomogene lineare Differentialgleichungen 1. Ordnung in der Form \begin{gather*}

   y' + f(x) \cdot y = s(x)

\end{gather*} gilt: Die allgemeine L{\"o}sung ist die Summe aus der L{\"o}sung der zugeh{\"o}rigen homogenen Differentialgleichung und einer partikul{\"a}ren L{\"o}sung der zugeh{\"o}rigen inhomogenen Differentialgleichung.

\begin{enumerate}

   \item Integration der zugeh{\"o}rigen homogenen Differentialgleichung
   \begin{gather*}
       y' + f(x) \cdot y = 0
   \end{gather*}
   Zun{\"a}chst Trennung der Ver{\"a}nderlichen, dann Integration.
   Allgemeine L{\"o}sung ist schlie{\ss}lich (auch logarithmische Schreibweise m{\"o}glich):
   \begin{gather*}
       y = c \cdot e^{-\int f(x) \, dx}, \qquad c \in \mathbb{R}
   \end{gather*}
   \item Integration der zugeh{\"o}rigen inhomogenen Differentialgleichung
   Die aus der L{\"o}sung der homogenen Differentialgleichung
   gewonnene Integrationskonstante $c$ wird durch die Funktion
   $c(x)$ ersetzt, so dass man den L{\"o}sungsansatz
   \begin{gather*}
       y = c(x) \cdot e^{-\int f(x) \, dx}
   \end{gather*}
   erh{\"a}lt und diesen in die inhomogene Differentialgleichung
   einsetzt. Die so entstehende Differentialgleichung 1. Ordnung
   kann durch unbestimmte Integration direkt gel{\"o}st werden.
   \item Summe aus der L{\"o}sung der zugeh{\"o}rigen homogenen Differentialgleichung und einer partikul{\"a}ren
   L{\"o}sung der zugeh{\"o}rigen inhomogenen Differentialgleichung berechnen

\end{enumerate}

Eine andere Möglichkeit zur Lösung besteht in der \textbf{Verwendung einer Formel}: Lineare inhomogene Differentialgleichungen 1. Ordnung in der Form $y' + p(x)y = r$ ($r$ ist Störfunktion, singulär oder nur von $x$ abhängig) können mit folgender Formel aufgelöst werden: \begin{gather*}

   h = \int p(x) \, dx \\ y(x) = e^{-h} (\int e^hr \, dx + c)

\end{gather*}

Beispiel: \begin{gather*}

   y' + \frac{1}{x} \cdot y = x^2 \\
   y' + \frac{1}{x} \cdot y = 0 \qquad \Rightarrow \qquad
   \frac{y'}{y}= - \frac{1}{x} \qquad \Rightarrow \qquad \ln y =
   \underbrace{-\ln
   x}_{\log{\frac{1}{x}}} + \breve{c} \\
   y_h = \frac{c}{x} \\
   y_p (x) = \frac{c(x)}{x} \qquad \Rightarrow \qquad y_p(x) =
   \frac{x^4}{5}\\
   \frac{c'(x)}{x} = x^3 \qquad \Rightarrow \qquad c'(x) = x^4 \qquad \Rightarrow
   \qquad c(x) = \frac{x^5}{5} \\
   \mathbf{y(x) = \frac{x^4}{5}} \qquad \text{Allg. Lsg.}

\end{gather*}

\subsection{Einige Typen} \subsubsection[{\"A}hnlichkeitsdifferentialgleichung]{{\"A}hnlichkeitsdifferentialgleichung (= Homogene Differetialgleichung)} Allgemeine Gestalt: \begin{gather*}

   y' = f(\frac{y}{x}), \qquad x \neq 0

\end{gather*} {\"U}berf{\"u}hrung in trennbare Differentialgleichung durch Substitution: \begin{gather*}

   v(x) = \frac{y(x)}{x} \qquad \Rightarrow \qquad y = x \cdot
   v(x) \qquad \Rightarrow \qquad y' = v(x) + x \cdot v'(x) \\
   v(x) + x \cdot v'(x) = f(x) \qquad \Rightarrow \qquad \mathbf{v'(x) = \frac{f(v) - v}{x}}

\end{gather*}

Beispiel: \begin{gather*}

   y' = \frac{y}{x} - \sqrt{1 - \frac{y}{x}} \\
   \frac{y}{x} =: v \qquad \Rightarrow \qquad y' = v + x\cdot v'
   \\
   v + x\cdot v' = v - \sqrt{1 - v} \qquad \Rightarrow \qquad
   \frac{v'}{\sqrt{1-v}}= -\frac{1}{x}\\
   1 - v = u^2 \qquad \Rightarrow \qquad -dv = 2u \cdot du \\
   \int \frac{1}{\sqrt{1-v}} \, dv = \int \frac{2u}{u} \, du =
   -2u = -2\sqrt{1-v} \\
   -2\sqrt{1 - v} = -\ln x + \check{c} \qquad \Rightarrow \qquad
   \underline{1 - \frac{y}{x}} = \frac{1}{2}\ln x + c \\
   \mathbf{x(1-(\frac{1}{2} \ln x + c)^2) = y(x)}

\end{gather*}

\subsubsection{Bernoulli-Differentialgleichung} Allgemeine Gestalt: \begin{gather*}

   y'(x) + a(x) \cdot y(x) = b(x) \cdot (y(x)^\alpha)

\end{gather*} Substitutionsmethode: \begin{gather*}

   \eta(x) := y(x)^{1-\alpha} \qquad \Rightarrow \qquad \eta'(x)
   = (1-\alpha) \cdot y(x)^{-\alpha}\cdot y'(x)\\
   \underbrace{\frac{\eta'(x)}{1-\alpha} \cdot y(x)^\alpha}_{y'(x)} + a(x) \cdot
   \underbrace{y(x)^{1-\alpha}}_{\eta(x)} = b(x) \cdot
   y(x)^\alpha\\
   \mathbf{\eta'(x) + (1-\alpha)a(x)\eta(x) = (1-\alpha)b(x)}

\end{gather*} Substitution ergibt eine lineare Differentialgleichung 1. Ordnung, deren allgemeine Lösung man bestimmt. Abschließend macht man die Substitution mir $y(x)=\eta(x)^{\frac{1}{1-\alpha}}$ rückgängig.

\subsubsection{$y$ tritt nicht explizit in Differentialgleichung auf} \begin{gather*}

   y(x) = f(x,y') \\
   u := y' \qquad \Rightarrow \qquad \texttt{u' = f(x,u)}

\end{gather*} Substitution ergibt eine lineare Differentialgleichung 1. Ordnung.

\subsubsection[Autonome Differentialgleichungen]{$x$ tritt nicht explizit in Differentialgleichung auf - autonome Differentialgleichung} \begin{gather*}

   y(x) = f(y,y') \\
   v(y) := y' \qquad \Rightarrow \qquad y = \frac{dy'}{dx} =
   \frac{dy'}{dy}\cdot \frac{dy}{dx} = \frac{dv}{dy} \cdot v =
   v'(y)\cdot v(y)\\
   \Rightarrow \qquad \mathbf{v(y) \cdot v'(y) =  f(y,v(y)}

\end{gather*} Substitution ergab eine lineare Differentialgleichung 1. Ordnung.

Beispiel: \begin{gather*}

   y = -\frac{(y')^2}{5y} \qquad \Rightarrow \qquad v(y) = y'
   \\
   v\cdot v' = - \frac{v^2}{5y} \qquad \Rightarrow \qquad
   \frac{v'}{v} = - \frac{1}{5y} \\
   \ln v(y) = -\frac{1}{5}\cdot\ln x + \check{c} \qquad \Rightarrow
   \qquad v(y) = \frac{c}{y^{\frac{1}{5}}} \qquad \Rightarrow
   \qquad y'(x) = \mathbf{\frac{c}{y(x)^{\frac{1}{5}}}}

\end{gather*}

\subsection[Numerisches L{\"o}sen von Anfangswertproblemen]{Numerisches L{\"o}sen von Anfangswertproblemen f{\"u}r Differentialgleichungen 1. Ordnung} Gegeben ist das Anfangswertproblem: \begin{gather*}

   y'(x) = f(x,y(x)), y(x_0) = y_0

\end{gather*} Zerlegen $[x_o,x]$ in $n$ gleich grosse Teilintervalle $\Rightarrow$ Punkte $x_0, x_1, x_2, \dots, x_n$.

Berechnen N{\"a}herungswerte f{\"u}r $y(x_i)$, d.h. $y_0, y_1, y_2, \dots, y_n$.

Approximative L{\"o}sung $y(x)$ durch N{\"a}herung, die auf Diskretisierung des Anfangswertproblems beruht.

\begin{figure}[htbp]

   \centering
   \includegraphics[scale=0.5]{AWP_NUM.eps}
   \caption{Approximative Lösung durch Näherung}
   \label{fig:gi}

\end{figure}

Prinzipielle Unterteilung: \begin{itemize}

   \item Einzelschrittverfahren: Zur Berechnung von $y_i$ wird
   auf $y_{i-1}$ Werte zur{\"u}ckgegriffen
   \item Mehrschrittverfahren: Zur Berechnung von $y_i$ wird
   auf mehrere zur{\"u}ckliegende Werte zur{\"u}ckgegriffen

\end{itemize}

\textbf{Einzelschrittverfahren} - Mittelwertsatz: \begin{gather*}

   \frac{y(x_i) - y(x_{i-1})}{x_i - x_{i-1}} = y'(\xi) \qquad \xi
   \in (x_{i-1},x_i) \\
   y(x_i) = y(x_{i-1}) + y'(\xi) \cdot \underbrace{(x_i -
   x_{i-1})}_{\text{=: h ... Schrittweite}} \\
   \Rightarrow y(x_i) = y(x_{i-1}) + h\cdot \underbrace{f(\xi,
   y(\xi))}_{\text{verwenden Ersatzfunktion}}

\end{gather*} N{\"a}herungsweise Berechnung durch Verwendung von Ersatzfunktion: Explizites Einzelschrittverfahren \begin{gather*}

   \mathbf{y_{i+1} = y_{i} + h \cdot F(x_{i-1}, y_{i}, h)}

\end{gather*}

\textbf{Verfahren von Euler (Euler-Cauchy)}: Es ist das einfachste Verfahren zur numerischen Lösung eines Anfangswertproblems. Wir verwenden f{\"u}r $F(x_i, y_i, h)$ die Funktion $f(x_i, y_i)$: \begin{gather*}

   \mathbf{y_{i+1} = y_i + h \cdot F(x_i,y_i)}

\end{gather*}

\textbf{Verfahren von Heun}: In diesem Einschrittverfahren erfolgt die Näherung über ein Trapez und nicht über ein Rechteck: \begin{gather*}

   K_1 = f(x_i, y_i) \\
   K_2 = f(x_i + h, y_i + h \cdot f(x_i,y_i)) \\
   y_{i+1} = y_i + h \cdot \underbrace{F(x_i,y_i)}_{\frac{1}{2} \cdot (K_1 +
   K_2)}

\end{gather*}

\textbf{Verfahren von Runge-Kutta}: Verwende zus{\"a}tzlichen Zwischenwert $x_i + \frac{h}{2}$, gewichtetes Mittel aus Funktionswerten an den Stellen $x_i, x_i + \frac{h}{2}, x_i + h$: \begin{gather*}

   K_1 = f(x_i, y_i)\\
   K_2 = f(x_i + \frac{h}{2}, y_i + \frac{h}{2}K_1)\\
   K_3 = f(x_i + \frac{h}{2}, y_i + \frac{h}{2}K_2)\\
   K_4 = f(x_i + \frac{h}{2}, y_i + \frac{h}{2}K_3)\\
   \mathbf{y_{i+1} = y_i + h \cdot \frac{1}{6} \cdot (K_1 + 2K_2 + 2K_3 +
   K_4)}

\end{gather*}

\textbf{Konsistenzma{\ss}e}: Ein Einzelschrittverfahren besitzt die Konsistenzordnung $p$, wenn es ein $c \cdot h_0 > 0$ gibt, so dass gilt: \begin{gather*}

   |\frac{y(x+h)-y(x)}{h} - F(x,y,h)| \leq c \cdot h^p

\end{gather*} $p$ ist konkret f{\"u}r folgende Verfahren: \begin{itemize}

   \item Euler-Verfahren: 1
   \item Heun-Verfahren: 2
   \item Runge-Kutta-Verfahren: 4

\end{itemize}

Festlegung der optimalen Schrittweite $\widetilde{h}$ durch Ber{\"u}cksichtigung von Verfahrensfehlern und Rundungsfehlern:

\begin{figure}[htbp]

   \centering
   \includegraphics[scale=0.5]{optim_schrittw.eps}
   \caption{Optimale Schrittweite}
   \label{fig:gi}

\end{figure}

\section{Potenzreihenansatz zur L{\"o}sung von DGLen} Es liegt eine Differentialgleichung in folgender Form vor: \begin{gather*}

   F(x,y,y',\dots,y^{(n)})=0,

\end{gather*} und wir nehmen an, dass die L{\"o}sung $x_0 = x$ in eine Potenzreihe entwickelbar ist, d.h.: \begin{gather*}

   y(x) = \sum_{n=0}^\infty a_n \cdot (x - x_0)^n

\end{gather*} Die Bestimmung der Koeffizienten $a_1, a_2, \dots, a_n$ kann auf zwei Arten erfolgen:

\subsection{Fortgesetzte Differentiation} Ausgangspunkt ist das AWP \begin{gather*}

   y'=f(x,y), \qquad y(x_0) = y_0

\end{gather*} Mit der Taylor-Formel gilt: \begin{gather*}

   a_m = \frac{y^{(n)}(x_0)}{n!},

\end{gather*} Durch fortgesetzte Differentiation der Gleichung $y'(x) = f(x,y(x))$ bei $x=x_0$ (Kettenregel) bestimmt man nacheinander die Koeffizienten: \begin{gather*}

   a_0 = y(x_0) = y_0 \\
   a_1 = y'(x_0) = f(x_0,y_0)\\
   2!a_2 = y(x_0) = f_x(y_0,y_0) + f_y(x_0,y_0)y'(x_0)\\
   3!a_3 = y(x_0) = [f_{xx} + f_{xy}y' + (f_{yx} + f_{yy})y' +
   f_yy]_{x_0,y_0}\\
   \vdots

\end{gather*}

\subsection{Koeffizientenvergleich} \begin{enumerate}

   \item Ableitungen bilden:
   \begin{gather*}
       y(x)= \sum_{n=0}^\infty a_n \cdot (x-x_0)^n\\
       y'(x) = \sum_{n=1}^\infty n \cdot a_n \cdot
       (x-x_0)^{n-1}\\
       y(x) = \sum_{n=2}^\infty n \cdot (n-1) \cdot a_n \cdot
       (x-x_0)^{n-2}
   \end{gather*}
   \item Potenzen von $y(x)$ (($y(x))^2,(y(x))^3,\dots$) nach der
   Cauchy-Produktformel entwickeln:
   \begin{gather*}
       f(x) = \sum_{n=0}^\infty f_n\cdot (x-x_0)^n, \qquad g(x) = \sum_{n=0}^\infty g_n\cdot
       (x-x_0)^n\\
       h(x) := f(x) \cdot g(x) = \sum_{n=0}^\infty \underbrace{h_n}_{h_n=\sum_{k=0}^\infty f_k \cdot g_{n-k}}\cdot
       (x-x_0)^n
   \end{gather*}
   \item Reihenentwicklung in Differentialgleichung einsetzen und
   nach Potenzen von $(x-x_0)^n$ ordnen. Dann die Koeffizienten
   von $(x-x_0)$ vergleichen, d.h. $F(x,y,y',\dots,y^{(n)})=0$
   setzen.
   $\Rightarrow \,$ Gleichungssystem (unendlich dimensional) f{\"u}r
   $a_0, a_1, \dots$.
   Die Reihenentwicklung wird unter Annahme einer guten
   Approximation abgebrochen.

\end{enumerate}


Zum Beispiel die \textbf{Laguerre-Differentialgleichung}: \begin{gather*}

   x\cdot y + (1-x)\cdot y' + m \cdot y = 0, \qquad m \in \mathbb{R}

\end{gather*} Wir formen den Summanden $x\cdot y$ in eine Potenzreihe um: \begin{gather*}

   x\cdot y = x \cdot \sum_{n=2}^\infty n \cdot (n -1) \cdot
   a_n \cdot x^{n-2} = \sum_{n=2}^\infty n \cdot (n -1) \cdot
   a_n \cdot x^{\mathrm{\mathbf{n-1}}}

\end{gather*} Nun verschieben wir den Summationsindex: \begin{gather*}

   \sum_{n=2}^\infty n \cdot (n -1) \cdot a_n x^{n-1} = \sum_{\mathrm{\mathbf{n=1}}}^\infty (n\mathrm{\mathbf{+1}})
   \cdot \mathrm{\mathbf{n}} \cdot a_{\mathrm{\mathbf{n+1}}}
   x^{n-1}= \sum_{\mathrm{\mathbf{n=0}}}^\infty (n\mathrm{\mathbf{+1}})
   \cdot \mathrm{\mathbf{n}} \cdot a_{\mathrm{\mathbf{n+1}}}
   x^{n} = A

\end{gather*} Nun formen wir den Summanden $(1-x)\cdot y'$ in eine Potenzreihe um: \begin{gather*}

   (1-x)\cdot y' = (1-x)\cdot \sum_{n=1}^\infty n \cdot x^{n-1} \cdot
   a_n = \sum_{n=1}^\infty n \cdot x^{n-1} \cdot
   a_n + x \cdot \sum_{n=1}^\infty n \cdot x^{n-1} \cdot
   a_n =\\
   \sum_{n=1}^\infty n \cdot x^{n-1} \cdot
   a_n + x \sum_{n=1}^\infty n \cdot x^{\mathrm{\mathbf{n}}} \cdot
   a_n

\end{gather*} Nun verschieben wir den Summationsindex: \begin{gather*}

   \sum_{n=1}^\infty n \cdot x^{n-1} \cdot
   a_n + \sum_{n=1}^\infty n \cdot x^{n} \cdot
   a_n = \sum_{\mathrm{\mathbf{n=0}}}^\infty (\mathrm{\mathbf{n+1}}) \cdot x^{n} \cdot
   a_{n+2} + \sum_{\mathrm{\mathbf{n=0}}}^\infty (\mathrm{\mathbf{n+1}}) \cdot x^{n} \cdot
   a_{\mathrm{\mathbf{n+1}}} = B

\end{gather*} Abschliessend formen wir den Summanden $m \cdot y$ in eine Potenzreihe um: \begin{gather*}

   m \cdot y = m \cdot \sum_{n=0}^\infty x^n \cdot a_n = C

\end{gather*} In Kurzschreibweise: \begin{gather*}

   A + B + C = 0

\end{gather*} Da die Summationsindizes gleichgesetzt wurden, fallen sie weg und es ergibt sich: \begin{gather*}

   ((n+1)^2 \cdot a_{n+1} + (m-n) \cdot a_n) \cdot x^n = 0

\end{gather*} Wir führen den Koeffizientenvergleich f{\"u}r $(n+1)^2 \cdot a_{n+1} + (m-n) \cdot a_n$ f{\"u}r alle $n\geq 0$ durchf{\"u}hren und danach versuchen wir, ein Bildungsgesetz zu erkennen: \begin{enumerate}

   \item $n=1$:
   \begin{gather*}
       a_1 + m \cdot a_0 = 0 \qquad \Rightarrow \qquad
       a_1 = -m\cdot a_0
   \end{gather*}
   $a_0$ frei w{\"a}hlbar
   \item $n=1$
   \begin{gather*}
       2^2 \cdot a^2 + (m-1)\cdot a_1 = 0  \qquad \Rightarrow
       \qquad a_2 = -\frac{m-1}{2} \cdot \frac{a_1}{2} =\\
       (-1)\cdot (-1) \cdot \frac{(m-1)\cdot m}{2} \cdot \frac{a_0}{2}
   \end{gather*}
   \item $n=2$
   \begin{gather*}
       3^2 \cdot a_3 + (m-2)\cdot a_2 = 0 \qquad \Rightarrow
       \qquad \\
       a_3 = -\frac{m-2}{3^2} \cdot a_2 = (-1)^3
       \underbrace{\frac{m\cdot(m-1)\cdot(m-2)}{1\cdot2\cdot3}}_{\frac{m!}{3!(m-3)!} = \begin{pmatrix}
         m \\
         3 \\
       \end{pmatrix}}
       \cdot \frac{a_0}{1\cdot 2 \cdot 3}

\end{gather*} \end{enumerate} Daraus ergibt sich das \textbf{Bildungsgesetz}: \begin{gather*}

   a_n = (-1)^n \cdot \begin{pmatrix}
     m \\
     n \\
   \end{pmatrix} \cdot \frac{a_0}{n!}

\end{gather*} Beweis m{\"u}sste mittels vollst{\"a}ndiger Induktion erfolgen. Die Funktion allgemein als Potenzreihe ausgedr{\"u}ckt (ist auch die L{\"o}sung der Differentialgleichung von Laguerre) lautet nun: \begin{gather*}

   \mathbf{y(x) = a_0 \cdot \sum_{n=0}^\infty (-1)^n \cdot \begin{pmatrix}
     m \\
     n \\
   \end{pmatrix}} \cdot \frac{x^n}{n!}

\end{gather*} Falls $m \in \mathbb{N}$ bricht die Reihe bei $n > m$ ab - es bleibt das Laguerre-Polynom {\"u}brig.

\subsection{Modifizierter Potenzreihenansatz f. lineare DGL 2. Ord.} Wenn der bisher erw{\"a}hnte Ansatz nicht zum Ziel f{\"u}hrt wird der modifizierte Potenzreihenansatz verwendet. Die DGL muss in folgender Form vorliegen: \begin{gather*}

   p(x) \cdot y + q(x) \cdot y' + r(x) \cdot y = 0

\end{gather*} $\frac{q(x)}{p(x)}$ und $\frac{r(x)}{p(x)}$ m{\"u}ssen um $x=x_0$ in eine Taylorreihe entwickelbar sein.

Das Problem sind dabei die Nullstellen von $p(x)$. Wenn $p(x_0)=0$, so wird $x_0$ ein \textbf{singul{\"a}rer Punkt} genannt.

Eine Nullstelle $x_0$ von $p(x)$ hei{\ss}t \textbf{regul{\"a}re Singularit{\"a}t} der DGL, falls die Funktionen $p_0(x),p_1(x),\dots$ mit $p(x)=(x-x_0)^2\cdot p_0(x), y(x)=(x-x_0)\cdot p_1(x), r=p_2(x)$ existieren, so dass $p_0(x), p_1(x), p_2(x)$ um $x_0$ in eine Taylorreihe entwickelbar sind und zus{\"a}tzlich $p_0(x_0) \neq 0$ gilt.

Falls $x_0$ ist regul{\"a}re Singularit{\"a}t der DGL \begin{gather*}

   (x-x_0)^2\cdot p_0(x) \cdot y + (x-x_0)\cdot p_1(x) \cdot y'
   + p_2(x)\cdot y=0

\end{gather*} und $r$ eine Nullstelle der Indexgleichung \begin{gather*}

   r\cdot(r-1)\cdot p_0(x_0) + r\cdot p_1(x_0) + p_2(x_0) = 0

\end{gather*} ist, dann gilt die Potenzreihendarstellung: \begin{gather*}

   y(x)=(x-x_0)^r \cdot \sum_{n=0}^\infty a_n \cdot (x-x_0)^n

\end{gather*}

Beispiel: \textbf{Bessel-Differentialgleichungen}, welche die folgende Form haben: \begin{gather*}

   x^2\cdot y + x\cdot y' + (x^2 - \alpha^2)\cdot y = 0, \qquad \alpha
   \in \mathbb{R}

\end{gather*} Wenn $x=0$, liegt regul{\"a}re Singularit{\"a}t vor - L{\"o}sung mittels Potenzreihenansatz um $x_0=0$ m{\"o}glich. Dabei unterscheiden wir zwei F{\"a}lle: (a) $\alpha = m \in \mathbb{N}$ und (b) $\alpha = m \in \mathbb{R} \setminus \mathbb{Z}$ \begin{itemize}

   \item $\alpha = m \in \mathbb{N}$
   \begin{gather*}
       x^2\cdot y + x\cdot y' + (x^2 + m^2)\cdot y = 0  \\
       p_0(x_0) = 1, \qquad p_1(x_0) = 1, \qquad p_2(x_0) = x^2 -
       m^2\\
       \text{Indexgleichung: }\,\,\, r\cdot(r-1)\cdot 1 + r \cdot
       1 - m^2=0\\
       \Rightarrow \qquad r^2 -m^2 =0, \qquad \Rightarrow \qquad
       r_{1,2}=\pm m
   \end{gather*}
   \begin{itemize}
       \item $r_1=+m$
       \begin{gather*}
           \text{Ansatz: }\,\,\, y(x) = x^m \cdot
           \sum_{n=0}^\infty a_n \cdot x^n = \sum_{n=0}^\infty a_n \cdot
           x^{n+m}\\
           \sum_{n=0}^\infty (n+m) \cdot (n+m-1) \cdot a_n \cdot\mathbf{
           x^{n+m}}+ \sum_{n=0}^\infty (n+m) \cdot a_n \cdot
           \mathbf{x^{n+m}}+ \\
           + \underbrace{(x^2 - m^2) \cdot \sum_{n=0}^\infty
           a_n \cdot x^{n+m}}_{= \blacksquare} = 0\\
           \blacksquare  \underbrace{\sum_{n=0}^\infty a_n \cdot x^{n+m+2} -
           \sum_{n=0}^\infty m^2 \cdot a_n \cdot x^m}_{= \diamondsuit}\\
           \diamondsuit \sum_{\textbf{n=2}}^\infty a_{n-2} \cdot
           \mathbf{x^{n+m}}-\sum_{n=0}^\infty m^2 \cdot \mathbf{x^{n+m}}
       \end{gather*}
       Durchf{\"u}hrung des Koeffizientenvergleichs:
       \begin{itemize}
           \item $n=0$
           \begin{gather*}
               m \cdot (m -1) \cdot a_0 + m \cdot a_0 - m^2 \cdot
               a_0 = 0
           \end{gather*}
           Da $0 \cdot a_0 = 0$ gilt ist $a_0$ frei w{\"a}hlbar!
           \item $n=1$
           \begin{gather*}
               (m+1) \cdot m \cdot a_1 = (m+1) \cdot a_1 - m^2
               \cdot a_1 = 0\\
               2\cdot(m+1) \cdot a_1 = 0 \qquad
               \underbrace{\Rightarrow}_{m \in \mathbb{N}} \qquad a_1 =
               0
           \end{gather*}
           \item $n\geq2$
           \begin{gather*}
               (m+n) \cdot (n + m - 1) \cdot a_n = (m+n) \cdot a_n + a_{n-2} - m^2
               \cdot a_n = 0\\
               \mathbf{((n+m)^2 - m^2)\cdot a_n + a_{n-2} = 0}
           \end{gather*}
           Rekursion f{\"u}r die Bestimmung f{\"u}r $n \geq 2$
           (Differenzengleichung).
           Mittels Induktion ergibt sich f{\"u}r die ungeraden
           Koeffizienten immer 0. Betrachten nun die geraden
           Koeffizienten ($a_{2n}$):
           \begin{gather*}
               ((2\cdot n + m)^2 -m^2) \cdot a_{2n} + a_{2\cdot n - 2} = 0\\
               \Rightarrow a_{2\cdot n} = -\frac{a_{2n-2}}{(2n+m)^2 -
               m^2} =  -\frac{a_{2n-2}}{(2n+2m)\cdot 2n} = \\
               = -\frac{a_{2n-2}}{4(n+m)\cdot n} = \underbrace{\dots}_{\text{iterieren}}
               = \\
               (-1)^n \cdot \frac{a_0 \cdot m!}{4^n \cdot n! \cdot (n+m)!}
           \end{gather*}
           Die folgende Funktion ist somit eine L{\"o}sung der
           Bessel-Differentialgleichung ($a_0 \in \mathbb{R}$):
           \begin{gather*}
               \mathbf{y(x) = x^m \cdot a_0 \cdot \sum_{n=0}^\infty (-1)^n \cdot \frac{a_0 \cdot m!}{4^n \cdot n! \cdot
               (n+m)!}\cdot x^{2n}}
           \end{gather*}
           Frei w{\"a}hlbares $a_0$: Mit  folgendem speziellen $a_0$
           ergibt sich die \textbf{Bessel-Funktion 1. Art der Ordnung
           $\mathbf{m}$}:
           \begin{gather*}
               a_0 = \frac{1}{2^m \cdot m!} \\
               \mathbf{J_m(x) = \frac{x^m}{2^m} \sum_{n=0}^\infty (-1)^n \cdot \frac{x^{2n}}{4^n \cdot n! \cdot
               (n+m)!}}
           \end{gather*}
       \end{itemize}
       \item $r_2=-m$
       Nicht in der LVA behandelt, aber der Vollst{\"a}ndigkeit halber
       erw{\"a}hnt. Die zweite L{\"o}sung der Differentialgleichung in
       der Gestalt
       \begin{gather*}
           Y_m(x) = c\cdot J_m(x) \cdot \ln x + \frac{1}{x_m}
           \cdot P_2(x)
       \end{gather*}
       ($c \in \mathbb{R}$,$P_2$ ist Potenzreihe um $x_0$ (singul{\"a}re Stelle)) ist
       die \textbf{Bessel-Funktion 2. Art der Ordnung
       $\mathbf{m}$}($J_m$ und $Y_m$ bilden eine L{\"o}sungsbasis).
   \end{itemize}
   \item $\alpha = m \in \mathbb{R} \setminus \mathbb{Z}$
   Berechnung analog wie bei $r_1$, nur statt dessen bei letzter
   Umformung statt $m!$ die Gamma-Funktion $\Gamma(\alpha +1)$.
   Der Vollst{\"a}ndigkeit halber (nicht in LVA behandelt) seien der Ansatz
   $a_0 = \frac{1}{2^\alpha \Gamma(\alpha +1)}$ (Gamma-Funktion ist eine h{\"o}here Funktion und als $\Gamma(x)=\int_0^\infty t^{x-1} e^{-t} \mathrm{d}t$
   definiert) mit der folgenden
   L{\"o}sung erw{\"a}hnt:
   \begin{gather*}
       y(x) = \frac{x^\alpha}{2^\alpha} \cdot \sum_{n=0}^\infty (-1)^n \cdot
       \frac{1}{4^n \cdot n! \cdot \Gamma(n+\alpha+1)}\cdot x^{2n}
   \end{gather*}

\end{itemize}

\newpage

\textbf{Erg{\"a}nzungen} \begin{itemize}

   \item Die Indexgleichung ist ein quadratisches Polynom mit
   zwei L{\"o}sungen $r_1$,$r_2$
   \begin{itemize}
       \item Wenn $r_1 \neq r_2 \, \, \, \wedge \, \, \, r_1 -
       r_2 \not\in \mathbb{Z}$ - modifizierten Potenzreihenansatz
       verwenden - ergibt zwei unabh{\"a}ngige L{\"o}sungen: ($P(x)$ ist Potenzreihe)
       \begin{enumerate}
           \item $(x-x_0)^{r_1} \cdot P(x)$
           \item $(x-x_0)^{r_2} \cdot P(x)$
       \end{enumerate}
       \item $r_1=r_2 \, \, \, \wedge \, \, \, r_1 - r_2 \in
       \mathbb{Z}$ - w{\"a}hle das 'gr{\"o}ssere' $r$ ($r=\max(r_1,r_2)$)
       f{\"u}r den L{\"o}sungsansatz
       \begin{gather*}
           (x-x_0)^r \cdot P(x)
       \end{gather*}
       Liefert aber keine allgemeine L{\"o}sung (nur durch Variation
       der Konstanten erh{\"a}ltlich)
   \end{itemize}

\end{itemize}

\section{Lineare DGL n-ter Ordnung} \subsection{Grundlagen} \begin{gather*}

   a_n(x) \cdot y^{n}(x) + a_{n-1}(x) \cdot y^{n-1}(x) + \dots +
   a_1(x) \cdot y(x)' + a_0(x) y(x) = b(x)

\end{gather*} ($a_n(x) \neq 0, a_0(x),\dots$ sind stetige Funktionen in einem offenen Intervall $I \subseteq \mathbb{R}$)

$b(x)$ ist die St{\"o}rfunktion (inhomogener Anteil). Ist $b=0$ liegt eine homogene DGL vor.

Zum \textbf{Satz vom L{\"o}sungsraum homogener linearer DGL $\mathbf{n}$-ter Ordnung}: $\varphi_1(x)$ und $\varphi_2(x)$ seien L{\"o}sungen der homogenen DGL - dann folgt daraus, dass $\alpha\cdot \varphi_1(x) + \beta\cdot \varphi_2(x)$ auch eine L{\"o}sung ist.

Die Gesamtheit aller L{\"o}sungen bildet einen $n$-dimensionalen Vektorraum {\"u}ber $\mathbb{R}$. Die allgemeine L{\"o}sung der homogenen DGL lautet: \begin{gather*}

   y_h = c_1\cdot \varphi_1(x) + c_2\cdot \varphi_2(x) + \dots + c_n\cdot \varphi_n(x)

\end{gather*}

F{\"u}r alle Werte ($(y_0, y_0', y_0, \dots, y_0^{(n-1)}) \in \mathbb{R}^n$ und $x \in I$ gilt: Das AWP $y^n(x) + \dots + a_0(x) \cdot y(x) =0$ mit $y^{(n)}(x_0) = y_0^{k}$ hat immer eine eindeutige L{\"o}sung.

Die $n$ L{\"o}sungen der DGL ($\varphi_1(x), \dots, \varphi_n(x)$) bilden genau dann eine Basis des L{\"o}sungsraums (= L{\"o}sungsbasis, Fundamentalsystem), wenn die \textbf{Wronski-Determinante} $W(x) \neq 0$ f{\"u}r \emph{ein} $x \in I$ ist: \begin{gather*} W(x) = \Phi(x) = \begin{pmatrix}

 \varphi_1(x) & \varphi_2(x) & \ldots & \varphi_n(x) \\
 \varphi_1'(x) & \varphi_2'(x) & \ldots & \varphi_n'(x) \\
 \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
 \varphi_1^{n-1}(x) & \varphi_2^{n-1}(x) & \ldots & \varphi_n^{n-1}(x) \\

\end{pmatrix} \end{gather*} $\Rightarrow$ Vollst{\"a}ndige L{\"o}sung $y^{(n)}(x) = c_1\varphi_1(x) + \dots + c_n\varphi_n(x)$ mit $c_1, c_2 \in \mathbb{R}$.

   \begin{itemize}
       \item \textbf{Homogene DGL}
       Die homogene DGL hat die Form
       \begin{gather*}
           y^{(n)} + a_{n-1}(x)y^{(n-1)} + \dots + a_1(x)y' + a_0(x)y
           = 0
       \end{gather*}
       und ihre allg. L{\"o}sung hat die Form
       \begin{gather*}
           y_{[h]}(x) = c_1\varphi_1(x) + c_2\varphi_2(x) + \dots + c_n\varphi_n(x)
       \end{gather*}
       \item \textbf{Inhomogene DGL}
       Die inhomogene DGLhat die Form
       \begin{gather*}
           y^{(n)} + a_{n-1}(x)y^{(n-1)} + \dots + a_1(x)y' + a_0(x)
           = s(x)
       \end{gather*}
       $s(x)$ ist eine St{\"o}rfunktion.
       Angenommen $\varphi_1, \dots \varphi_n$ sind unabh. L{\"o}sungen
       der homogenen DGL und bekannt - wie erh{\"a}lt man die
       \textbf{Partikul{\"a}rl{\"o}sung} $y_{[p]}$?
       Die allg. L{\"o}sung ergibt sich aus:
       \begin{gather*}
           y(x) = y_{[h]}(x) + y_{[p]}(x)
       \end{gather*}
       Erhalten \emph{eine} partikul{\"a}re L{\"o}sung {\"u}ber den Ansatz '\textbf{Variation der
       Konstanten}' ($c \Rightarrow c(x)$):
       \begin{gather*}
           y_{[p]}(x) := c_1\mathbf{(x)}\varphi_1(x) +
           c_2\mathbf{(x)}\varphi_2(x)+ \dots c_n\mathbf{(x)}\varphi_n(x)
       \end{gather*}
       F{\"u}r $c_1(x),\dots,c_n(x)$ gelten folgende Bedingungen:
       \begin{equation*}
           \begin{matrix}
           (1) & \, \, \,&  c_1'(x)\varphi_1(x) & + &  c_2'(x)\varphi_2(x) & + & \dots & + &  c_n'(x)\varphi_n(x) & = & 0 \\
           (2) & \, \, \, &  c_1'x)\varphi_1'(x) & + &  c_2'(x)\varphi_2'(x) & + & \dots & + &  c_n'(x)\varphi_n'(x) & = & 0 \\
           \vdots &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  \\
           (n-1) & \, \, \, &  c_1'x)\varphi_1^{(n-2)}(x) & + &  c_2'(x)\varphi_2^{(n-2)}(x) & + & \dots & + &  c_n'(x)\varphi_n^{(n-2)}(x) & = & 0 \\
           (n) & \, \, \, &  c_1'x)\varphi_1^{(n-1)}(x) & + &  c_2'(x)\varphi_2^{(n-1)}(x) & + & \dots & + &  c_n'(x)\varphi_n^{(n-1)}(x) & = & s(x) \\
           \end{matrix}
       \end{equation*}
       Folgendes Lineare Gleichungssystem ergibt f{\"u}r
       $c_1'(x),\dots,c_n'(x)$ eindeutige L{\"o}sungen:
       \begin{gather*}
           \underbrace{\begin{vmatrix}
           \varphi_1(x) & \varphi_2(x) & \hdots & \varphi_n(x) \\
           \varphi_1'(x) & \varphi_2'(x) & \hdots & \varphi_n'(x) \\
           \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
           \varphi_1^{[n-1]}(x) & \varphi_2^{[n-1]}(x) & \hdots & \varphi_n^{[n-1]}(x) \\
           \end{vmatrix}}_{\text{Fundamentalmatrix}}\cdot
           \begin{pmatrix}
           c_1'(x) \\
           c_2'(x) \\
           \vdots \\
           c_n'(x) \\
           \end{pmatrix}=
           \begin{pmatrix}
           0 \\
           \vdots \\
           \vdots \\
           \mathbf{s(x)} \\
           \end{pmatrix}
       \end{gather*}
       Wir erhalten $c_1(x),\dots,c_n(x)$ durch die Integration der
       aus dem Linearen Gleichungssystem errechneten $c_1'(x),\dots,c_n'(x)$
       Anmerkung: Bei einer DGL 1. Ordnung sieht dieser Ansatz
       einfach so aus: $\varphi_1(x) \qquad \Rightarrow \qquad
       \varphi_1(x)\cdot c_1'(x) = s(x)$.
   \end{itemize}
   Beispiel einer \textbf{Eulerschen DGL}:
   \begin{gather*}
       x^2y - 2xy' + 2y = x^3
   \end{gather*}
   Im ersten Schritt bestimmen wir das Fundamentalsystem
   $\varphi_1(x),\varphi_2(x)$ der zugeh{\"o}rigen homogenen DGL., und
   zwar mit dem Ansatz $\varphi(x)=x^r$:
   \begin{gather*}
       y(x)=x^r, \qquad y'(x)=rx^{r-1}, \qquad y(x)=r(r-1)x^{r-2}\\
       x^2r(r-1)x^{r-2} - 2xrx^{r-1} + 2x^r=0 \\
       r(r-1)x^r - 2rx^r + 2x^r = 0 \qquad | \, \cdot
       \frac{1}{x^r}\\
       r(r-1) - 2r + 2 = 0 \qquad \text{Indexgleichung}\\
       r^2-3r+2=0 \qquad \Rightarrow \qquad (r-2)(r-1)=0 \qquad \Rightarrow
       \qquad \mathbf{r_{1,2} = 1,2}
   \end{gather*}
   Die L{\"o}sungen der homogenen DGL sind somit:
   $\varphi_1(x)=x^1=x$,$\varphi_2(x)=x^2$.
   Mit Hilfe der Wronski-Determinante pr{\"u}fen wir die
   Unabh{\"a}ngigkeit der L{\"o}sungen:
   \begin{gather*}
       W(x) = \begin{vmatrix}
       x & x^2 \\
       1 & 2x \\
       \end{vmatrix} = 2x^2 - x^2 = x^2\\
       W(1) = 1^2 = 1 \neq 0
   \end{gather*}
   Somit sind die L{\"o}sungen unabh{\"a}gig und die L{\"o}sung der homogenen
   DGL lautet:
   \begin{gather*}
       y_{[h]}(x) = c_1x + c_2x^2
   \end{gather*}
   Nun wenden wir die 'Variation der Konstanten' an:
   \begin{gather*}
       \mathbf{x^2}y - 2xy' + 2y = x^3 \qquad | \,\, :
       \frac{1}{x^2}\\
       \mathbf{1}y - \frac{2}{x}y' + \frac{2}{x^2}y=x\\
       \varphi_1=x, \varphi_2=x^2\\
       \text{Ansatz}\qquad y_{[p]} = c_1(x)\varphi_1(x) +
       c_2(x)\varphi_2(x)\\
       \begin{bmatrix}
       x & x^2 \\
       1 & 2x \\
       \end{bmatrix}\cdot
       \begin{pmatrix}
       c_1'(x) \\
       c_2'(x) \\
       \end{pmatrix}=
       \begin{pmatrix}
       0 \\
       \frac{x^3}{x^2}=x
       \end{pmatrix}\\
       \text{Cramer'sche Regel anwenden}\\
       c_1'(x) = \frac{\begin{vmatrix}
           0 & x^2 \\
           x & 2x \\
       \end{vmatrix}}{W(x)} = \frac{-x^3}{x^2} = x\\
       c_2'(x) = \frac{\begin{vmatrix}
           x & 0 \\
           1 & x \\
       \end{vmatrix}}{W(x)} = \frac{x^2}{x^2} = 1\\
   \end{gather*}
   Nach Integration ergibt sich $c_1(x) = -\frac{x^2}{2}$ und
   $c_2(x)=x$ und damit:
   \begin{gather*}
       y_{[p]}(x) = -\frac{x^2}{2}\cdot x + x\cdot x^2 =
       \frac{x^3}{2}\\
       \mathbf{y(x) = \frac{x^3}{2} + c_1x + c_2x^2} \qquad
       \text{allg.Lsg.}
   \end{gather*}
   Eine weitere Anwendung f{\"u}r die Variation der Konstanten ist die
   folgende: Es sei eine homogene lineare DGL gegeben und es sei
   angenommen, man kenne eine L{\"o}sung $\varphi_1(x)$. In diesem Fall
   f{\"u}hrt man eine Reduktion der Ordnung $n$ der DGL durch den
   \textbf{Reduktionsansatz}
   \begin{gather*}
       y(x)=\varphi_1(x)\cdot c(x)
   \end{gather*}
   durch, was eine DGL der Ordnung $n-1$ f{\"u}r $c'(x)$ ergibt.
   Beispiel (s. vorhergehendes):
   \begin{gather*}
       x^2y - 2xy' + 2y = 0, \qquad \varphi_1(x)=x\\
       \text{Ansatz} \qquad y=c(x) x \qquad \Rightarrow \qquad y' =
       c'(x) + c\\
       y=cx + c' + c' = cx + 2c'\\
       x^2(cx + 2c') - 2x(c'x + c) + 2cx=0\\
       x^3c=0 \qquad \Rightarrow \qquad c=0 \qquad \Rightarrow
       \qquad c'=1 \qquad \Rightarrow \qquad \mathbf{c=x}\\
       y(x)=c(x)\cdot x = x\cdot x=x^2 \qquad \Rightarrow \qquad
       \text{unabh. Lsg.}
   \end{gather*}
   \subsection{Lineare DGL $n$-ter Ordnung mit konstanten Koeffizienten}
   Die allgemeine Form (\textbf{homogen}) ist:
   \begin{gather*}
           y^{(n)} + a_{n-1}y^{(n-1)} + \dots + a_1y' + a_0(x)y
           = 0 \qquad a_0,\dots,a_{n-1} \in \mathbb{R}
   \end{gather*}
   Verwendug des Exponentialansatzes $\mathbf{y(x)=e^{\lambda x}}$,
   was das folgende charakteristische Polynom von Grad $n$ ergibt:
   \begin{gather*}
       P(\lambda)=\lambda^n + a_{n-1}\lambda^{n-1} + \dots + a_1\lambda + a_0 =
       0
   \end{gather*}
   Nullstellen (Vielfachheit $k$):
   \begin{gather*}
       P(\lambda)=(\lambda - \lambda_1)^{k_1}\cdot(\lambda -
       \lambda_2)^{k_2}\cdot\dots\cdot(\lambda - \lambda_i)^{k_j} \\
       \lambda_i \neq \lambda_j, \qquad 1 \leq j \leq i, \qquad
       \lambda_i \in \mathbb{C}
   \end{gather*}
   Die L{\"o}sungsbasis $\varphi_1(x),\dots,\varphi_n(x)$ der homogenen
   DGL erh{\"a}lt man wie folgt:
   \begin{itemize}
       \item Falls $\lambda$ eine reelle Nullstelle mit der
       Vielfachheit $k$ ist: $k_i$ ist unabh{\"a}ngige L{\"o}sung, gegeben
       durch $e^{\lambda_ix},xe^{\lambda_ix},x^2e^{\lambda_ix},\dots,
       x^{k-1}e^{\lambda_ix},$
       \item Falls $\lambda=\alpha - i\beta$ eine komplexe Nullstelle
       mit der Vielfachheit $k$ ist, dann ist auch $\lambda_j =
       \alpha - i\beta$ eine komplexe Nullstelle mit der Vielfachheit
       $k_j$.
       Unabh{\"a}ngige L{\"o}sung ist gegeben durch
       \begin{gather*}
               e^{\alpha x}
               \cos (\beta x),xe^{\alpha x}\cos (\beta x), x^2e^{\alpha x}
               \cos (\beta x),\dots,x^{k-1}e^{\alpha x}\cos (\beta x)\\
               e^{\alpha x}
               \sin (\beta x),xe^{\alpha x}\sin (\beta x), x^2e^{\alpha x}
               \sin (\beta x),\dots,x^{k-1}e^{\alpha x}\sin (\beta x)
       \end{gather*}
   \end{itemize}
   Die allgemeine Form (\textbf{inhomogen}) ist:
   \begin{gather*}
           y^{(n)} + a_{n-1}y^{(n-1)} + \dots + a_1y' + a_0(x)y
           = s(x) \qquad a_0,\dots,a_{n-1} \in \mathbb{R}
   \end{gather*}
   Zur L{\"o}sung kann die Variation der Konstanten verwendet werden oder
   bei speziellen $s(x)$ verschiedene unbestimmte Ans{\"a}tze, z.B.:
   \begin{gather*}
       s(x) = (c_0 + c_1x + \dots + c_mx^m)e^{\mu x}, \qquad \mu \in
       \mathbb{R}\\
       \text{Ansatz} \qquad y_p(x) = (A_0 + A_1x + \dots +
       A_mx^m)e^{\mu x}
   \end{gather*}
   $\mu$ ist die L{\"o}sung des aus der zugeh{\"o}rigen homogenen DGL
   resultierenden charakteristischen Polynoms $P(\lambda)$.
   Wenn $\mu$ eine $k$-fache Nullstelle ist, so tritt der
   Resonanzfall auf und es gilt:
   \begin{gather*}
       \qquad y_p(x) = (A_0 + A_1x + \dots +
       A_mx^m)e^{\mu x}x^k
   \end{gather*}
   Anderes Beispiel:
   \begin{gather*}
       s(x) = (c_0 + c_1x + \dots + c_mx^m)e^{\alpha x} \cos (\beta
       x)\\
       s(x) = (c_0 + c_1x + \dots + c_mx^m)e^{\alpha x} \sin (\beta
       x)\\
       \text{Ansatz} \qquad y_p(x) = (A_0 + A_1x + \dots +
       A_mx^m)e^{\alpha x} \cos (\beta x) +\\ (A_0 + A_1x + \dots +
       A_mx^m)e^{\alpha x} \sin (\beta x)
   \end{gather*}
   (Falls $\alpha + i\beta$ keine Nullstelle des charakteristischen
   Polynoms $P(\lambda)$ ist)
   \begin{gather*}
       \text{Ansatz} \qquad y_p(x) = x^k(A_0 + A_1x + \dots +
       A_mx^m)e^{\alpha x} \cos (\beta x) +\\ x^k(A_0 + A_1x + \dots +
       A_mx^m)e^{\alpha x} \sin (\beta x)
   \end{gather*}
   (Falls $\alpha + i\beta$ $k-$fache Nullstelle des
   charakteristischen Polynoms $P(\lambda)$ ist)
   \section{L{\"o}sen von DGLen mittels Laplace($\mathcal{L}$-)-Transformation}
   \subsection{Grundlagen}
   Gegeben ist eine Funktion $f(t) \, \, [0,\infty) \,\, \rightarrow
   \,\, \mathbb{R}$. Falls das uneigentliche Integral f{\"u}r zumindest
   ein $s \in \mathbb{R}$ existiert, dann hei{\ss}t $F(s)$ (Bildfunktion)
   die \textbf{Laplace-Transformierte ($\mathcal{L}$-transformierte)} von $f(t)$
   (Zeitfunktion):
   \begin{gather*}
       \mathbf{F(s) = \mathcal{L} \{ f(t) \} = \int_0^\infty f(t) \cdot e^{-s\cdot t} \, dt}
   \end{gather*}
   Der \textbf{Existenz- und Eindeutigkeitssatz f{\"u}r
   $\mathcal{L}$-transformierte}:
   \begin{itemize}
       \item Ist die Funktion $f: \, [0,\infty) \, \, \rightarrow \,
       \, \mathbb{R}$ auf beschr{\"a}nkten Intervallen st{\"u}ckweise stetig
       (d.h. sie besitzt in Intervallen nur endlich viele
       Sprungstellen) und $f(t)$ hat h{\"o}chstens exponentielles
       Wachstum, d.h. es existieren Konstanten $M,\delta > 0$
       \begin{gather*}
           |f(t)| \leq Me^{\delta t}, \qquad t \geq 0
       \end{gather*}
       dann gilt:
       \begin{itemize}
           \item $F(s) = \mathcal{L} \{f(t)\}$ existiert f{\"u}r alle $s
           > \delta$
           \item Das uneigentliche Integral $\int_0^\infty f(t) \cdot e^{-s\cdot t} \, dt$
           konvergiert f{\"u}r alle $s \geq s_0 > \delta$ gleichm{\"a}ssig
           \item $f(t)$ ist durch $F(s)$ eindeutig bestimmt (bis auf
           die Sprungstellen). Die R{\"u}ck\-transformierbarkeit ist daher
           gew{\"a}hrleistet
           \item $\lim_{s\rightarrow\infty} F(s) = 0$
       \end{itemize}
   \end{itemize}
   Es gibt allerdings auch $\mathcal{L}$-transformierbare Funktionen,
   die o.g. Bedingungen nicht vollst{\"a}ndig gen{\"u}gen.
   Es gilt:
   \begin{gather*}
       \mathcal{L} \{f(t)\} =: F(s) = \int_0^\infty e^{-s\cdot t}\cdot
       f(t) \, \operatorname{d} t
   \end{gather*}
   Inverse Transformation $\mathcal{L}^{-1} \{F(s)\}$
   \begin{center}
       \begin{tabular}{|c|c|}
       % after \\: \hline or \cline{col1-col2} \cline{col3-col4} ...
       \hline
       $f(t)$ & $F(s)$ \\
       \hline
       $1$ & $\frac{1}{s}$ \\
       \hline
       $e^{a\cdot t}$ & $\frac{1}{s-a}$ \\
       \hline
       $\cos(\omega \cdot t)$ & $\frac{s}{s^2 + \omega^2}$ \\
       \hline
       $\sin(\omega \cdot t)$ & $\frac{\omega}{s^2 + \omega^2}$ \\
       \hline
       \end{tabular}
   \end{center}
   Beispiel:
   \begin{gather*}
       e^{a\cdot t} \qquad a = \alpha + i\cdot \beta \qquad\\
       F(s) = \int_0^\infty e^{a\cdot t} \cdot e^{-s\cdot t} \,
       \operatorname{d} t = \int_0^\infty e^{(a-s)\cdot t} \operatorname{d}_t =
       \frac{\overbrace{e^{(a-s)\cdot t}}^{\text{wenn } a-s < 0 \text{ dann ok}}}{a-s}|_0^\infty = \\
       \lim_{t \rightarrow \infty} \underbrace{\frac{e^{(a-s)\cdot t}}{a-s}}_{\rightarrow 0} - \frac{1}{a-s} =
       \frac{1}{s-a}\\
        \text{ }\\
        \cos (\omega \cdot t), \sin (\omega \cdot t): \, \,
        \text{setze } \, a= 0 + i \cdot \omega\\
        e^{i\omega t} = \cos (\omega \cdot t) + i \cdot \sin (\omega \cdot
        t)= \dots
   \end{gather*}
   \subsection{Rechenregeln}
   $f(t)$, $g(t)$ - Zeitfunktion
   $\overbrace{\longrightarrow}^{\mathcal{L}} F(s), G(s)$
   \begin{itemize}
       \item \emph{Linearit{\"a}t}
           \begin{gather*}
               \mathcal{L} \{\alpha \cdot f(t) + \beta \cdot g(t)
               \} = \alpha \cdot \mathcal{L} \{f(t)\} + \beta \cdot \mathcal{L}
               \{g(t)\}= \alpha \cdot F(s) + \beta \cdot G(s)
           \end{gather*}
           Beispiel:
           \begin{gather*}
               \cosh t = \frac{e^t + e^{-t}}{2} \\
               \mathcal{L} \{\cosh t \} = \frac{1}{2} \mathcal{L}
               \{e^t\} + \frac{1}{2} \mathcal{L}
               \{e^{-t}\} = \frac{1}{2}\frac{1}{s-1} +
               \frac{1}{2}\frac{1}{s+1}= \frac{s}{s^2-1}\\
               \text{ }\\
               \sinh t = \frac{e^t - e^{-t}}{2} \qquad
               \text{analog}
           \end{gather*}
       \item \emph{Streckung}
           \begin{gather*}
               \mathcal{L} \{f(c\cdot t)\} = \frac{1}{c} \cdot
               F(\frac{s}{c}), c > 0
           \end{gather*}
           Beweis: Variable im Integral substituieren
       \item \emph{Differentiation und Integration im Zeitbereich}
           \begin{gather*}
               \mathcal{L} \{f'(t) \} = s\cdot F(s) -
               \underbrace{f(0^+)}_{\text{rechtsseitiger Grenzwert an
               der Stelle } 0 }
           \end{gather*}
           \newpage
           Voraussetzungen:
           \begin{enumerate}
               \item $f$,$f'$ $\mathcal{L}$-transformierbar
               \item $f$ stetig auf $[0,\infty)$
           \end{enumerate}
           \begin{gather*}
               \mathcal{L} \{f^{(n)} (t)\} = s^n \cdot F(s) -
               s^{n-1}\cdot f(0^+) - s^{n-2}\cdot f'(o^+) - \dots -
               f^{n-1}(0^+)
           \end{gather*}
           Voraussetzungen f{\"u}r die Integration analog denen von
           der Differentiation:
           \begin{gather*}
               \mathcal{L} \{ \int_0^t f(\tau ) \operatorname{d}\tau \} =
               \frac{F(s)}{s}
           \end{gather*}
   \end{itemize}
   Beispiel:
   \begin{gather*}
       f(t) = t, \mathcal{L}\{t\} = ?\\
       f'(t) = 1, \qquad \mathcal{L} \{f'(t)\} = s\cdot F(s)
       =\mathcal{L} \{1\} = \frac{1}{s}\\
       s\cdot F(s) - f(0^+) = s \cdot F(s)\\
       \Rightarrow \, \, F(s) \cdot s = \frac{1}{s} \, \, \Rightarrow \,
       \,F(s) = \frac{1}{s^2}
   \end{gather*}
   Analog: $f(t) =t^n, n = 1,2,3,\dots$
   \begin{gather*}
       f^{(n)}(t) = n(n-1)(n-2)\dots1\cdot t^0 = n' \cdot t\\
       \mathcal{L} \{f^{(n)}(t)\}=s^n\cdot F(s) \\
       \mathcal{L} \{f^{(k)}(t)\}=n' \cdot \mathcal{L}\{1\} = n'
       \cdot \frac{1}{s}\\
       \Rightarrow F(s)=\mathcal{L}\{t^n\} = \frac{n'}{s^{n+1}}
   \end{gather*}
   Weitere wichtige Eigenschaften:
   \begin{itemize}
       \item \emph{Differentiation und Integration im Bildbereich}
           \begin{gather*}
               \mathcal{L} \{t \cdot f(t) \} = -\frac{\operatorname{d}}{\operatorname{d}
               s}F(s) = -F'(s)\\
               \mathcal{L} \{t \cdot f(t) \} = (-1)^n \cdot \frac{\operatorname{d}^n}{\operatorname{d}
               s^n}F(s) = (-1)^n \cdot F^{(n)}(s)\\
               \mathbf{\mathcal{L} \{ \frac{f(t)}{t} \} = \int_s^\infty F(u) \cdot \operatorname{d} u}
           \end{gather*}
           Beispiel:
           \begin{gather*}
               \mathcal{L} \{t \cdot \sin (\omega t) \} = -\frac{\operatorname{d}}{\operatorname{d}
               s}\cdot F(s) = -\frac{\operatorname{d}}{\operatorname{d} s}\cdot
               \frac{\omega}{s^2+\omega^2}= \frac{2s}{(s^2-\omega^2)^2}
           \end{gather*}
           \newpage
       \item \emph{D{\"a}mpfung und Verschiebung}

\begin{figure}[htbp]

   \centering
   \includegraphics[scale=0.3]{verschiebung.eps}
   \caption{Dämpfung und Verschiebung}
   \label{fig:gi}

\end{figure}

           \begin{gather*}
               \mathcal{L} \{ e^{-\mathbf{a}t} \cdot f(t) \} =
               F(s+a), \qquad f(t): [0,\infty] \rightarrow
               \mathbb{R}, a>0\\
               \mathcal{L} \{f(t-a) \cdot u (t-a)\} =
               e^{-as}\cdot F(s) \\
               u(t) \text{  ... Heavisidische Sprungfunktion}\\
               \text{(hat für eine beliebige nichtpositive Zahl den Wert Null, andernfalls den Wert
               Eins)}
           \end{gather*}

\begin{figure}[htbp]

   \centering
   \includegraphics[scale=0.8]{heaviside.eps}
   \caption{Heavisidische Sprungfunktion}
   \label{fig:gi}

\end{figure}

           \begin{gather*}
               u(t) = \begin{cases} 1 & t \geq 0 \\ 0 & t < 0
               \end{cases}\\
               \mathcal{L} \{u(t-a)\} = e^{-as} \cdot \frac{1}{s}
           \end{gather*}
           Beispiel: $\mathcal{L}$-Transformation der
           Rechteckperiode $T$, Amplitude $A$ ($T,A > 0$):

\begin{figure}[htbp]

   \centering
   \includegraphics[scale=0.3]{ltraforechteck.eps}
   \caption{$\mathcal{L}$-Transformation der Rechteckperiode $T$, Amplitude $A$}
   \label{fig:gi}

\end{figure}

           \begin{gather*}
               f(t) = [2A \sum_{k=0}^\infty (-1)^k u(t-
               \frac{nT}{2})] - A
           \end{gather*}
           F{\"u}r jedes $t$ ist die Reihe nur eine endliche Reihe -
           $0 \leq t < \frac{T}{2}$, nur $n=0$ liefert:
           \begin{gather*}
               f(t)=2A\cdot\underbrace{(-1)^0}_{=1} \cdot
               \underbrace{u(t)}_{=1} - A = 2A - A = A
           \end{gather*}
           $\frac{T}{2} \leq t < T: n = 0$ und $n=1$ liefert:
           \begin{gather*}
               f(t)=2A\cdot\underbrace{(-1)^0}_{=1} \cdot
               \underbrace{u(t)}_{=1} + 2A(-1)^1 \cdot
               u(t-\frac{T}{2}) - A = 2A - 2A - A = -A\\
               \text{ }\\
               \mathcal{L} \{ f(t)= \} = 2A \mathcal{L} \{
               \sum_{n=0}^\infty (-1)^n \cdot u(t-\frac{nT}{2})\}
               - A \cdot \mathcal{L} \{ 1 \} =\\
               2A \int_0^\infty e^{-st} \sum_{n=0}^\infty (-1)^n u(t-\frac{nT}{2})
               \operatorname{d} t - \frac{A}{s} =\\
               2A \int_0^\infty \sum_{n=0}^\infty e^{-st}(-1)^n u(t-\frac{nT}{2})
               \operatorname{d} t - \frac{A}{s} =\\
               2A \sum_{n=0}^\infty \int_0^\infty  e^{-st}(-1)^n u(t-\frac{nT}{2})
               \operatorname{d} t - \frac{A}{s} \blacksquare
           \end{gather*}
           $\blacksquare \,$ Darf man hier machen, ist aber i.A.
           \emph{nicht} erlaubt!
       \item \emph{Gleichm{\"a}{\ss}ige Konvergenz von Funktionenfolgen}
           Definition: Eine Funktionenfolge $f_0(x)$, $f_1(x), \dots$
           heisst auf einem Intervall $I \subseteq \mathbb{R}$
           gleichm{\"a}ssig konvergent gegen eine Funktion $f(x)$,
           wenn $\forall \epsilon > 0$ ein von $x$ unabh{\"a}ngiger
           Index $N = N_\epsilon > 0$ existiert, sodass
           \begin{gather*}
               n \geq N: |f_n(x) - f(x)| \leq \epsilon, \forall x
               \in I
           \end{gather*}
           Satz: Wenn $(f_n(x))_{n \in \mathbb{N}}$ gleichm{\"a}ssig
           auf $I$ gegen $f(x)$ konvergiert, dann gilt:
           \begin{gather*}
               \lim_{n \rightarrow \infty} \int_a^b f(n) \,
               \operatorname{d} x = \int_a^b \lim_{n \rightarrow \infty} f(n) \,
               \operatorname{d} x = \int_a^b f(n) \,
               \operatorname{d} x
           \end{gather*}
           Betrachten Reihe:
           \begin{gather*}
               \int_a^b \sum_{k=0}^\infty f_k(x) \operatorname{d} x = \sum_{k=0}^\infty \int_a^b f_k(x) \operatorname{d} x
           \end{gather*}
           Integration und Summation einer Reihe $\sum_{k=0}^\infty$
           d{\"u}rfen vertauscht werden, wenn die Folge der
           Partialsummen
           \begin{gather*}
               s(n) (x) = \sum_{k=0}^\infty f_k(x)
           \end{gather*}
           gleichm{\"a}ssig gegen
           \begin{gather*}
                s(n) (x) = \sum_{k=0}^\infty f_k(x)
           \end{gather*}
           konvergiert.
       \item \emph{Weierstrass'scher M-Test}
       F{\"u}r gleichm{\"a}ssige Konvergenz von Funktionenreihen $\sum_{n=0}^\infty f_k(x)$: Wenn f{\"u}r jede
       Funktion $f_k(x)$ ein Wert $M \geq 0$ angegeben werden
       kann, sodass
       \begin{gather*}
           |f_k(x)| \leq M_k \qquad \forall x \in \mathbb{R}
       \end{gather*}
       und $\sum_{n=0}^\infty M_k < \infty$, dann folgt daraus:
       Reihe $\sum_{n=0}^\infty f_k(x)$ konvergiert gleichm{\"a}ssig
       auf $I$.
       \begin{gather*}
           \mathcal{L} \{ f(t) \} = 2A \int_0^\infty
           \sum_{n=0}^\infty e^{-st}\cdot(-1)^n \cdot u(t - \frac{n\cdot
           T}{2})\operatorname{d} t - \frac{A}{s} = \blacksquare
       \end{gather*}
       $\int$ und $\sum$ sind wegen gleichm{\"a}ssiger Konvergenz
       vertauschbar.
       \begin{gather*}
           f_k(t) = e^{-st}\cdot (-1)^k \cdot u(t-\frac{k\cdot
           T}{2})\\
           |f_k(t)| = |\underbrace{e^{-st}}_{s > 0}|\cdot (-1)^k \cdot u(\underbrace{t-\frac{k\cdot
           T}{2}}_{\text{Sprungfunktion}}) \leq |e^{-s\cdot \frac{k\cdot
           T}{2}}|= e^{-s\cdot \frac{k\cdot T}{2}} = M_k\\
           t = \frac{K\cdot t}{2}, \qquad 0 \leq t < \frac{K\cdot
           T}{2}\,\, \Rightarrow u(t-\frac{K\cdot T}{2})=0\\
           \sum_{n=0}^\infty M_k = \sum_{n=0}^\infty
           {(e^{\frac{-st}{2}})}^k = \frac{1}{1 -
           e^{\frac{-st}{2}}}< \infty, s > 0 \, \surd
       \end{gather*}
       Fortsetzung von $\blacksquare$:
       \begin{gather*}
           2A \sum_{n=0}^\infty \int_0^\infty e^{-st}(-1)^k -
           u(t-\frac{kT}{2})\operatorname{d} t - \frac{A}{s} =\\
           2A \sum_{n=0}^\infty (-1)^k -
           \mathcal{L}\{u(t-\frac{kT}{2})\} - \frac{A}{s} =\\
           2A \sum_{n=0}^\infty (-1)^k - e^{-\frac{Ts}{2}} - \frac{1}{s} - \frac{A}{s} =\\
           \frac{2A}{s} \sum_{n=0}^\infty  e^{-\frac{Ts}{2}} - \frac{A}{s} = \frac{2A}{s} \frac{1}{1+e{-\frac{Ts}{2}}} - \frac{A}{s}\\
           \frac{A}{s} \cdot (\frac{2}{1+e{-\frac{Ts}{2}}} - 1) =
           \frac{A}{s} \cdot \frac{1-e{-\frac{Ts}{2}}}{1+e{-\frac{Ts}{2}}}
           = \frac{A}{s} \tanh (\frac{sT}{k})
       \end{gather*}
       \item \emph{Faltung}
           \begin{gather*}
               (f \ast g)(t) = \int_0^t f(\tau ) \cdot g(t-\tau)
               \operatorname{d}\tau \\
               \mathcal{L} \{(f \ast g)(t) \} = F(s) \cdot G(s)
           \end{gather*}
       \item \emph{Umkehrformel}
           Gegeben $F(s)$ - g{\"u}ltig falls $F(\delta)$ existiert
           \begin{gather*}
               \underbrace{\frac{f(t^+) + f(t^-)}{2}}_{=f(t) \text{ falls
               stetig}}= \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{+\infty}
               e^{(\delta + i\omega) \cdot t} \cdot F(\delta +
               i\omega) \operatorname{d}\omega
           \end{gather*}
   \end{itemize}
   \subsection{Anwendungen der $\mathcal{L}$-Transformation}
   \subsubsection{AWP f{\"u}r lineare DGL mit konst. Koeffizienten}
   Vorteil: Die Anfangswerte werden sofort eingesetzt.
   Vorgangsweise: DGL $\mathcal{L}$-transformieren - ergibt eine
   lineare Gleichung f{\"u}r $X(s)$ (=$\mathcal{L}$-transformierbar);
   danach L{\"o}sung der Gleichung und Rücktransformation
   ($\mathcal{L}^{-1}$) mit
   \begin{itemize}
       \item Rechenregeln
       \item Tabellen
   \end{itemize}
   \newpage
   Beispiel:
   \begin{gather*}
       \ddot{x}(t) + 4x(t) = \sin(\omega t), \qquad \omega > 0,
       \,\, x(0)=c_1, \dot{x}=c_2
   \end{gather*}
   $\mathcal{L}$-transformieren:
   \begin{gather*}
       \mathcal{L}\{x(t)\} := X(s)\\
       \mathcal{L}\{\ddot{x} + 4x \} = \mathcal{L}\{ \sin (\omega
       t)\}\\
       \mathcal{L}\{\underbrace{\ddot{x}}_{\square}\} + 4\mathcal{L}\{\underbrace{x}_{\blacksquare}\} = \mathcal{L}\{ \underbrace{\sin (\omega
       t)}_{\lozenge}\}\\
       \square \qquad s^2X(s) - s\underbrace{x(0)}_{c_1} -
       \underbrace{x(0)}_{c_2}\\
       \blacksquare \qquad 4X(s)\\
       \lozenge \qquad \frac{\omega}{\omega^2 + s^2}\\
       \square + \blacksquare = \lozenge\\
       X(s)(s^2 + 4) = \frac{\omega}{\omega^2 + s^2}\\
       X(s) = \frac{1}{s^2 + 4}[ \frac{\omega}{\omega^2 + s^2} + c_1s +
       c_2]=\\
       \frac{c_1s}{s^2+4} +
       \frac{\mathbf{2}c_2}{\mathbf{2(s^2+4)}}+\frac{\omega}{\omega^2 +
       s^2}\\
       x(t)=\mathcal{L}^{-1}\{X(s)\} = c_1\cos (2t) +
       \frac{c_2}{\mathbf{2}}\sin(2t) + \begin{cases}\frac{1}{2(\omega^2 -4)}(\omega\sin (2t) - 2\sin(\omega t)) & \omega \neq 2
       \\\frac{1}{8}(\sin (2t) - 2t\cos(2t)) & \omega = 2 \,\, \blacklozenge
       \end{cases}\\
       \blacklozenge \qquad \text{Resonanzfall, s. Vachenauer 2,
       S.72}
   \end{gather*}
   \subsubsection{AWP f{\"u}r lineare DGL mit nichtkonstanten Koeffizienten}
   I.A. liefert die $\mathcal{L}$-Transformation keine
   Erleichterung, in Spezialf{\"a}llen jedoch eine 'einfachere' DGL
   im Bildbereich.
   \newpage
   Beispiel:
   \begin{gather*}
       t\ddot{x} - x = 0
   \end{gather*}
   Ist eine DGL 2. Ordnung im Zeitbereich, $\mathcal{L}\{x(t)\}
   := X(s)$:
   \begin{gather*}
       \mathcal{L}\{t\ddot{x} - x\} = \mathcal{L}\{t\ddot{x}\} -
       \mathcal{L}\{x\} = -\frac{\operatorname{d}}{\operatorname{d} s}
       \mathcal{L}\{\ddot{x}\} - [sX(s) - x(0)]=\\
       -\frac{\operatorname{d}}{\operatorname{d} s} (s^2X(s) - sx(0) - x(0)) -
       sX(s) + x(0) = \\
       2sX(s) - s^2X'(s) + x(0) - sX(0) + x(0)
       =0\\
       -s^2X'(s) - 3sX(s) = -2x(0)\\
       x'(s) + \frac{3}{s}X(s) = \frac{2x(0)}{s^2}\\
       \text{DGL 1.Ordnung im Bildbereich}\\
       X(s)=\frac{x(0)}{s} + \frac{C}{s^3}, \qquad C \in
       \mathbb{R}\\
       x(t)=\mathcal{L}^{-1}\{X(s)\} = x(0) + \frac{c}{2}t^2

\end{gather*}

   \subsubsection{Elektrische Schaltungen (RCL-Schwingkreis)}
       Schaltelemente: Widerstand, Kondensator, Spule
       Spannung $u(t)=u_R(t) + u_C(t) + u_L(t)$ (Kirchhoff'sche
       Regel)

\begin{figure}[htbp]

   \centering
   \includegraphics[scale=0.5]{RCL.eps}
   \caption{RCL-Schwingkreis}
   \label{fig:gi}

\end{figure}

       Stromst{\"a}rke $i(t)$, $i(0)=0$
       $I(s) = \mathcal{L}\{i(t)\}$, $U(s) = \mathcal{L}\{u(t)\}$
       \begin{center}
       \begin{tabular}{|c|c|}
         \hline
         % after \\: \hline or \cline{col1-col2} \cline{col3-col4} ...
         Zeitbereich & Bildbereich \\
         \hline
         $u_R(t) = Ri(t)$ & $U_R(s) = RI(s)$ \\
         $u_C(t) = \frac{1}{C}\int_0^t i(\tau) \operatorname{d} \tau$ & $U_c(s) = \frac{1}{C} \cdot \frac{I(s)}{s} )0  \frac{1}{cs}I(s)$ \\
         $u_L(t) = Li(t)$ & $U_L(s) = LsI(s)$ \\
         \hline
       \end{tabular}
       \end{center}
       Im Bildbereich gilt das Ohmsche Gesetz:
       \begin{gather*}
           U(s) = H(s) \cdot I(s) \qquad \text{mit} \qquad H(s) =
           R + \frac{1}{cs} + Ls
       \end{gather*}
       Nach L{\"o}sung im Bildbereich R{\"u}cktransformation notwendig.
   \subsubsection{L{\"o}sen von Integralgleichungen}
       Integralgleichungen sind Funktionalgleichungen, in denen
       die gesuchte Funktion als Integrand in einem best.
       Integral vorkommt.
       Best. Integralgleichungstyp:
       \begin{gather*}
           y(t) + \int_0^t \kappa(\tau) y(t-\tau) \operatorname{d}\tau =
           f(t)\\
           f(t), g(t), \qquad \underbrace{(f \ast g)(t) = \int f(\tau) \cdot
           g(t-\tau) \operatorname{d} t}_{\text{Faltung}}
       \end{gather*}
       $\mathcal{L}$-Transformierte:
       \begin{gather*}
           Y(s) + \kappa(s) \cdot Y(s) = F(s) \qquad \Rightarrow
           \qquad Y(s) = \frac{F(s)}{1+\kappa(s)}
       \end{gather*}
       Voraussetzung: $y$,$\kappa$,$f$ m{\"u}ssen
       $\mathcal{L}$-transformierbar sein.
       Beispiel:
       \begin{gather*}
           y(t) + \int_0^t y(\tau) \sin(t-\tau) \operatorname{d}\tau =
           1\\
           Y(s) + \frac{1}{s^2 + 1}\cdot Y(s) = \frac{1}{s}\\
           Y(s) = \frac{1}{s(1+\frac{1}{s^2+1})} = \underbrace{\frac{s^2 +
           1}{s(s^2+s)}}_{\bigstar} \,\, \blacktriangleright\\
           \bigstar \qquad \text{Partialbruchzerlegung} \\
           \frac{s^2 + 1}{s(s^2+2)} = \frac{A}{s} + \frac{Bs +
           C}{s^2+2}\\
           s^2 + \mathbf{1} = A(s^2+2) + (Bs+C) = (A+B)s^2 + Cs +
           \mathbf{2A}\\
           1 = 2A \qquad \Rightarrow \qquad A = \frac{1}{2}\\
           0 = Cs \qquad \Rightarrow \qquad C = 0\\
           1 = A + B \qquad \Rightarrow \qquad B = \frac{1}{2}\\
           \blacktriangleright \qquad = \frac{1}{s} +
           \frac{s}{2(s^2+s)}\\
           y(t)=\mathcal{L}^{-1}(Y(t)) =
           \mathcal{L}^{-1}\{\frac{1}{2s}\} + \mathcal{L}^{-1}\{\frac{s}{2(s^2 +
           2)}\}=\mathbf{\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cos(\sqrt{2}t)}
       \end{gather*}
       \section{Randwertaufgaben, -probleme (RWA, RWP)}
       Definition: Treten in der Bestimmungsgleichung f{\"u}r die
       eindeutige Charakterisierung der L{\"o}sung einer DGL
       Auswertungen der gesuchten Funktion und deren Ableitungen
       nicht nur an einer Stelle (wie beim AWP), sondern an zwei
       Stellen $a \neq b$ auf, dann spricht man von einer \textbf{Randwertaufgabe
       (RWA)} bzw. von einem \textbf{Randwertproblem (RWP)}.
       Allgemeines Prinzip zur L{\"o}sung von RWA/RWP:
       \begin{itemize}
           \item Auffinden der allgemeinen L{\"o}sung der gegebenen
           DGL (mit Parametern $c_1, c_2, \dots, c_n$)
           \item Anpassen der Koeffizienten $c_1, c_2, \dots,
           c_n$ durch Einsetzen der Randbedingungen in die
           allgemeine L{\"o}sung
       \end{itemize}
       $\Rightarrow \qquad$ Gleichungssystem $c_1, c_2, \dots, c_n$
       Spezialfall: DGL ist linear und Randbedingungen sind auch
       Linear $\qquad \Rightarrow \qquad$ Lineares
       Gleichungssystem f{\"u}r $c_1, c_2, \dots, c_n$.
       Falls nichtlineare RWA/RWP, so ist das Problem i.A.
       wesentlich komplizierter.
       Beispiel: Biegebalken

\begin{figure}[htbp]

   \centering
   \includegraphics[scale=0.3]{Biegebalken_1.eps}
   \caption{Biegemoment und Biegesteifigkeit beim Biegebalken}
   \label{fig:gi}

\end{figure}

       $y(x)$ ist dabei die Auslenkung (Elongation) an der Stelle
       $x$.
       Die das Modell beschreibende DGL f{\"u}r $y(x)$ lautet
       (vereinfacht):
       \begin{gather*}
           y(x) = -\frac{M(x)}{E(x)} = -b(x)
       \end{gather*}
       Deren allgemeine L{\"o}sung ist:
       \begin{gather*}
           y(x) = c_1x + c_2 - \int_0^x\int_0^\xi b(\eta)d\eta d\xi
       \end{gather*}
       Betrachten RWA: Tr{\"a}ger fest aufliegend

\begin{figure}[htbp]

   \centering
   \includegraphics[scale=0.3]{Biegebalken_2.eps}
   \caption{Biegebalken: RWA-Träger fest aufliegend}
   \label{fig:gi}

\end{figure}

       Am Ende fest - daraus folgt: $y(0) = 0$, $y(l)=0$.
       Einsetzen der Randbedingungen:
       \begin{gather*}
           0 = y(0) = c_1 \cdot 0 - c_2 -
           \underbrace{y_p(0)}_{=0} \qquad \Rightarrow \qquad c_2
           = 0\\
           0 = y(l) = c_1 \cdot l + \underbrace{c_2}_{=0} -
           y_p(l) \qquad \Rightarrow \qquad c_1 = \frac{y_p(l)}{l}
       \end{gather*}
       $\Rightarrow \qquad$ egal wie $M(x)$, $E(x)$ gew{\"a}hlt
       werden - die RWA hat immer eine eindeutige L{\"o}sung.
       RWA: an Enden eingespannt

\begin{figure}[htbp]

   \centering
   \includegraphics[scale=0.3]{Biegebalken_3.eps}
   \caption{Biegebalken: RWA - Biegebalken an Enden eingespannt}
   \label{fig:gi}

\end{figure}

       Es gilt: $y'(0) = \varphi_1$, $y'(l) = \varphi_2$
       Allgemeine L{\"o}sung:
       \begin{gather*}
           y(x) = c_1x + c_2 - y_p(x)
       \end{gather*}
       Zwei Gleichungen ($I$,$II$):
       \begin{gather*}
           I: \qquad \varphi_1 = y(0) = c_1 -
           \underbrace{y_p'(0)}_{=0} = c_1\\
           II: \qquad \varphi_2 = y(l) = c_1 - y_p'(l) = c_1 -
           y_P'(l)\\
           y_p(x) = \int_0^x\int0^\xi
           b(\eta)\operatorname{d}\eta\operatorname{d}\xi\\
           y_p'(x) = \int_0^x b(\eta) \operatorname{d}\eta
       \end{gather*}
       Es sind zwei f{\"a}lle zu Unterscheiden: $c_1 = \varphi_1$,
       $c_1 = \varphi_2 + y_p'(l)$:
       \begin{enumerate}
           \item $\varphi_1 \neq \varphi_2 + y_p'(l)$ - keine L{\"o}sung
           \item $\varphi_1 = \varphi_2 + y_p'(l)$ - unendlich
           viele L{\"o}sungen weil $c_2$ frei w{\"a}hlbar.
       \end{enumerate}
       Daraus folgt: \textbf{Es kann keinen EE-Satz f{\"u}r RWA/RWP geben!}
       Vergleiche hierzu Lineare Gleichungssysteme: $n$
       Gleichungen f{\"u}r $n$ Unbekannte - $A\cdot\vec{x} = \vec{b}$
       \begin{itemize}
           \item $det \, A \neq 0$ - LGS mit Lsg. f{\"u}r jedes $\vec{b}$
           \item $det \, A = 0$ - LGS hat entweder unendlich
           viele L{\"o}sungen oder keine.
       \end{itemize}
       \subsection{Lineare RWA}
       Lineares DGL: $L[y] = y(x)^{n} + a_{n-1}\cdot y(x)^{n-1} +
       a_{n-2}\cdot y(x)^{n-2} + \dots + a_0\cdot y(x) = b(x)$.
       Lineare Randbedingungen: $n$ Gleichungen (Stelle $a$):
       \begin{gather*}
           \dot{x} = A(t) + b(t)\\
           Rx(a) + Sx(b) = R, \qquad \text{Rang}(R,S) = n
       \end{gather*}
       Klassifikation:
       \begin{itemize}
           \item inhomogene lineare RWA: $b(x) \neq 0 \wedge r
           \neq 0$
           \item vollhomogene lineare RWA: $b(x) = 0 \wedge r =
           0$
           \item halbhomogene lineare RWA: $b(x) = 0 \vee r = 0$
       \end{itemize}
       Bemerkung: Vollhomogene RWP besitzen immer die triviale
       L{\"o}sung $x(t)=0$.
       Das halbhomogene RWP muss i.A. keine L{\"o}sung haben.
       Jede L{\"o}sung $y(x)$ (soferne existent) des inhomogenen RWP l{\"a}sst sich wie
       folgt schreiben (nach dem Superpositionssatz):
       \begin{gather*}
           y(x) = y_h(x) + y_p(x)
       \end{gather*}
       Wobei $y_p(x)$ die spezielle L{\"o}sung des inhomogenen
       RWP ist ist; $y_h(x)$ eine L{\"o}sung des vollhomogenen RWP.
   \subsection{RWP - Alternativs{\"a}tze}
   Fall: halbhomogenes lineares RWP:
   \begin{itemize}
       \item homogene lineare DGL: $L[y] := y^{(n)}(x) +
       a_{n-1}y^{(n-1)}(x) + \dots + a_0y(x) = 0$
       \item inhomogene lineare Randbedingung: $R=\vec{y}(a) +
       S\vec{y}(b) = \vec{p}$
       \begin{gather*}
           \vec{y}(x)=\begin{pmatrix}
             y(x) \\
             y'(x) \\
             \vdots \\
             y^{(n-1)}(x) \\
           \end{pmatrix}
       \end{gather*}
   \end{itemize}
   Allg. Lsg. der homogenen linearen DGL ($\varphi_1,\dots,\varphi_n$ L{\"o}sungsbasis):
   \begin{gather*}
       y(x) + c_1\varphi_1(x) + c_2\varphi_2(x) + \dots +
       c_n\varphi_n(x)\\
       \vec{\varphi}_i(x) = \begin{pmatrix}
         \varphi_i(x) \\
         \varphi_i'(x) \\
         \vdots \\
         \varphi_i^{(n-1)}(x) \\
       \end{pmatrix}\\
       \Rightarrow \,\, R(c_1\vec{\varphi}_1(a) +
       c_2\vec{\varphi}_2(a)+ \dots + c_n\vec{\varphi}_n(a)) + \\S(c_1\vec{\varphi}_1(b) +
       c_2\vec{\varphi}_2(b)+ \dots + c_n\vec{\varphi}_n(b)) =
       \vec{p}\\
       = R \Phi(a) \vec{c} + S \Phi(b) \vec{c} = \vec{p} \qquad
       \text{wobei}\\
       \Phi(x) = (\vec{\varphi}_1(x) \, | \, \vec{\varphi}_2(x)
       \, | \, \dots \, | \, \vec{\varphi}_n(x)) = \begin{pmatrix}
         \varphi_1(x) & \varphi_2(x) & \cdots & \varphi_n(x) \\
         \varphi_1'(x) & \varphi_2'(x) & \cdots & \varphi_n'(x) \\
         \vdots & \vdots & & \vdots \\
         \varphi_1^{(n-1)}(x) & \varphi_2^{(n-1)}(x) & \cdots & \varphi_n^{(n-1)}(x) \\
       \end{pmatrix}\\
       \vec{c} = \begin{pmatrix}
         c_1 \\
         c_2 \\
         \vdots \\
         c_n \\
       \end{pmatrix}\\
       \Rightarrow \, \text{ LGS } \, \underbrace{[R\Phi(a) + S\Phi(b)]}_{\text{D}}\cdot
       \vec{c} = \vec{p} \qquad \mathbf{D \cdot \vec{c} = \vec{p}}
   \end{gather*}
   LGS ist mit $n$ Unbekannten $c_1, \dots, c_n$ und $n$
   Gleichungen sowie mit $n\times n$ Matrix $D$.
   \begin{itemize}
       \item $\operatorname{det} \, D \neq 0$ - LGS f{\"u}r alle
       $\vec{p}$ eindeutig l{\"o}sbar
       \item $\operatorname{det} \, D = 0$ - LGS hat entweder
       keine oder unendlich viele Lsg.
   \end{itemize}
   \textbf{Alternativsatz}: Gegeben sei ein halbhomogenes
   lineares RWP $L[y]=0$, $R\cdot\vec{y}(a) +
   S\cdot\vec{y}(b)=\vec{p}$.
   Seien $\varphi_1(x), \dots, \varphi_n(x)$ eine L{\"o}sungsbasis
   der zugeh{\"o}rigen homogenen DGL und sei $D:=R\cdot\Phi(a) +
   S\cdot\Phi(b)$, $\Phi$ definiert wie oben
   (=Fundamentalmatrix), dann gilt:
   \begin{enumerate}
       \item Ist $\operatorname{D} \neq 0$, dann besitzt das
       halbhomogene RWP eine eindeutige L{\"o}sung f{\"u}r alle
       $\vec{p}$.
       \item Ist $\operatorname{D} = 0$, dann besitzt das
       halbhomogene RWP genau dann eine eindeutige L{\"o}sung wenn $\operatorname{rg} \, D = \operatorname{rg}(D,\vec{p})$.
       \item Das entsprechende vollhomogene RWP, d.h. f{\"u}r
       $\vec{p}=\vec{0}$, besitzt genau dann nichttriviale Lsg.
       $y(x) \neq 0$, falls $\operatorname{det} \, D = 0$.
   \end{enumerate}
   Bemerkung zum inhomogenen RWP $L[y] = b(x), R\cdot\vec{y}(a) +
   S\cdot\vec{y}(b)=\vec{p}$: Allgemeine L{\"o}sung der zugeh{\"o}rigen
   inhomogenen DGL ist gegeben durch
   \begin{gather*}
       y(x) = c_1\cdot\varphi_1(x) + c_2\cdot\varphi_2(x) + \dots
       + c_n\cdot\varphi_n(x) + y_p(x)
   \end{gather*}
   $y_p(x)$ ist die Partikul{\"a}rl{\"o}sung.
   Anpassen an Randbedingungen liefert wiederum ein LGS der Gestalt
   \begin{gather*}
       D \cdot \vec{c}=\vec{q}\\
       D = R \cdot \Phi(a) + S \cdot \Phi(b)\\
       \vec{q} = \vec{p} - R\cdot \vec{y}_p(a) - S\cdot \vec{y}_p(b)
   \end{gather*}
   \textbf{Alternativsatz}: Entweder ist das inhomogene RWP f{\"u}r
   alle $b(x)$ und $\vec{p}$ eindeutig
   l{\"o}sbar (falls $\operatorname{det} \, D \neq 0$), oder das
   entsprechende vollhomogene RWP, d.h. $b(x) = 0 \, \, \wedge \,\,
   \vec{p}=\vec{0}$, besitzt nichttriviale L{\"o}sung (falls $\operatorname{det} \, D =
   0$).\\
   Beispiel: $y + \omega^2y = c$, $y(0)=p_1$, $y(\pi)=p_2$.
   Diese homogene DGL mit konstanten Koeffizienten beistzt die
   charakteristische Gleichung $\lambda^2 + \omega^2 = 0$ mit den
   L{\"o}sungen $\lambda=\pm i \cdot \omega$ (konjugiert komplex).
   Die allgemeine L{\"o}sung der zugeh{\"o}rigen homogenen DGl lautet
   somit:
   \begin{gather*}
       y_h(t) = c_1 \cdot \sin(\omega t) + c_2 \cdot \cos(\omega
       t)\\
       \underbrace{R=\begin{pmatrix}
         1 & 0 \\
         0 & 0 \\
       \end{pmatrix}}_{\text{linker Rand}}, \qquad
       \underbrace{S=\begin{pmatrix}
         0 & 0 \\
         1 & 0 \\
       \end{pmatrix}}_{\text{rechter Rand}}\\
       \underbrace{\begin{bmatrix}
         1 \cdot y(0) & + & 0 \\
         0 \cdot y(0) & + & 0 \\
       \end{bmatrix}}_{R}\begin{matrix}
         y'(0) + \\
         y'(0) + \\
       \end{matrix}
      \underbrace{\begin{bmatrix}
         0 \cdot y(\pi) & + & 0 \\
         1 \cdot y(\pi) & + & 0 \\
       \end{bmatrix}}_{S}\begin{matrix}
         y'(\pi) = p_1 \\
         y'(\pi) = p_2 \\
       \end{matrix}\\
       R\vec{y}(a) + S\vec{y}(b) = \vec{p}, \qquad \Phi(t) = \begin{pmatrix}
         \sin(\omega t) & \cos(\omega t) \\
         \omega\cos(\omega t) & -\omega\sin(\omega t) \\
       \end{pmatrix}
   \end{gather*}
   Berechnen nach Alternativsatz, betrachten
   \begin{gather*}
   D=R\Phi(0) + S\Phi(\pi)=\begin{bmatrix}
     1 & 0 \\
     0 & 0 \\
   \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
     0 & 1 \\
     \omega & 0 \\
   \end{bmatrix} + \begin{bmatrix}
     0 & 0 \\
     1 & 0 \\
   \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
         \sin(\omega t) & \cos(\omega t) \\
         \omega\cos(\omega t) & -\omega\sin(\omega t) \\
   \end{bmatrix} = \\ \begin{bmatrix}
     0 & 1 \\
     0 & 0 \\
   \end{bmatrix} + \begin{bmatrix}
     0 & 0 \\
     \sin(\omega \pi) & \cos(\omega \pi) \\
   \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
     0 &10 \\
     \sin(\omega \pi) & \cos(\omega \pi) \\
   \end{bmatrix}\\
   \operatorname{det} \, D = -\sin(\omega\pi)
   \end{gather*}
   Wann ist $\sin(\omega\pi)=0$? Wenn $\omega \in \mathbb{Z}$.
   Falls $\omega \not\in \mathbb{Z}$ besitzt das RWP f{\"u}r alle
   $p_1$ und $p_2$ eine eindeutige L{\"o}sung (da Determinante von
   $D$ nicht Null ist).
   Ist die Determinante 0 und $\omega \in \mathbb{Z}$, so gibt es
   entweder keine oder unendlich viele L{\"o}sungen.
   \begin{gather*}
   D\cdot\vec{c}=\vec{p} \\
   \begin{bmatrix}
     0 & 1 & | & p_1 \\
     \underbrace{\sin(\omega\pi)}_{=0} & \cos(\omega\pi) & | & p_2 \\
   \end{bmatrix} \triangleq
   \begin{bmatrix}
     0 & 1 & | & p_1 \\
     0 & \cos(\omega\pi) & | & p_2 \\
   \end{bmatrix} \triangleq
   \begin{bmatrix}
     0 & 1 & | & p_1 \\
     0 & 0 & | & p_2 - p_1 \cdot \cos(\omega\pi)\\
   \end{bmatrix}
   \end{gather*}
   Daraus folgt: $p_2 - p_1 \cdot \cos(\omega\pi) = 0$ hat
   unendlich viele L{\"o}sungen, $p_2 - p_1 \cdot \cos(\omega\pi)
   \neq 0$ hat keine L{\"o}sung.
   \subsection{L{\"o}sen von RWP mit Hilfe der Green-Funktion}
   Gegeben: halbhomogenes lineares RWP: $L[y] := y^{(n)}(x) +
   a_{n-1}y^{(n-1)}(x) + \dots + a_0y(x) = b(x)$,
   $R\cdot\vec{y}(a) + S\cdot\vec{y}(b) = \vec{0}$.
   \textbf{Satz {\"u}ber die Green-Funktion von RWP}: Seien
   $\varphi_1(x), \dots, \varphi_n(x)$ eine Basis des
   L{\"o}sungsraumes der zugeh{\"o}rigen homogenen DGL $L[y]=0$, gelte
   f{\"u}r das halbhomogene RWP, dass $\operatorname{det} \, D =
   \operatorname{det}(R\Phi(a) + S\Phi(b))\neq 0$. Dann existiert
   f{\"u}r jede St{\"o}rfunktion $b(x)$ eine eindeutige L{\"o}sung des RWP.
   Diese l{\"a}sst sich darstellen als
   \begin{gather*}
       y(x) = \int_a^b g(x,\omega) \cdot b(\omega) \, d\omega,
   \end{gather*}
   wobei die sog. Green-Funktion $g(x,\omega): [a,b] \times [a,b]
   \Rightarrow \mathbb{R}$ folgende Eigenschaften besitzt:
   \begin{itemize}
       \item $g(x,\omega)$ erf{\"u}llt f{\"u}r jedes feste $\omega$ in
       Bezug auf $x (x\neq \omega)$ die homogene DGL, d.h.
       $L[g(x,\omega)]=0$ f{\"u}r alle $x \neq \omega$.
       \item $g(x,\omega)$ erf{\"u}llt f{\"u}r jedes feste $\omega$, $a
       <\omega<b$ die homogene Randbedingung, d.h..
       \begin{gather*}
           R\vec{g}(a,\omega) + S\vec{b}(a,\omega) = \vec{0},
           \qquad \text{wobei}\\
           \vec{g}(x,\omega) =
           (g(x,\omega),g'(x,\omega),\dots,g^{(n-1)}(x,\omega))
           \qquad \text{und}\\
           g^{(k)}(x,\omega)=\frac{\operatorname{d}^k}{\operatorname{d} x^k}
           g(x,\omega)
       \end{gather*}
       \item Die Funktionen
       $g(x,\omega),g'(x,\omega),\dots,g^{(n-1)}(x,\omega)$ sind
       stetig auf $[a,b]\times[a,b]$. Die Funktion
       $g^{(n-1)}(x,\omega)$ existiert f{\"u}r $x\neq\omega$ und es
       gilt:
       \begin{gather*}
           g^{(n-1)}(x^+,x) - g^{(n-1)}(x^-,x)=1
       \end{gather*}
       ($x^+$ ist der rechtsseitige, $x^-$ der linksseitige
       Grenzwert)
   \end{itemize}
   $g(x,\omega)$ hei{\ss}t auch Einflussfunktion, weil sie den
   Einfluss der St{\"o}rfunktion $b(\omega)$ zur L{\"o}sung $y(x)$ im
   Punkt $x$ angibt.\\
   Bemerkung zum praktischen Rechnen:
   Erste Bedingung impliziert, dass $g(x,\omega)$ folgende
   Gestalt hat:
   \begin{gather*}
       g(x,\omega)=\begin{cases}c_1(\omega)\cdot\varphi_1(x) +
       c_2(\omega)\cdot\varphi_2(x)+ \dots +
       c_n(\omega)\cdot\varphi_n(x)& a \leq x \leq \omega \\d_1(\omega)\cdot\varphi_1(x) +
       d_2(\omega)\cdot\varphi_2(x)+ \dots +
       d_n(\omega)\cdot\varphi_n(x)&\omega < x \leq b \end{cases}
   \end{gather*}
   Beispiel: Biegebalken $y(x) = b(x)$, $0 \leq x \leq l$, RB:
   $y(0)=0$, $y(l)=0$.
   Die Determinante $D$ ist nicht Null, daher existiert
   eindeutige L{\"o}sung.
   Homogene DGL $y(x)=0$ - Allgemeine L{\"o}sung: $y(x)=cx+d$.
   Daraus folgt: $y'=c$.
   Ansatz Green-Funktion:
   \begin{gather*}
       g(x,\omega)=\begin{cases}\int c_1(\omega)x + c_2(\omega) &
       0 \leq x \leq \omega\\ \int d_1(\omega)x + d_2(\omega) &
       \omega < x \leq l\end{cases}
   \end{gather*}
   Randbedingungen m{\"u}ssen erf{\"u}llt sein, w{\"a}hle $\omega$: $0 <
   \omega \leq l$:
   \begin{itemize}
       \item RB $y(0) = 0$ - $x=0$ - $c_1(\omega)x +
       c_2(\omega)=0$ - $c_2(\omega)=0$
       \item RB $y(l) = 0$ - $x=l$ - $d_1(\omega)l + d_2(\omega)$
   \end{itemize}
   Bei Stetigkeit von $g$ w{\"a}hle $x=\omega$: Daraus folgt $c_1(\omega)\omega +
   c_2(\omega)= d_1(\omega)\omega + d_2(\omega)$. Die Differenz
   zwischen rechtsseitigem und linksseitigem Grenzwert ist 1,
   daraus folgt:
   \begin{gather*}
       g'(x,\omega)=\begin{cases}c_1(\omega), & 0 \leq x \leq
       \omega \\ d_1(\omega) & \omega < x \leq l\end{cases}
       \qquad d_1(\omega) - c_2(\omega)=1
   \end{gather*}
   $c_2(\omega)=0$ - daher ist $c_1(\omega)=d_1(\omega)-1$:
   \begin{gather*}
       \omega(d_1(\omega) - 1)=d_1(\omega)\omega - d_1(\omega)l\\
       d_1(\omega)(\omega-\omega+l)=\omega \qquad \Rightarrow
       \qquad d_1(\omega)=\frac{\omega}{l}
   \end{gather*}

\begin{figure}[htbp]

   \centering
   \includegraphics[scale=0.6]{vo8_biegebalken.eps}
   \caption{Green-Funktion}
   \label{fig:gi}

\end{figure}

   $c_1(\omega) = d_1(\omega) - 1 = \frac{\omega}{l} - 1 =
   \frac{\omega-l}{l}$.
   $d_2(\omega)=-ld_1(\omega)=-\omega$
   Somit gilt:
   \begin{gather*}
       g(x,\omega)=\begin{cases}\frac{\omega-l}{l}, & 0 \leq x \leq
       \omega \\ \frac{\omega}{l} & \omega < x \leq
       l\end{cases}\\
       y(x)=\int_0^l g(x,\omega)\cdot(-b(\omega)) \, d\omega
   \end{gather*}
   \section{Eigenwertprobleme}
   Spezielle Randwertprobleme, die von einem Parameter $\lambda$
   abh{\"a}ngen. Betrachte vollhomogenes lineares RWP. Die Existenz
   von nichttrivialer L{\"o}sung $y(x)=0$ h{\"a}ngt von der Wahl des
   Parameters $\lambda \in \mathbb{C}$ (oder $\lambda \in
   \mathbb{R}$) ab.
   \textbf{Definition}: Jeder Wert $\lambda$, f{\"u}r den das
   vollhomogene RWP nichttriviale L{\"o}sungen besitzt, hei{\ss}t
   Eigenwert. Die zugeh{\"o}rigen nichtrivialen L{\"o}sungen $y(x)$
   hei{\ss}en Eigenfunktionen zum Eigenwert $\lambda$.
   Anmerkung: Aus dem Alternativsatz folgt: $\operatorname{det}
   \, D = 0 \,\,\Leftrightarrow\,\, \lambda$ ist Eigenwert.\\
   Beispiel: 'Knickstab' - RWP: $y  \lambda y = 0$,
   $y(0)=0$,$y(l)=0$. Uns interessieren die reellen Eigenwerte
   $\lambda > 0$ (Stab bricht).
   Betrachte zun{\"a}chst $\lambda=0$. Die allgemeine L{\"o}sung der
   zugeh{\"o}rigen DGL ergibt sich aus $\alpha^2 + \lambda = 0$ mit
   $\alpha_{1,2}= \pm i \sqrt{\lambda}$.
   Die allgemeine L{\"o}sung ist somit:
   $y(x)=c_1\cos(\sqrt{\lambda}x) + c_2\sin(\sqrt{\lambda}x)$.
   \begin{gather*}
       \Phi(x)=\begin{bmatrix}
         \cos(\sqrt{\lambda}x) & \sin(\sqrt{\lambda}x) \\
         -\sqrt{\lambda}\sin(\sqrt{\lambda}x) & \sqrt{\lambda}\cos(\sqrt{\lambda}x) \\
       \end{bmatrix}\\
       D=R\Phi(0) + S\Phi(l) = \begin{bmatrix}
         1 & 0 \\
         0 & 0 \\
       \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
         1 & 0 \\
         0 & \sqrt{\lambda} \\
       \end{bmatrix} +  \begin{bmatrix}
         0 & 0 \\
         1 & 0 \\
       \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
         \cos(\sqrt{\lambda}x) & \sin(\sqrt{\lambda}x) \\
         -\sqrt{\lambda}\sin(\sqrt{\lambda}x) & \sqrt{\lambda}\cos(\sqrt{\lambda}x) \\
       \end{bmatrix}=\\
       \begin{bmatrix}
         1 & 0 \\
         0 & 0 \\
       \end{bmatrix} + \begin{bmatrix}
         0 & 0 \\
         \cos(\sqrt{\lambda}l) & \sin(\sqrt{\lambda}l) \\
       \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
         1 & 0 \\
         \cos(\sqrt{\lambda}l) & \sin(\sqrt{\lambda}l) \\
       \end{bmatrix}
   \end{gather*}
   $\operatorname{det} \, D = \sin(\sqrt{\lambda}l) = 0$ - d.h.
   $\sqrt{\lambda}=k\pi$, $k=1,2,3,\dots$.
   Es gibt unendlich viele Eigenwerte:
   $\lambda_k=(\frac{k\pi}{l})^2$.
   Eigenfunktion: $D \cdot \vec{c} = \vec{0}$:
   \begin{gather*}
       \begin{pmatrix}
         1 & 0 \\
         \cos(\sqrt{\lambda}l) & \sin(\sqrt{\lambda}l)\\
       \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}
         c_1 \\
         c_2 \\
       \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
         0 \\
         0 \\
       \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
         1 & 0 & | & 0\\
         \cos(\sqrt{\lambda}l) & 0& | & 0\\
       \end{pmatrix} \qquad \Rightarrow \qquad c_1=0
   \end{gather*}
   $c_2$ kann somit beliebig gew{\"a}hlt werden. Die zugeh{\"o}rige
   Eigenfunktion lautet somit:
   \begin{gather*}
       y_k=c_1\cdot\cos(\sqrt{\lambda}l) + c_2 \cdot
       \sin(\sqrt{\lambda}l)= \mathbf{c_2 \cdot
       \sin(\sqrt{\lambda}l)}

\end{gather*}

   \section{Fourier-Analysis - Fourier-Reihen}
   \subsection{Grundlagen - periodische Funktionen}
   Periodische Funktiom: $f(t): \mathbb{R} \mapsto \mathbb{C}$
   Periode $T: f(t+T)=f(t), \,\, \forall t \in \mathbb{R}$.
   Beispiel Rechtecksschwingung:

\begin{figure}[htbp]

   \centering
   \includegraphics[scale=0.4]{fourier_refunktion.eps}
   \caption{Rechtecksfunktion}
   \label{fig:gi}

\end{figure}

   Beispiel S{\"a}gezahnschwingung:

\begin{figure}[htbp]

   \centering
   \includegraphics[scale=0.4]{fourier_saegezahn.eps}
   \caption{Sägezahnschwingung}
   \label{fig:gi}

\end{figure}

   Wichtig ist die genaue Kenntnis des Verlaufs von Sinus und
   Cosinus (s.Abb.18,S.51).

\begin{figure}[htbp]

   \centering
   \includegraphics[scale=0.4]{sinus.eps}
   \includegraphics[scale=0.4]{cosinus.eps}
   \caption{Verläufe von Sinus und Cosinus}
   \label{fig:gi}

\end{figure}

   Idee: Wir wollen periodische Funktionen durch {\"U}berlagerung von
   $\sin$- und $\cos$-Funktion verschiedener Amplituden und
   Frequenzen darstellen.
   $f(t)$ ist eine $T$-periodische Funktion. Aus
   $\omega:=\frac{2\pi}{T}$ folgt:
   \begin{gather*}
       F(x) := f(\frac{x}{\omega}) \,\, \text{ist }\,
       2\pi\text{-periodische Funktion}
   \end{gather*}
   Nachweis:
   \begin{gather*}
       F(x+2\pi)=f(\frac{x+2\pi}{\omega}) = f(\frac{x}{\omega} +
       \frac{2\pi T}{2\pi})= f(\frac{x}{\omega}) = F(x)
   \end{gather*}
   \textbf{Trigonometrische Polynome}. Sinus-Cosinus-Term
   \begin{gather*}
       \frac{a_0}{2} + \sum_{N=1}^n a_n\cdot \cos(n \cdot \omega
       \cdot t) + \sum_{N=1}^n a_n\cdot \sin(n \cdot \omega
       \cdot t)
   \end{gather*}
   In der Exponentialform:
   \begin{gather*}
       \sum_{K=-N}^N c_K \cdot e^{i\cdot\omega\cdot k \cdot T}
   \end{gather*}
   $N$ ist dabei der Grad des trigonometrischen Polynoms.
   $\omega=\frac{2\pi}{T}$: Trigonometrische Polynome sind
   $T$-periodische Funktionen
   \begin{gather*}
       e^{i\cdot \varphi} = \cos \varphi + i\cdot \sin \varphi
   \end{gather*}
   Umrechnen zwischen beiden Formen:
   \begin{gather*}
       e^{i\cdot\omega\cdot k \cdot T} = \cos(\omega\cdot K \cdot
       T) + i\cdot\sin(\omega\cdot K \cdot T)\\
       \sum_{K=-N}^N c_K \cdot e^{i\cdot\omega\cdot k \cdot T} =
       \sum_{K=-N}^N c_k \cdot \cos(\omega\cdot K \cdot
       T) + \sum_{K=-N}^N i \cdot c_k \cdot\sin(\omega\cdot K \cdot
       T)=\\
       \sum_{K=1}^N c_k \cdot \cos(\omega\cdot K \cdot T) + c_0 + \sum_{K=1}^N c_k \cdot \cos(-\omega\cdot K \cdot
       T) + \sum_{K=1}^N i \cdot c_k \cdot\sin(\omega\cdot K \cdot
       T) + \\
       + i \cdot \sin(0) \cdot c_0 + \sum_{K=1}^N i \cdot c_k \cdot\sin(\omega\cdot K \cdot
       T)\\
       \Rightarrow \sum_{K=-N}^N c_K \cdot e^{i\cdot\omega\cdot k \cdot T}
       =\underbrace{c_0}_{\frac{a_0}{2}} + \sum_{K=1}^N \underbrace{(c_k +
       c_{-k})}_{a_k} \cdot \cos (\omega\cdot K \cdot
       T) + \sum_{K=1}^N \underbrace{(c_k -
       c_{-k})}_{b_k} \cdot i \cdot  \sin (\omega\cdot K \cdot
       T)
   \end{gather*}
   Beim \textbf{Koeffizientenvergleich} erfolgt die Umrechnung
   $c_0=\frac{a_0}{2}$, $c_n + c_{-n} = a_n, n \geq 1$, $c_n - c_{-n} = b_n, n \geq
   1$:
   \begin{gather*}
       a_n, b_n \text{ geg. } \, \, \Rightarrow \, \, c_k = \frac{a_k - i\cdot
       b_k}{2},\,\, c_{-k} = \frac{a_k + i\cdot
       b_k}{2}
   \end{gather*}
   Beispiel: Gegeben sind $\sin^3 t$, $\cos^3 t$. Gesucht sind
   trigonometrische Polynome, die diese darstellen.
   \begin{gather*}
       e^{i\cdot t} = \cos t +  i \cdot \sin t \,\, | \, x^3\\
       \cos 3 \cdot t + i \cdot \sin 3 \cdot t = (\cos t +  i \cdot \sin
       t)^3 = \cos^3 t + 3 \cdot \cos^2 t \cdot \sin t \cdot i -
       3 \cdot \cos t \cdot \sin^2t - i \cdot \sin^3 t\\
       \text{Re, Im:} \,\, \cos 3\cdot t = \cos^3 t - 3 \cdot
       \cos t \cdot \underbrace{\sin^3 t}_{1-\cos^2 t} \,\, \square\\
       \sin 3 \cdot t = \underbrace{3 \cdot \cos^2 t}_{1-\sin^2
       t} \cdot \sin t - \sin^3 t \Rightarrow \dots \\
       \square \,\, = \cos^3 t - 3 \cdot \cos t + 3 \cdot \cos^3
       t = 4 \cdot \cos^2 - 3 \cdot \cos t\\
       \Rightarrow \,\, \cos^3 t = \frac{\cos 3 \cdot t + 3 \cos
       t}{4}\,\, \text{trigonometr. Polynom von Grad 3}
   \end{gather*}
   \textbf{Frage}: Gegebene $T$-periodische Funktion $f(t)$. Wir
   setzen voraus: $f(t)$ l{\"a}sst sich durch trigonometrische
   Polynome vom Grad $N$ darstellen. Wie bestimmt man die Koeffizienten $a_n$,$b_n$ bzw. $c_k$?
   Antwort: Mit Hilfe der \textbf{Formeln von Euler-Fourier}, d.h.:
   \begin{gather*}
       \mathbf{a_n = \frac{2}{T} \cdot \int f(t) \cdot \cos (n \cdot \omega \cdot t) \, dt}\\
       \mathbf{b_n = \frac{2}{T} \cdot \int f(t) \cdot \sin (n \cdot \omega \cdot
       t)\, dt}\\
       \mathbf{c_k = \frac{1}{T} \cdot \int f(t) \cdot e^{-i \cdot k \cdot \omega \cdot
       t} \, \operatorname{d}t}
   \end{gather*}
   Beweisidee: Funktion $\{1\} \, \cup \, \{
   \cos(n\cdot\omega\cdot t), n=1,2,3,\dots\} \cup \sin(n\cdot\omega\cdot t),
   n=1,2,3,\dots\}$ bilden ein Orthonormalsystem bez{\"u}glich:
   \begin{gather*}
       (f(t),g(t)) \mapsto \int_0^T f(t) \cdot \overline{g(t)}
       \, dt\\
       \text{d.h.} \,\, \int_0^T \cos (n \cdot \omega \cdot t) \,
       dt\cdot \cos (m \cdot \omega \cdot t) \, dt, = 0 \qquad m \neq n\\
       \int_0^T \cos (n \cdot \omega \cdot t) \,
       dt\cdot \sin (m \cdot \omega \cdot t) \, dt = 0, \qquad
       \forall m,n\\
       \text{d.h.} \,\, \int_0^T \sin (n \cdot \omega \cdot t) \,
       dt\cdot \sin  (m \cdot \omega \cdot t) \, dt, = 0 \qquad m \neq n
   \end{gather*}
   Analog: Funktion $\{e^{i\cdot k \cdot \omega \cdot t}, k
   \in\mathbb{Z}\}$ bilden ein Orthonormalsystem, d.h.:
   \begin{gather*}
       \int e^{i\cdot k \cdot \omega \cdot t} \cdot e^{-i\cdot k \cdot \omega \cdot
       t}\, dt = \begin{cases} 0 & K \neq l\\ T & K = l\end{cases}
   \end{gather*}
   \textbf{Nachteil}: Trigonometrische Funktionen sind nicht immer
   differenzierbare Funktionen.
   \textbf{Definition trigonometrische Reihen}:
   \begin{gather*}
       \sum_{K=-\infty}^{+\infty} c_K \cdot e^{i \cdot K \cdot
       \omega \cdot T} := \lim_{N\rightarrow\infty}
       \sum_{K=1}^{+\infty}c_K \cdot e^{i \cdot K \cdot
       \omega \cdot T}\\
       \frac{a_0}{2} + \sum_{K=1}^{+\infty}a_n \cdot \cos (n\cdot
       \omega \cdot t) + \sum_{K=1}^{+\infty}b_n \cdot \sin (n\cdot
       \omega \cdot t)
   \end{gather*}
   Nachteil: Reihen m{\"u}ssen nicht notwendigerweise konvergieren.\\
   \textbf{Eigenschaften f{\"u}r $T$-periodische Funktionen $f(t)$}:
   \begin{itemize}
       \item St{\"u}ckweise stetig auf Intervall $I=[a,b]$

\begin{figure}[htbp]

   \centering
   \includegraphics[scale=0.3]{stueckwstetig.eps}
   \caption{St{\"u}ckweise stetige $T$-periodische Funktion}
   \label{fig:gi}

\end{figure}

       Stetig auf $[a,b]$ bis auf endlich viele Punkte
       $t_1,t_2,\dots,t_n$ z.B. der linksseitige und rechtsseitige
       Grenzwert $f(t^+)$ bzw. $f(t^-)$ existiert f{\"u}r $t_1,t_2,\dots,t_n$
       \item St{\"u}ckweise stetig differenzierbar auf $I=[a,b]$.
       Stetig differenzierbar (differenzierbar und Ableitung
       stetig) bis auf endlich viele Punkte $t_1,t_2,\dots,t_n$,
       f{\"u}r die aber die rechtsseitigen bzw. linksseitigen
       Grenzwerte $f(t^+)$, $f(t^-)$, $f'(t^+)$, $f'(t^-)$
       existieren.
   \end{itemize}
   \newpage
   \textbf{Definition}: Gegeben $T$-periodische Funktion $f(t)$,
   die st{\"u}ckweise stetig auf $[0,T]$ sein soll. Dann ist die
   Fourierreihe $S_f(t)$ von $f(t)$ definiert als
   trigonometrische Reihe
   \begin{gather*}
       S_f(t)=\sum_{K=-\infty}^{+\infty} c_K \cdot e^{i \cdot K \cdot
       \omega \cdot T}, \,\, S_f(t)=\frac{a_0}{2} +
       \sum_{K=1}^{+\infty}a_n \cdot \cos (n\cdot
       \omega \cdot t) + b_n \cdot \sin (n\cdot
       \omega \cdot t)
   \end{gather*}
   wobei die Koeffizienten $c_K$ bzw. $a_n$, $b_n$ {\"u}ber die
   Formeln von Euler-Fourier berechnet werden:
   \begin{gather*}
       \mathbf{a_n = \frac{2}{T} \cdot \int f(t) \cdot \cos (n \cdot \omega \cdot t) \, dt}\\
       \mathbf{b_n = \frac{2}{T} \cdot \int f(t) \cdot \sin (n \cdot \omega \cdot
       t)\, dt}\\
       \mathbf{c_k = \frac{1}{T} \cdot \int f(t) \cdot e^{-i \cdot k \cdot \omega \cdot
       t} \, \operatorname{d}t}
   \end{gather*}
   Beispiel Rechtecksschwingung:
   \begin{gather*}
       f(t)=\begin{cases} 1 & 0 \leq t \leq \pi\\ -1 & \pi < t <
       2pi\end{cases}\,\,\, f(t) \dots 2\pi\text{-periodisch
       fortges.}\\
       \omega = 1 \Rightarrow \omega = \frac{2\pi}{T}
   \end{gather*}

\begin{figure}[htbp]

   \centering
   \includegraphics[scale=0.4]{fourier-re.eps}
   \caption{Fourier-Reihe: Rechtecksschwingung}
   \label{fig:gi}

\end{figure}

   Gesucht: Fourier-Reihe von $f(t)$ - w{\"a}hle Sinus-Cosinus-Form:
   \begin{gather*}
       a_0 = \frac{1}{\pi} \cdot [\int_0^\pi 1 \, dt + \int_\pi^{2\pi}
       (-1) \, dt] = \frac{1}{\pi} \cdot [t|_0^\pi +
       (-t)|_\pi^{2\pi}] = \frac{1}{\pi} \cdot (\pi - 0 - 2\pi +
       \pi)=0\\
       n \geq 1: \qquad a_n=\frac{1}{\pi} \cdot [\int_0^\pi 1 \cdot \cos(n\cdot\omega \cdot t) \, dt - \int_\pi^{2\pi}
       (-1) \cdot \cos(n\cdot\omega \cdot t) \, dt] = \\\frac{1}{\pi} \cdot
       [\frac{\sin(n\cdot t)}{n}|_0^\pi - \frac{\sin(n\cdot
       t)}{n}|_\pi^{2\pi}]=\\
       \qquad \frac{1}{\pi} \cdot \underbrace{[\frac{\sin(n\cdot \pi)}{n} -
       \frac{\sin(0)}{n}- \frac{\sin(2 \cdot n\cdot \pi)}{n} + \frac{\sin(n\cdot
       \pi)}{n}]}_{0}=0\\
       b_n=\frac{1}{\pi} \cdot [\int_0^\pi 1 \cdot \sin(n\cdot\omega \cdot t) \, dt - \int_\pi^{2\pi}
       (-1) \cdot \sin(n\cdot\omega \cdot t) \, dt] = \\\frac{1}{\pi} \cdot
       [\frac{-\cos(n\cdot t)}{n}|_0^\pi + \frac{\cos(n\cdot
       t)}{n}|_\pi^{2\pi}]=\\
       \frac{1}{n\cdot\pi} \cdot [\underbrace{-\cos(n\cdot \pi)}_{\lozenge} + \underbrace{\cos(0)}_{1} + \cos(2\cdot \pi \cdot n) - \cos(n\cdot
       \pi)]= \dots\\
       \lozenge \qquad 1,n \,\text{gerade},\,\, -1,n
       \,\text{ungerade}\, \Rightarrow (-1)^n\\
       \dots=\frac{1}{n\cdot\pi} \cdot [1-2\cdot(-1)^n +
       \underbrace{(-1)^{2\cdot n}}_{1}] = \frac{2}{n\cdot\pi}
       [1-(-1)^n] = \begin{cases}0 & n \, \text{ gerade} \\ \frac{4}{n\cdot
       \pi}& n \, \text{ ungerade}\end{cases}
   \end{gather*}
   $\Rightarrow$ Fourier-Reihe von $f(t)$ lautet:
   \begin{gather*}
       S_f(t)=\frac{4}{\pi} \cdot (\frac{\sin(t)}{1} + \frac{\sin(3\cdot t)}{3} + \frac{\sin(5\cdot t)}{5} + \dots)
   \end{gather*}
   Als \textbf{Gibbssches Ph{\"a}nomen} oder 'Ringing' bezeichnet man das typische Verhalten von Fourierreihen in der Umgebung von Sprungsstellen. Entwickelt man eine Fourierreihe aus einer unstetigen Funktion, so ergeben sich an den
   Unstetigkeitsstellen typische {\"U}ber- und Unterschwinger, die sich auch
   dann nicht verringern, wenn man versucht, die Funktion noch besser zu approximieren. Dies liegt daran, dass die Reihe an der
   Unstetigkeitsstelle nicht mehr gleichm{\"a}{\ss}ig, sondern nur
   punktweise konvergiert.
   Die H{\"o}he des {\"U}berschwingers in einer Richtung l{\"a}sst sich bestimmen zu:
   \begin{gather*}
       \frac{1}{\pi}\int_0^\pi \frac{\sin t}{t}\, dt - \frac{1}{2} =
       0.089490\dots
   \end{gather*}
   womit sich ein prozentueller Fehler von 17,898\%, gerundet 18\%, der Sprungh{\"o}he ergibt.
   Der Effekt wurde nach seinem Entdecker, dem amerikanischen Physiker Josiah Willard Gibbs, benannt.

\begin{figure}[htbp]

   \centering
   \includegraphics[scale=0.4]{gibbspheno.eps}
   \caption{Gibb'sches Phänomen}
   \label{fig:gi}

\end{figure}

   \subsection{Rechenregeln f{\"u}r Fourier-Reihen}
   $f(t)$, $g(t)$
   st{\"u}ckweise stetige Funktionen:
   \begin{gather*}
       S_f(t)=\sum_{K=-\infty}^{+\infty} c_K \cdot e^{i \cdot K \cdot
       \omega \cdot T}, \,\, S_g(t)=\sum_{K=-\infty}^{+\infty} d_K \cdot e^{i \cdot K \cdot
       \omega \cdot T}
   \end{gather*}
   \begin{itemize}
       \item Linearit{\"a}t
       \begin{gather*}
           \alpha \cdot f(t) + \beta \cdot g(t) \,\,
           \text{besitzt Fourier-Reihe} \,\, \sum_{K=-\infty}^{+\infty} (\alpha \cdot c_K + \beta \cdot d_K) \cdot e^{i \cdot K \cdot
           \omega \cdot T}
       \end{gather*}
       \item Zeitumkehr, Konjugation
       \begin{gather*}
           f(-t) \curvearrowright \sum_{K=-\infty}^{+\infty} c_K \cdot e^{i \cdot K \cdot
           \omega \cdot T}, \,\, \overline{f(t)} \curvearrowright \sum_{K=-\infty}^{+\infty} \overline{c_K} \cdot e^{i \cdot K \cdot
           \omega \cdot T}
       \end{gather*}
       \item Streckung
       \begin{gather*}
           f(c\cdot t) \curvearrowright \sum_{K=-\infty}^{+\infty} c_K \cdot e^{i \cdot K \cdot
           c \cdot \omega \cdot T} \qquad c > 0\\
           f(c \cdot T) \dots \frac{T}{c}\,\,\text{-periodische
           Funktion}
       \end{gather*}
       \item Verschiebung im Zeitbereich
       \begin{gather*}
           f(t+a) \curvearrowright \sum_{K=-\infty}^{+\infty} (c_K \cdot e^{i \cdot a \cdot K \cdot
           \omega \cdot T}) \cdot e^{i \cdot K \cdot
           \omega \cdot T}
       \end{gather*}
       \item Verschiebung im Frequenzbereich
       \begin{gather*}
           e^{i \cdot K \cdot
           \omega \cdot T} \cdot f(t) \curvearrowright \sum_{K=-\infty}^{+\infty} c_{K-n} \cdot e^{i \cdot K \cdot
           \omega \cdot T}
       \end{gather*}
   \end{itemize}
   Beweise: {\"U}ber Definition des Euler-Fourier-Integrals.
   Satz: Betrachte $f(t)$, periodisch mit Periode $T$, stetig auf
   $\mathbb{R}$ und st{\"u}ckweise stetig differenzierbar. $f(t)$
   besitzt die Fourier-Reihe
   \begin{gather*}
       S_f(t)\sum_{K=-\infty}^{+\infty} c_K \cdot e^{i \cdot K \cdot
       \omega \cdot T}
   \end{gather*}
   $\Rightarrow$ Fourier-Reihe $S_{f'}(t) \curvearrowright f'(t)=
   \sum_{K=-\infty}^{+\infty} c_K \cdot i \cdot K \cdot \omega \cdot e^{i \cdot K \cdot \omega \cdot
   T}$.
   Satz: Betrachte periodisch mit Periode $T$, stetig auf
   $[0,T]$, $S_f(t)\sum_{K=-\infty}^{+\infty} c_K \cdot e^{i \cdot K \cdot
   \omega \cdot T}$. Fourier-Reihe der Stammfunktion:
   \begin{gather*}
       F(t)=\int_0^t f(\tau)\, d\tau
   \end{gather*}
   $F(t)$ i.A. nicht mehr periodisch, nur wenn
   \begin{gather*}
       \int_0^\tau f(t)\, dt = 0 \,\, \Leftrightarrow c_0 = 0
       \,\, \Rightarrow\\
       S_F(t) = -\frac{1}{T} \cdot \int:0^T f(t) \, dt +
       \sum_{K=-\infty, K\neq 0}^\infty \frac{c_K}{i\cdot K \cdot
       \omega} \cdot e^{i \cdot K \cdot \omega \cdot T}
   \end{gather*}
   \subsection{Wichtige S{\"a}tze zu Fourier-Reihen}
   Geg.: $f(t)$, $T$-periodisch $\sim S_f(t)$ -
   zusammengesetzt aus $g(t) \sim S_g(t)$,$h(t) \sim
   S_h(t)$.
   \begin{itemize}
       \item \textbf{Eindeutigkeitssatz}
           Gilt f{\"u}r zwei st{\"u}ckweise stetige Funktionen
           $g(t)$,$h(t)$ mit Periode $T$ die sog.
           Mittelwerteigenschaft
           \begin{gather*}
               \frac{f(t^+) + f(t^-)}{2}=f(t)
           \end{gather*}

\begin{figure}[htbp]

   \centering
   \includegraphics[scale=0.3]{10_FRb.eps}
   \caption{Mittelwerteigenschaft bei Fourier-Reihen}
   \label{fig:gi}

\end{figure}

           Falls nun $S_g(t) = S_h(t)$ so gilt $g(t)=h(t)$-
       \item \textbf{Darstellungssatz (f{\"u}r gleichm{\"a}ssige
       Konvergenz von $S_f(t)$)}
           Geg.: Stetige, $T$-periodische Funktion $f(t)$, deren
           Fourierreihe $S_f(t)$ gleichm{\"a}ssig auf $[0,T]$
           konvergiert.
           Dann gilt: $S_f(t)=f(t), \forall t \in \mathbb{R}$
       \item \textbf{Darstellungssatz (f{\"u}r st{\"u}ckweise
       differenzierbare Funktionen)}
           Geg,; $T$-periodische Funktion $f(t)$, st{\"u}ckweise
           stetig differenzierbar auf $[0,T]$. Dann gilt f{\"u}r die
           Fourier-Reihe $S_f(t)$:
           \begin{itemize}
               \item $S_f(t)$ konvergiert punktweise f{\"u}r alle $t
               \in \mathbb{R}$
               \item
               \begin{gather*}
                   \frac{f(t^+) + f(t^-)}{2}=f(t), \forall t \in \mathbb{R}
               \end{gather*}
               d.h. $S_f(t) = f(t)$, f{\"u}r alle stetigen Punkte $t
               \in \mathbb{R}$
               \item Falls $f(t)$ stetig auf Intervall $I=[a,b]$
               konvergiert $S_f(t)$ gleichm{\"a}ssig azf $I$
               \item An den Unstetigkeitsstellen von $f(t)$ tritt
               das Gibb'sche Ph{\"a}nomen auf
           \end{itemize}
       \end{itemize}
       \section{Diskrete Fourier-Transformation (DFT)}
       \subsection{Grundlagen}
       Geg.: Diskrete periodische Funktion $f(t)$, periodisch mit
       Periode $T$, wobei wir annehmen, dass in ein
       Periodenintervall genau $N$ Werte der Funktion fallen.
       Weitere Annahme: Werte der Funktion an {\"a}quidistanten
       St{\"u}tzstellen, d.h.:
       \begin{gather*}
           \underbrace{f(\overbrace{0}^{t_0})}_{f_{t_0}=y_0}, \underbrace{f(\overbrace{1\cdot \triangle
           t}^{t_1})}_{f_{t_1}=y_1}, \underbrace{f(\overbrace{2\cdot \triangle
           t}^{t_2})}_{f_{t_2}=y_2}, \dots, \underbrace{f(\overbrace{(N-1)\cdot \triangle
           t}^{t_{N-1}})}_{f_{t_{N-1}}=y_{N-1}}, \qquad
           \triangle t = \frac{T}{N}
       \end{gather*}

\begin{figure}[htbp]

   \centering
   \includegraphics[scale=0.3]{FRD-1.eps}
   \caption{Äquidistante Stützstellen}
   \label{fig:gi}

\end{figure}

       Diese diskrete periodische Funktion ist durch $N$ Werte
       $(y,y_1,\dots,y_{N-1})$ vollst{\"a}ndig charakterisiert.
       Def.: Gegeben sind $N$ Werte $(y,y_1,\dots,y_{N-1})$ der
       diskreten periodischen Funktion. Dann bezeichnen wir mit
       \begin{gather*}
           \mathbf{c_k := \frac{1}{N}\sum_{j=0}^{N-1}y_j \cdot e^{-\frac{2\pi i}{N}\cdot k \cdot j}, \qquad k=0,1,\dots N-1}
       \end{gather*}
       als \textbf{Spektralkoeffizienten} (oder
       Fourier-Koeffizienten) von$(y,y_1,\dots,y_{N-1})$
       \begin{gather*}
           c_k := \frac{1}{N}\sum_{j=0}^{N-1}\underbrace{y_j}_{f(t_j) =
           f(j\cdot \triangle t)} \cdot e^{-\frac{2\pi i}{N}\cdot k \cdot
           j} =
           \frac{1}{N \cdot \triangle t}\sum_{j=0}^{N-1}f(j \cdot \triangle
           t) \cdot e^{-\frac{2\pi i}{N \cdot \triangle t}\cdot k \cdot
           j \cdot \triangle t} \cdot \triangle t =\\
           \frac{1}{T}\sum_{j=0}^{N-1}f(t_j)  \cdot e^{-\frac{2\pi i}{T}\cdot k
           \triangle t_j} \cdot \triangle t =
           \frac{1}{T}\sum_{j=0}^{N-1}f(t_j)  \cdot e^{-i \cdot \omega \cdot k \cdot
           \triangle t_j} \cdot \triangle t
       \end{gather*}
       Betrachte Fourier-Reihe:
       \begin{gather*}
           \mathbf{c_k = \frac{1}{T} \int_0^T f(t) \cdot e^{-i\cdot \omega \cdot k \cdot t} \operatorname{d}t}
       \end{gather*}
       Notation: $N$ gegeben, $\omega$ erste von $1$-verschiedene
       $N$-te Einheitswurzel. Es gilt: $\omega^N = 1 = e^{2\pi
       i}$:

\begin{figure}[htbp]

   \centering
   \includegraphics[scale=0.3]{FRD-2.eps}
   \caption{$N$-te Einheitswuzel}
   \label{fig:gi}

\end{figure}

       Fourier-Matrix $F_N$: $N\times N$-Matrix
       \begin{gather*}
           F_N := \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & \cdots & 1 \\ 1 & \omega & \omega^2 & \cdots & \omega^{N-1} \\ 1 & \omega^2 & \omega^4 & \cdots & \omega^{2(N-1)} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 1 & \omega^{N-1} & \omega^{2(N-1)} & \cdots & \omega^{{(N-1)}^{2}} \\ \end{pmatrix}
       \end{gather*}
       Satz: Es gilt:
       \begin{gather*}
           F_N \cdot \overline{F_N} = \overline{F_N} \cdot F_N =
           N \cdot E_N
       \end{gather*}
       $E_N$ ist die Einheitsmatrix der Gr{\"o}sse $N\times N$:
       \begin{gather*}
           E_N=\begin{pmatrix}
             1 &  & \mathbf{0} \\
              & \ddots &  \\
             \mathbf{0} &  & 1 \\
           \end{pmatrix}
       \end{gather*}
       $\overline{F_N}$ ist die konjugierte Fourier-Matrix.
       $\overline{\omega^j} = \frac{1}{\omega^j} = \omega^{-j}$
       Betrachte $\vec{c}$ (Spektralkoeffizienten) und $\vec{y}$:
       \begin{gather*}
           \vec{c} = \begin{pmatrix}
             c_0 \\
             c_1 \\
             \vdots \\
             c_{N-1} \\
           \end{pmatrix}, \qquad
           \vec{y} = \begin{pmatrix}
             y_0 \\
             y_1 \\
             \vdots \\
             y_{N-1} \\
           \end{pmatrix}\\
           c_k=\frac{1}{N}\sum_{j=0}^{N-1} y_j \cdot
           \omega^{-k\cdot j} = \frac{1}{N}\sum_{j=0}^{N-1} y_j
           \cdot \overline{\omega^{kj}}, \qquad k=0,\dots,N-1\\
           \mathbf{\vec{c}=\frac{1}{N}\cdot \overline{F_N} \cdot
           \vec{y}}. \qquad N \cdot F_N \cdot \vec{c} = \underbrace{F_N \cdot
           \overline{F_N}}_{N\cdot E_N} \cdot \vec{y} = N \cdot
           E_N \cdot \vec{y} = N \cdot \vec{y}\\
           \Rightarrow \,\, \mathbf{F_N \cdot \vec{c}=\vec{y}}
       \end{gather*}
       Def.: Gegeben $\vec{y} = (y_0,y_1,\dots,y_{N-1})^T$. Dann
       wird durch DFT: $\mathbb{C}^N \rightarrow \mathbb{C}^N.
       \vec{y} \overbrace{\mapsto}^{\text{DFT}}
       \vec{c}=\frac{1}{N}\cdot \overline{F_N} \cdot \vec{y}$ eine
       umkehrbar eindeutige Abbildung beschrieben, die sog. \textbf{Diskrete
       Fourier-Transformation}.
       Die \textbf{Inverse Fourier-Transformation} ist gegeben
       durch: IDFT: $\mathbb{C}^N \rightarrow \mathbb{C}^N.
       \vec{y} \overbrace{\mapsto}^{\text{IDFT}}
       \vec{y} = F_N \cdot \vec{c}$
       $\vec{c} = (c_0,c_1,\dots,c_{N-1})^T$ ist der Vektor der
       Spektralkoeffizienten von $\vec{y}$.\\
       Beispiel: $\vec{y} = (1,0,1,0,1,0,\dots,1,0)^T$,
       Anmerkung: $N=2M$ gerade. Gesucht: $\vec{c} =
       (c_0,c_1,\dots,c_{N-1})^T$:
       \begin{gather*}
           c_k = \frac{1}{N} \sum_{j=0}^{N-1} y_j \cdot
           \omega^{-kj} = \frac{1}{N} \sum_{j=0}^{\frac{N}{2}-1}
           \underbrace{y_2j}_{=1}\cdot \omega^{-k\cdot 2\cdot j}=
           \frac{1}{N} \sum_{j=0}^{\frac{N}{2}-1}
           (\omega^{-k\cdot 2})^j\\
           \text{Betrachte } \sum_{j=0}^n q^j = \begin{cases}n +
           1, & q=1\\ \frac{q^{n+1} - 1}{q - 1}, &
           \text{sonst.}\end{cases}\\
           \omega^{-2k}=1, \qquad e^{\frac{2\pi i}{N}(-2k)}=1\\
           \omega^q = 1 \,\, \Leftrightarrow \,\, N|Q
           (\Leftrightarrow q = l\cdot N, \, l \in \mathbb{Z})\\
           \omega^{-2k} = 1 \,\, \Leftrightarrow \,
           \begin{cases}k = 0\\k= \frac{N}{2}\end{cases}\\
           \omega^{-2k} = 1 \, \Rightarrow \, c_k = \frac{1}{N}
           \sum_{j=0}^{\frac{N}{2}-1}(\omega^{-k\cdot
           2})^j =
           \frac{1}{N}  \sum_{j=0}^{\frac{N}{2}-1} 1 =
           \frac{1}{N}\cdot \frac{N}{2} = \frac{1}{2}, \qquad
           \forall k=0,k=\frac{N}{2}\\
           \omega^{-2k} \neq 1 \, \Rightarrow \, c_k = \frac{1}{N}
           \sum_{j=0}^{\frac{N}{2}-1}(\omega^{-k\cdot
           2})^j = \frac{1}{N} \cdot \frac{(\omega^{-2k})^{\frac{N}{2}}-1}{\underbrace{\omega^{-2k}-1}_{\neq 0 \,\, \surd}}\\
           \text{betrachte: } \omega^{-2k})^{\frac{N}{2}} =
           \omega^{-kN}=e^{\frac{2\pi i}{N}\cdot (-k\cdot N)} =
           e^{-2\pi i k} = 1\\
           = \frac{1}{N} \cdot \frac{1-1}{\omega^{-2k}-1} = 0, k
           \in \{0,\dots,N-1\} \backslash \{0,\frac{N}{2}\}
       \end{gather*}


   \subsection{Rechenregeln f{\"u}r DFT}
   $\operatorname{DFT}(\vec{y}=\vec{c}=(c_0,\dots,c_{N-1})^T$;
   f{\"u}r $\vec{y}=(y_0,\dots,y_{N-1})^T$. Periodische Funktion $(y_k)$, wobei $y_k=y_{k+N}$ f{\"u}r alle $k
   \in \mathbb{Z}$.
   \begin{itemize}
       \item Linearit{\"a}t
           \begin{gather*}
               \alpha\vec{y} + \beta\vec{z}
               \overbrace{\longrightarrow}^{\operatorname{DFT}}
               \alpha\vec{c}+ \beta \vec{d}, \qquad
               \vec{c}=\operatorname{DFT}(\vec{y}), \vec{f}=\operatorname{DFT}(\vec{z})
           \end{gather*}
       \item Verschiebung im Zeitbereich
           \begin{gather*}
               (y_{k+N})_{k \in \mathbb{Z}}
               \overbrace{\longrightarrow}^{\operatorname{DFT}}(\omega^{k\cdot
               n} \cdot c_k)_{k \in \mathbb{Z}}, \qquad \omega =
               e^{\frac{2\cdot\pi\cdot i}{N}}
           \end{gather*}
       \item Verschiebung im Frequenzbereich
           \begin{gather*}
               (y_{k} \cdot \omega^{k\cdot n} )_{k \in \mathbb{Z}}
               \overbrace{\longrightarrow}^{\operatorname{DFT}}(c_{k-n})_{k \in \mathbb{Z}}
           \end{gather*}
       \item Periodisches Faltungsprodukt
           \begin{gather*}
               \vec{y} \ast \vec{z} = (\frac{}{^N} \cdot
               \sum_{j=0}^{N-1} y_j \cdot z_{k-k})_{k \in
               \mathbb{Z}}\\
               \vec{y} \ast \vec{z}
               \overbrace{\longrightarrow}^{\operatorname{DFT}}
               (c_k \cdot d_k)_{k \in
               \mathbb{Z}}
           \end{gather*}
           Komplexitätsanalyse: Algorithmus mit $\mathcal{O}(N \log N)$, danach
           $\mathcal{O}(N)$.
   \end{itemize}
   \subsection{FFT-Algorithmus}
   Betrachten nur $\operatorname{IDFT}: \,\, \vec{c}
   \overbrace{\longrightarrow}^{\operatorname{IDFT}} \vec{y},
   \,\, y_j=\sum_{k=0}^{N-1} c_k \cdot \omega^{k\cdot j}$, mit $0
   \leq j \leq N-1$.
   Idee: 'Die Kosten', um alle Werte $(y_0, \dots, y_{N-1}$ zu
   berechnen ist i.A. viel geringer als das $N$-fache einer
   Berechnung von z.B. $y_j$.
   Betrachten den wichtigsten Fall, da{\ss} $N=2^r$, $r \in
   \mathbb{N}$. Idee ($k=2\cdot m$, gerade):
   \begin{gather*}
       y_j = \sum_{k=0}^{2^r-1} c_k \cdot e^{\frac{2\cdot r \cdot
       i}{2^r}\cdot k \cdot j} =  \sum_{m=0}^{2^r-1} c_{2\cdot m}
       \cdot e^{\frac{2\cdot r \cdot
       i}{2^{r}}\cdot 2\cdot m \cdot j} + \sum_{m=0}^{2^r-1} c_{2\cdot m + 1}
       \cdot e^{\frac{2\cdot r \cdot
       i}{2^{r}}\cdot (2\cdot m + 1) \cdot j} =\\
       \underbrace{\sum_{m=0}^{2^r-1} c_{2\cdot m}
       \cdot e^{\frac{2\cdot r \cdot
       i}{2^{r-1}}\cdot m \cdot j}}_{u(j)} + \underbrace{e^{\frac{2\cdot r \cdot i}{2^r}} \cdot j \cdot \sum_{m=0}^{2^r-1} c_{2\cdot m + 1}
       \cdot e^{\frac{2\cdot r \cdot
       i}{2^{r-1}}\cdot m \cdot j}}_{v(j)}
   \end{gather*}
   \begin{itemize}
       \item $u(j)$ ist Element der $\operatorname{IDFT}$ von
       den geraden Koeffizienten ($[c_0, c_2, \dots,c_{N-2}]$)
       \item $v(j)$ ist Element der $\operatorname{IDFT}$ von
       den ungeraden Koeffizienten ($[c_1, c_3, \dots,c_{N-1}]$)
   \end{itemize}
   Einziges Problem: $\operatorname{IDFT} [c_0, c_2,
   \dots,c_{N-2}]$ liefert nur $\frac{N}{2}$ Werte, analog $\operatorname{IDFT} [c_1, c_3,
   \dots,c_{N-1}]$; d.h. erhalte $y_j$ zun{\"a}chst f{\"u}r Werte $0 \leq
   j \leq 2^{r-1} - 1$.
   Problem ist leicht zu l{\"o}sen, weil $u(j)$ und $v(j)$ periodisch
   mit der Periode $\frac{N}{2}=2^{r-1}$ sind, d.h. (bitte nachrechnen!):
   \begin{itemize}
       \item $u(j + 2^{r-1}) = u(j)$
       \item $v(j + 2^{r-1}) = v(j)$
   \end{itemize}
   \textbf{Allgemeine FFT}: Um die diskrete Fouriertransformation durchzuf{\"u}hren, gen{\"u}gt es, den Vektor $ f$  mit der $ N \times N$ -Matrix $ F_N$  zu multiplizieren. Dies erfordert (neben den Additionen) $ N^2$  Multiplikationen, f{\"u}r gro{\ss}e $ N$  ein zu hoher Aufwand.

Die schnelle Fouriertransformation beruht darauf, dass man im Fall $ N = 2^d$ f{\"u}r ein $ d \in \mathbb{N}$ nur $ d \cdot N = N \cdot \log_2(N)$ Multiplikationen ben{\"o}tigt, wenn man gewisse Symmetrien ausnutzt. Dies machen wir uns am Beispiel $ d = 2$ klar. Dann ist

$\displaystyle \omega = \exp ( \frac{2 \pi i}{4} ) = \exp ( \frac{\pi}{2} i ) = i.$

Es ergibt sich f{\"u}r $ k = 0, \ldots, 3 $

$\displaystyle \hat{f}_k$ $\displaystyle =$ $\displaystyle f_0 + f_1 i^k + f_2 i^{2 k} + f_3 i^{3 k}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle f_0 + f_2 (i^2)^k + i^k ( f_1 + f_3 (i^2)^k ).$

Wir setzen $ g = ( f_0 , f_2 )^t$ und $ u = ( f_1 , f_3 )^t$ . Dann l{\"a}sst sich die Gleichung f{\"u}r $ \hat{f}_k$ umformen. F{\"u}r $ k \leq 1 = N/2 - 1$ gilt

$\displaystyle \hat{f}_{k, N} = \hat{g}_{k, N/2} + i^k \hat{u}_{k, N/2} .$

(Wir haben dabei durch den zus{\"a}tzlichen Index $ N$ bzw. $ N/2$ angedeutet, dass es sich um eine diskrete Fouriertransformation im $ \mathbb{C}^N$ bzw. $ \mathbb{C}^{N/2}$ handelt.) F{\"u}r $ k = 2$ bzw. $ 3$ sei $ k' = k$ mod $ N/2$ . Dann ist $ \hat{f}_{k, N} \, = \, \hat{g}_{k', N/2} + i^k \hat{u}_{k', N/2}$ . Wir haben also Fouriertransformationen in $ \mathbb{C}^{N/2}$ und eine anschlie{\ss}ende ``Zusammensetzung erhalten. Allgemein ergibt sich das folgende rekursive Schema:

$\displaystyle g (f)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle ( f_0 , f_2, f_4, \ldots, f_{N-2} ), u (f) = ( f_1, f_3 , \ldots, f_{N-1} )$

$\displaystyle \hat{f}_{k, N}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \widehat{g(f)}_{k \mbox{ \rm mod }N/2 , N/2} + \overline{\omega}^k \widehat{u(f)}_{k \mbox{ \rm mod }N/2, N/2} \quad \quad k = 0, \ldots , N-1.$

Die Rekursion kann man $ d = \log_2(N)$ mal aufrufen. Pseudocode s.Abb.25, S.63.

\begin{figure}[htbp]

   \centering
   \includegraphics[scale=0.6]{FFT-Pseudo.eps}
   \caption{FFT-Pseudocode}
   \label{fig:gi}

\end{figure}

\textbf{Komplexit{\"a}tsanalyse}:

$M(r)$ sei die Anzahl der komplexen Multiplikationen im FFT eines Vektors der L{\"a}nge $N=2^r$: \begin{gather*}

   M(r) = 2^r + 2\cdot M(r-1), \qquad r > 1\\
   M(0) = 0, \qquad \frac{M(r)}{2^r} = M(\frac{r-1}{2^{r-1}}) + 1
   = r - \underbrace{M(0)}{=0}\\
   M(r) = r \cdot 2^r = N \cdot \log_2 N = \mathcal{O}(N \cdot \log N)

\end{gather*}

\newpage

\subsection{Beispiele f{\"u}r Anwendung der DFT} \subsubsection[Approximation der Fourier-Koeffizienten]{Approximation der Fourier-Koeffizienten einer Fourier-Reihe} Betrachten $2r$-periodische Funktion $f(t)$.

Auswerten an den St{\"u}tzstellen $f(\frac{2\pi}{N}, j)$, $0 \leq j \leq N-1$: \begin{gather*}

   \Rightarrow \,\,\, (y_0, y_1, \dots, \underbrace{y_j}_{\frac{2r}{N}}, \dots, y_{N-1})=y

\end{gather*} Betrachte $\vec{c} = (c_0, \dots, c_{N-1}) = \operatorname{DFT}(y)$.

Betrachte $N$-periodische Fortsetzung ($c_k$).

Es gilt: $c_k$ f{\"u}r $-\frac{N}{2} \leq l \leq \frac{N}{2}$ sind eine gute Approximation f{\"u}r Fourier-Koeffizienten der Fourier-Reihe von $f(t)$.

\subsubsection{Trigonometrische Interpolation} Gegeben sind Werte $(y_0,y_1, \dots, y_{N-1})=\vec{y}$.

Gesucht ist ein trigonometrisches Polynom von kleinstem Grad \begin{gather*}

   \sum_{k=-n}^n c_k \cdot e^{i\cdot k \cdot t},

\end{gather*} sodass dieses an den St{\"u}tzstellen $\frac{2r}{N} \cdot j$ genau die Werte $y_j$ annimmt.

Falls $N$ ungerade ist, so ist das trigonometrische Polynom eindeutig bestimmt und es gilt dann $N=2n+1$.

Einsetzen der Werte an den St{\"u}tzstellen liefert $N$ Gleichungen: \begin{gather*}

   \mathbf{y_j = \sum_{k=-n}^n c_k \cdot \omega^{k \cdot j}, \qquad 0
   \leq j \leq 2n, \omega=e^{\frac{2\pi i}{N}}}\\
   y_j = \sum_{k=0}^{2n} c_{k-n} \cdot \omega^{(k-n) \cdot j} = \sum_{k=0}^{2n} c_{k-n} \cdot
   \omega^{kj}\cdot\omega^{-nj}\\
   \Rightarrow \omega^{nj} \cdot y_j = \sum_{k=0}^{2n} c_{k-n} \cdot
   \omega^{kj}, \qquad 0 \leq j \leq 2n = N - 2\\
   \Rightarrow (\omega^{nj} \cdot y_j)_{j \in \mathbb{Z}} =
   \operatorname{IDFT}(c_{k-n})\\
   \Rightarrow c_{k-n} = \operatorname{IDFT} ((\omega^{nj} \cdot y_j)_{j \in
   \mathbb{Z}})

\end{gather*} Liefert schlie{\ss}lich $(c_0. c_1, \dots, c_{n-1}, c_n, c_{n+1}, \dots, c_{2n}) = \operatorname{DFT}(y_0, y_1, \dots, y_{2n})$.

\section{Fourier($\mathcal{F}$-)-Transformation} \subsection{Grundlagen}

     Gegeben: Funktion $f(t)$, $f: \mathbb{R} \rightarrow
       \mathbb{R}$. Falls der Cauchy-Hauptwert
       \begin{gather*}
           \mathcal{F}\{f(t)\} := F(\omega) := \text{(CHW)}
           \int_{-\infty}^{+\infty} f(t) \cdot e^{-i \cdot \omega
           \cdot t}\operatorname{d}t
       \end{gather*}
       f{\"u}r alle $\omega \in \mathbb{R}$ existiert, dann hei{\ss}t
       $F(\omega)$ die Fourier-Transformierte oder
       \textbf{Spektral\-funktion} von $f(t)$. $f(t)$ liegt im
       Zeitbereich (= Originalbereich), $F(\omega)$ liegt im
       Frequenzebreich (= Bildbereich).
       Definition: Geg. ist eine Funktion $f(t)$. Der
       Cauchy-Hauptwert $\text{(CHW)} \int_{-\infty}^{+\infty} f(t)
       \operatorname{d}t$ ist folgendermassen definiert:
       \begin{gather*}
           \text{(CHW)} \int_{-\infty}^{+\infty}
           f(t)\operatorname{d}t= \lim_{N \rightarrow \infty}
           \int_{-N}^N f(t)\operatorname{d}t
       \end{gather*}
       Beispiel: $f(t)=\frac{t}{1+t^2}, \,\, \int_{-N}^N f(t)\operatorname{d}t = 0, \,\, \forall N$:

\begin{figure}[htbp]

   \centering
   \includegraphics[scale=0.3]{FRD-3.eps}
   \caption{Fourier-Transformation: $f(t)=\frac{t}{1+t^2}$}
   \label{fig:gi}

\end{figure}

       Anmerkung: Falls f{\"u}r die Funktion $f(t)$ das uneigentliche
       Riemann-Integral
       $\int_{-\infty}^\infty
       f(t)\operatorname{d}t$ existiert, dann existiert auch $\text{(CHW)} \int_{-\infty}^{+\infty} f(t)
       \operatorname{d}t$ und es gilt: $\text{(CHW)} \int_{-\infty}^{+\infty} f(t)
       \operatorname{d}t = \int_{-\infty}^{+\infty} f(t)
       \operatorname{d}t$

\begin{gather*}

   \mathbf{F(s)=\mathcal{F}\{f(t)\} =
   \operatorname{(CHW)}\int_{-\infty}^{+\infty} f(t) \cdot e^{-i
   \cdot \omega \cdot t} \operatorname{d}t}

\end{gather*} Beispiel Rechteckfunktion: \begin{gather*}

   \sqcap (t)=\begin{cases}0, & |t| < 1\\0, & |t|>1 \\ 1,
   & \text{sonst.}\end{cases}\\
   \mathcal{F} \{ \sqcap (t) \} = \int_{-\infty}^{+\infty} \sqcap (t) \cdot e^{-i
   \cdot \omega \cdot t} \operatorname{d}t= \int_{-1}^{1} 1 \cdot
   e^{-i \cdot \omega \cdot t} = \frac{e^{-i \cdot \omega \cdot t}}{-i \cdot
   \omega}= \frac{1}{-i\cdot\omega}(e^{-i\omega} -
   e^{i\omega})=\\
   \frac{1}{-i\cdot\omega}(\cos(-\omega) +
   i\sin(-\omega)-\cos(\omega) - i\sin(\omega)) = \frac{2\sin
   \omega}{\omega}\\ \omega \neq 0, \, (\omega = 0 \,
   \Rightarrow \, F(0)=2)

\end{gather*}

Beispiel Spaltfunktion: \begin{gather*}

   \mathrm{sinc}(x) = \mathrm{si}(x) := \begin{cases} \frac{\sin
   (x)}{x} & \mbox{falls } x \ne 0 \\ 1 & \mbox{falls } x = 0
   \end{cases}

\end{gather*} Die Spaltfunktion ist die Fouriertransformierte der Rechteckfunktion \begin{gather*}

   \mathrm{rect} \left(\frac{t}{\tau} \right) =\chi_{[-\tau/2,\tau/2]}(t) := \begin{cases}1 & |t|\le\tau/2 \\ 0 & \mathrm{sonst} \end{cases},

\end{gather*} denn es gilt \begin{gather*}

   \mathcal F(\chi_{[-\tau/2,\tau/2]})(\omega) = \frac1{\sqrt{2\pi}}\int \limits_{-\tau/2}^{\tau/2} e^{-\mathrm{i} \omega t}\, dt = \frac1{\sqrt{2\pi}}\,\tau \,\mathrm{sinc} \left( \frac{\omega \tau}{2} \right)

\end{gather*}

Wichtige Frage: Wann existiert die $\mathcal{F}$-Transformation der Funktion $f(t)$?

Definition: Eine Funktion $f(t)$ heisst \textbf{absolut integrierbar}, wenn sie in jedem endlichen Intervall st{\"u}ckweise stetig ist und wenn gilt: \begin{gather*}

   \int_{-\infty}^\infty |f(t)| \operatorname{d}t < \infty

\end{gather*}

Satz: Falls eine Funktion $f(t)$ absolut integrierbar ist, dann existiert die $\mathcal{F}$-transformierte $F(\omega)$ f{\"u}r alle $\omega \in \mathbb{R}$; $F(\omega)$ ist stetig und beschr{\"a}nkt.

       \textbf{Erg{\"a}nzungen zum Begriff '\emph{absolut integrierbar}':} Die Behauptung, dass bei einer absolut integrierbaren Funktion
   $f(t)$ gelte
   \begin{gather*}
       \lim_{t \rightarrow \infty} f(t)=0
   \end{gather*}
   ist i.A. falsch.
   Damit diese Behauptung gilt. m{\"u}ssen folgende Bedingungen
   erf{\"u}llt sein:\begin{enumerate}
       \item $f(t)$ absolut integrierbar
       \item $f(t)$ stetig
       \item $f'(t)$ absolut integrierbar
           \begin{gather*}
               \int_{-\infty}^\infty |f'(t)| \operatorname{d}t =
               c \, \, \Rightarrow \,\, \int_{-\infty}^\infty f'(t) \operatorname{d}t =
               \breve{c}
           \end{gather*}
       \item $f(t)$ st{\"u}ckweise stetig differenzierbar.
   \end{enumerate}
   Dan gilt: $\lim_{t \rightarrow \infty} f(t) = \lim_{t \rightarrow
   -\infty}f(t) = 0$.
   Allgemein gilt:
   \begin{gather*}
       |f(t)| = f'_+(t) + |f'_-(t)| \\
       lim_{t \rightarrow \infty} f(t) - lim_{t \rightarrow -\infty}
       f(t)= \breve{c}
   \end{gather*}

Weiters gilt die Plancherel-Gleichung (Energiegleichung). Der parsevalschen Gleichung f{\"u}r die Fourierreihe entspricht eine Identit{\"a}t der Fouriertransformation, die gemeinhin als Satz von Plancherel bezeichnet wird: \begin{gather*}

   \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty} |F(\omega)|^2 \operatorname{d}\omega = \int_{-\infty}^{\infty} |f(t))|^2
   \operatorname{d}t

\end{gather*}

Satz: \textbf{Fourier-Integraltheorem}: Ist die Funktion $f(t)$ absolut integrierbar und ist $f(t)$ auf jedem endlichen Intervall st{\"u}ckweise stetig differenzierbar, dann gilt: \begin{gather*}

   \frac{f(t)^+f(t)^-}{2} = \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}
   F(\omega)e^{i\omega t} \operatorname{d}\omega

\end{gather*}

Anmerkung: Falls $f(t)$ stetig ist gilt: \begin{gather*}

  f(t)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}
   F(\omega)e^{i\omega t}
   \operatorname{d}\omega=\mathcal{F}^{-1}(F(\omega)) =
   \frac{1}{2\pi}\mathcal{F}\{F(-\omega)\}

\end{gather*}

   \subsection{Umkehr- und Eindeutigkeitssatz}
   Gilz f{\"u}r eine Funktion $f(t)$
   \begin{itemize}
       \item $f(t)$ ist absolut integrierbar
       \item $f(t$ ist auf endlichen Intervallen st{\"u}ckweise
       stetig differenzierbar
       \item $f(t)$ ist Mittelwerteigenschaft $f(t)=\frac{f(t^+) + f(t^-)}{2}$
   \end{itemize}

\begin{figure}[htbp]

   \centering
   \includegraphics[scale=0.3]{mittelwerteigenschaft.eps}
   \caption{Mittelwerteigenschaft der Fourier-Transformation}
   \label{fig:gi}

\end{figure}

   Dann gilt, dass neben $f(t)$ auch $F(\omega) =
   \mathcal{F}\{f(t)\}$ $\mathcal{F}$-transformierbar ist, und es
   gilt:
   \begin{gather*}
       f(t)=\mathcal{F}^{-1} \{F(\omega)\} =
       \frac{1}{2\pi}\mathcal{F}\{F(-\omega)\}=\frac{1}{2\pi}
       \text{(CHW)} \int_{-\infty}^{\infty} e^{i\omega t} \cdot
       F(\omega) \operatorname{d}\omega
   \end{gather*}
   \subsection{Rechenregeln f{\"u}r die $\mathcal{F}$-Transformation}
   $f(t)$, $g(t)$ seien absolut integrierbare Funktionen;
   $F(\omega)$, $G(\omega)$ entsprechende Spektralfunktionen:
   \begin{itemize}
       \item Linearit{\"a}t:
           \begin{gather*}
               \mathcal{F}\{\alpha f(t) + \beta g(t)\}=
               \alpha\mathcal{F}\{f(t)\} +
               \beta\mathcal{F}\{g(t)\}= \alpha F(\omega) + \beta
               G(\omega)
           \end{gather*}
       \item Streckung:
           \begin{gather*}
               \mathcal{F}\{f(c\cdot t)\} =
               \frac{1}{|c|}F(\frac{\omega}{c}), \qquad c\neq 0
           \end{gather*}
       \item Verschiebung im Zeitbereich:
           \begin{gather*}
               \mathcal{F}\{f(t-a)\} = e^{-ia\omega}F(\omega),
               \qquad a \in \mathbb{R}
           \end{gather*}
       \item Verschiebung im Frequenzbereich:
           \begin{gather*}
               \mathcal{F}\{e^{i\Omega t}f(t)\} = F(\omega
               \Omega),
               \qquad \Omega \in \mathbb{R}
           \end{gather*}
       \item Differentiation im Zeitbereich:
           \begin{gather*}
               \mathcal{F}\{f'(t)\}=i\omega F(\omega)\\
               \text{Voraussetzung; } f(t) \text{ stetig,} f'(t) \mathcal{F}\text{-transformierbar}
           \end{gather*}
       \item Differentiation im Frequenzbereich:
           \begin{gather*}
               \mathcal{F}\{t \cdot f(t)\} = i \cdot F'(\omega)\\
               \text{Voraussetzung; } \,\, t \cdot f(t) \, \text{
               ist } \, \mathcal{F}\text{-transformierbar}
           \end{gather*}
       \item Faltungsprodukt $f(t) \, \ast \, g(t)$
           \begin{gather*}
               (f \, \ast \, g)(t) := \int_{-\infty}^\infty
               f(\tau)\cdot g(t-\tau) \operatorname{d}\tau
           \end{gather*}
       \item Faltung:
           \begin{gather*}
               \mathcal{F\{f \ast g\}}=F(\omega)\cdot G(\omega)
           \end{gather*}
       \item Konjugation:
           \begin{gather*}
               \mathcal{F}\{\overline{f(t)}\} =
               \mathcal{F}(-\omega)
           \end{gather*}
       \item Symmetrien:
           \begin{gather*}
               f(t) = f(-t) \qquad \Leftrightarrow \qquad
               F(\omega)=F(-\omega)\\
               f(t) = -f(-t) \qquad \Leftrightarrow \qquad
               -F(\omega)=F(-\omega)
           \end{gather*}
   \end{itemize}
   \subsection{Anwendung der $\mathcal{F}$-Transformation}
   \subsubsection{Hilfsmittel zum L{\"o}sen von DGL}
       Anmerkung: i.A: ist $\mathcal{L}$-Transformation
       vorzuziehen. Ein Beispiel von Bedeutung: L{\"o}sen bestimmter
       PDGen, z.B. W{\"a}rmeleitungsgleichungen, z.B.:
       \texttt{http://mo.mathematik.uni-stuttgart.de/kurse/kurs19/seite40.html}
   \subsubsection{L{\"o}sen von Integralgleichungen}
       Die im Gegensatz zur $\mathcal{L}$-Transformation andere Form des
       Faltungsproduktes erm{\"o}glicht die L{\"o}sung von Integralen vom
       Fredholm-Typ:
       \begin{gather*}
           \int_{-\infty}^\infty k(t-\tau)x(\tau)\operatorname{d}\tau -
           \lambda x(t) = f(t), \qquad t \in \mathbb{R}
       \end{gather*}
       Wenn alle Funktionen absolut integrierbar sind, lautet die
       Gleichung f{\"u}r die zugeh{\"o}rigen Spektralfunktionen:
       \begin{gather*}
           K(\omega)X(\omega) - \lambda X(\omega) = F(\omega)
       \end{gather*}
       Wenn $x(t)$ dem Umkehr und Eindeutigkeitssatz gen{\"u}gt, erh{\"a}lt man
       die L{\"o}sung $X(\omega)$ dieser Gleichung mit der inversen
       $\mathcal{F}$-Transformation als L{\"o}sung der Integralgleichung
       \begin{gather*}
           x(t)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^\infty
           \frac{F(\omega)}{K(\omega)-\lambda}e^{i\omega t}
           \operatorname{d}\omega
       \end{gather*}
   \subsubsection{Nachrichtentechnik}
       Betrachten idealen 'Tiefpassfilter':

\begin{figure}[htbp]

   \centering
   \includegraphics[scale=0.3]{ntr.eps}
   \caption{Tiefpassfilter}
   \label{fig:gi}

\end{figure}

       Wirkung eines Filters: F{\"u}r eine periodisches
       Eingangssignal wird nur die Amplitude des Signals
       ver{\"a}ndert, aber die Frequenz unver{\"a}ndert gelassen.
       Idealer Tiefpassfilter: Alle Frequenzen $|\omega|>\Omega$
       werden gesperrt, aber alle Frequenzen $|\omega| \leq
       \Omega$ werden unver{\"a}ndert durchgelassen,
       Betrachten Spektralbereich:
       \begin{gather*}
            F(\omega)=\mathcal{F}\{f(t)\}, \, G(\omega)=\mathcal{F}\{g(t)\}
       \end{gather*}
       Wirkung: $G(\omega) = H(\omega) \cdot F(\omega)$. Dabei
       ist $H(\omega)$ die {\"U}bertragungsfunktion f{\"u}r den idealen
       Tiefpassfilter;
       \begin{gather*}
           H(\omega) := \begin{cases}1, &|\omega| \leq
           \Omega\\0, & |\omega|>\Omega\end{cases}
       \end{gather*}
       Betrachte $h(t)=\mathcal{F}^{-1}\{H(\omega)\}$. Im
       Zeitbereich liefert dies:
       \begin{gather*}
           g(t) = g(t) \, \ast \, f(t)\\
           h(t)=\mathcal{F}^{-1}\{H(\omega)\} =
           \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^\infty e^{i\omega t}
           \cdot H(\omega) \operatorname{d}\omega = \\
           \frac{1}{2\pi}\int_{-\Omega}^\Omega 1 e^{i\omega t}
           \operatorname{d}\omega=\frac{1}{2\pi} \frac{e^{i\omega
           t}}{it}|_{-\Omega}^\Omega=\\
           \frac{1}{2\pi} \cdot \frac{e^{i\Omega t}-e^{-i\Omega
           t}}{it}=\frac{1}{2\pi i t}(i(\sin (\Omega t)+ \sin (\Omega
           t))=\\
           \frac{\sin (\Omega t)}{\pi t} = \frac{\Omega}{\pi}
           \cdot \frac{\sin (\Omega t)}{\Omega t} =\\
           \frac{\Omega}{\pi} \cdot \sin (\Omega t)
       \end{gather*}
       $\sin (\Omega t)$ ist die Spaltfunktion. Daraus folgt
       weiter:
       \begin{gather*}
           g(t) = \frac{\Omega}{\pi} \cdot \sin (\Omega t) \ast
           f(t)
       \end{gather*}
       \section{Partielle Differentialgleichungen (PDG)}
       Eine Gleichung der Form
       \begin{gather*}
           F(x_1, \dots, x_n, u, u_{x_1}, \dots, u_{x_n}, u_x,
           \dots, \frac{\operatorname{d}^m}{\operatorname{d}x_{1}^{m1}x_{1}^{m2}\dots
           x_{1}^{mm}}u) = 0
       \end{gather*}
       in der neben der unbekannten Funktion $u(x_1,\dots,x_n)$
       auch partielle Ableitungen vorkommen hei{\ss}t PDG.
       Ordnung der PDG; Die gr{\"o}{\ss}te $m := m_1 + \dots + m_n$ hei{\ss}t
       Ordnung der PDG,
       Definition: Eine Funktion $u: G \subseteq \mathbb{R}^n
       \rightarrow \mathbb{R}$ hei{\ss}t L{\"o}sung der DGL, wenn die
       $m$-ten Ableitungen von $n$ existieren und $u$ auf $G$ die
       obige DGL erf{\"u}llt.
       Anmerkung: Die L{\"o}sungen $u(x,y)$ einer PDG in 2 Variablen
       sind Fl{\"a}chen in $\mathbb{R}^3$. (L{\"o}sungsfl{\"a}chen,
       Integralfl{\"a}chen).
       \subsection{PDGen, die sich wie gew{\"o}hnliche DGLen
       behandeln lassen}
       Die einzige Schwierigkeit besteht darin, dass die Integrationskonstanten
       i.A. von allen {\"u}brigen Variablen abhängen.
       Beispiel: Gegeben $u(x,y)$:
       \begin{itemize}
           \item $u_{xx}=0 \, \Rightarrow \, u_x = c(y)$. Daraus
           folgt weiter nach $\int \operatorname{d}x$: $c(y)x +
           \operatorname{d}y$.
           Dabei ist $\operatorname{d}y$ eine beliebige,
           differenzierbare Funktion.
           \item $u_{xy}=0$. Daraus
           folgt weiter nach $\int \operatorname{d}y$:
           $u_{x}=\breve{c}(x)$. Daraus
           folgt weiter nach $\int \operatorname{d}x$: $c(x) +
           \operatorname{d}y$.
           Dabei ist $\breve{c}(x)$ eine beliebige Funktion.
       \end{itemize}
       \subsection{Lineare PDG 1. Ordnung mit Konstanten
       Koeffizienten}
       $2$ Variablen, $a, b \in \mathbb{R}$:
       \begin{gather*}
           au_x + bu_y = f(x,y)
       \end{gather*}
       Idee: geeignete Variablensubstitution, so dass gew{\"o}hnliche
       DGL entsteht:
       \begin{gather*}
           \xi = bx + ay, \qquad \eta = bx - ay\\
           x = \frac{\xi + \eta}{2b}, \qquad y = \frac{\xi -
           \eta}{2a}\\
           (x,y) \mapsto (\xi, \eta), \qquad U(\xi,\eta)=u(\frac{\xi + \eta}{2b}, \frac{\xi -
           \eta}{2a})=u(x,y),\\
           F(\xi, \eta) := f(\frac{\xi + \eta}{2b}, \frac{\xi -
           \eta}{2a})=f(x,y)
       \end{gather*}
       Nach Anwendung der Kettenregel ergibt sich:
       \begin{gather*}
           F(\xi, \eta) = au_x + bu_y = a(U_\xi \xi_x + U_\eta
           \eta_x) + b(U_\xi + \xi_y + U_\eta
           \eta_y)=\\
           a(U_\xi b + U_\eta b) + b(U_\xi a + U_\eta (-a)) =
           abU_\xi + abU_\eta + abU_\xi - abU_\eta = 2abU_\xi\\
           \Rightarrow U_\xi = \frac{1}{2ab} \cdot F(\xi, \eta)\\
           \Rightarrow U(\xi, \eta)=\frac{1}{2ab}\int F(\xi,
           \eta)\operatorname{d}\xi + G(\eta)\\
           \Rightarrow u(x,y)= \frac{1}{2ab}\int F(\xi, bx-ay)
           \operatorname{d}\xi+ G(\eta)\\
           \Rightarrow u(x,y)=
           \frac{1}{2ab}\int_{bx_0+ax_0}^{bx+ay} F(\xi, bx-ay)
           \operatorname{d}\xi+ G(\eta)
       \end{gather*}
       Beispiel:
       \begin{gather*}
           2u_x + 3u_y = e^{x+y} \\
           \xi = 3x + 2y, \qquad \eta = 3x-2y, \qquad x = \frac{\xi +
           \eta}{2}, \qquad y = \frac{\xi - \eta}{2}\\
           U_\xi= \frac{1}{12} F(\xi, \eta) = \frac{1}{12}e^{\frac{4 + \eta}{6} + \frac{\xi -
           \eta}{6}}= \frac{1}{12} e^{\frac{5}{12}\xi -
           \frac{1}{12}\eta}\\
           \Rightarrow U(\xi, \eta) = \frac{1}{12} \int e^{\frac{5}{12}\xi -
           \frac{1}{12}\eta} \operatorname{d}\xi +
           G(\eta)=\frac{1}{12}e^{-\frac{1}{12}\eta} \int
           e^{\frac{5}{12}\xi}\operatorname{d}\xi +
           G(\eta) =\\
           \frac{1}{12}e^{-\frac{1}{12}\eta}
           \frac{e^{\frac{5}{12}\xi}}{\frac{5}{12}}+ G(\eta) =
           \frac{1}{5}e^{\frac{5}{12}\xi - \frac{1}{12}\eta} + G(\eta)
           =\\
           \frac{1}{5}e^{x+y} + G(3x-2y)
       \end{gather*}
       $G$ ist eine beliebig differenzierbare Funktion.
       \subsection{Eindimensionale Schwingungsgleichung
       (Wellengleichung)}
       \begin{gather*}
           u_{tt} = c^2u_{xx} = f(x,t)
       \end{gather*}
       $u_{tt}$ ist Auslenkung (Elongation) der Saite zum
       Zeitpunkt $t$ an der Stelle $x$.
       $c^2$ ist die Ausbreitungsgeschwindigkeit.
       $f(x,t)$ bezeichnet den Einfluss der {\"a}usseren Kr{\"a}fte.\\
       Geeignete Substitution: $\xi = x - ct$, $\tau=x + ct$.
       Daraus folgt weiter: $x = \frac{\xi + \tau}{2}$, $t = \frac{\xi -
       \tau}{2}$:
       \begin{gather*}
           U(\xi,\tau)=u(\frac{\xi + \tau}{2}, \frac{\xi -
           \tau}{2})=u(x,t)\\
           F(\xi,\tau)=f(x,t)\\
           U_t = U_\xi \cdot \xi_t + U_\tau \cdot \tau_t=
           U_\xi(-x) + U_\tau c = -cU_\xi + cU_\tau\\
           u_{tt}=(-cU_\xi + cU_\tau) = - c(U_{\xi\xi}\xi_t +
           U_{\tau\xi}\tau_t)+c(c(U_{\tau\xi}\xi_t +
           U_{\tau\tau}\tau_t))=\\
           -c(U_{\xi\xi}(-c) + U_{\tau\xi}c) + (U_{\tau\xi}(-c) +
           U_{\tau\tau}c)= c^2(U_{\xi\xi} -
           2U_{\tau\xi}+U_{\tau\tau})\\
           U_x = U_\xi\xi_x + U_\tau\tau_x = U_\xi + U_\tau\\
           U_{xx}= U_{\xi\xi}\xi_x + U_{\tau\tau}\tau_x +
           U_{\tau\xi}\xi_x + U_{\tau\tau}\tau_x=U_{\xi\xi} +
           2U_{\tau\xi}+U_{\tau\tau}\\
           F(\xi,\eta) = u_{tt} - c^2u_{xx} = c^2(U_{\xi\xi} -
           2U_{\xi\tau} + U_{\tau\tau}) - c^2(U_{\xi\xi} + 2U_{\xi\tau} U
           I_{\tau\tau})= -4c^2U_{\xi\tau}\\
           \Rightarrow U_{\xi\tau}=-\frac{1}{4c^2}F(\xi,\tau)
       \end{gather*}
       Dies ist eine gew{\"o}hnliche DGL:
       \begin{gather*}
           \Rightarrow U(\xi,\tau)=-\frac{1}{4c^2} \int \int
           F(\xi,\tau) \operatorname{d}\xi\operatorname{d}\tau
       \end{gather*}
       Dies ergibt eine Partikul{\"a}rl{\"o}sung. Die allgemeine L{\"o}sung
       setzt sich aus der L{\"o}sung der zugeh{\"o}rigen homogenen DGL
       und einer Partikul{\"a}rl{\"o}sung zusammen (Summe).
       \begin{gather*}
           U_{\xi\tau} = 0 \Rightarrow \, \int
           \operatorname{d}\tau \, \Rightarrow U_\xi )
           \breve{\psi}(\xi)\\
           \Rightarrow \int \breve{\psi}\operatorname{d}\xi +
           \varphi(\tau)= U(\xi,\tau) = \varphi(\tau) +
           \psi(\xi)\\
           u(x,t) = \varphi(x+ct) + \psi(x-ct)
       \end{gather*}
       Das ist die L{\"o}sungsformel von d'Alembert ({\"U}berlagerung zweier
       gegenl{\"a}ufiger Wellen).
   \subsection{Lineare PDG 1. Ordnung}
   \begin{gather*}
       a_1(x_1,\dots,x_n)u_{x_1} + a_2(x_1,\dots,x_n)u_{x_2} +
       \dots +\\
       + a_n(x_1,\dots,x_n)u_{x_n} + c(x_1,\dots,x_n)u +
       d(x_1,\dots,x_n)= 0\\
       a_1(\vec{x})u_{x_1} + a_2(\vec{x})u_{x_2} + \dots +
       a_n(\vec{x})u_{x_n} + c(\vec{x})u + d(\vec{x})=0
   \end{gather*}
   F{\"u}r Funktion $u = u(x_1,\dots,x_n)$.
   Sonderfall: $c=d=0$ - 'Rumpf'-DGL:
   \begin{gather*}
       a_1(x_1,\dots,x_n)u_{x_1} + a_2(x_1,\dots,x_n)u_{x_2} + \dots
       + a_n(x_1,\dots,x_n)u_{x_n}=0
   \end{gather*}
   Betrachten in Systemen von linearen DGL 'gekoppelte' Gr{\"o}ssen
   $x_1(t), x_2(t), \dots, x_n(t)$, beschrieben durch ein System
   von DGL:
   \begin{gather*}
       \begin{matrix}
         x_1(t) = v_1(t,x_1,\dots,x_n) \\
         x_2(t) = v_2(t,x_2,\dots,x_n) \\
         \vdots \\
         x_n(t) = v_n(t,x_2,\dots,x_n) \\
       \end{matrix} \qquad \Rightarrow \,\,
       \dot{\vec{x}}(t)=\vec{v}(t,\vec{x})
   \end{gather*}
   \textbf{Existenz- und Eindeutigkeitssatz f{\"u}r Systeme:} Wenn
   das Vektorfeld $\vec{v}(t,\vec{x})$ f{\"u}r alle $a < t < b$ und
   f{\"u}r alle $\vec{x}$ im Gebiet $D \subseteq \mathbb{R}^2$ stetig
   partiell nach $x_1, \dots, x_n$ differenzierbar ist, dann
   besitzt das AWP
   \begin{gather*}
       \dot{\vec{c}}(t) = \vec{v}(t, \vec{x}), \qquad
       \dot{\vec{c}}(t_0) = \vec{x}_0
   \end{gather*}
   genau eine (maximale) L{\"o}sung.\\
   Betrachten autonomes DGL-System (h{\"a}ngt nicht von $t$ ab) und
   setzen voraus, dass $\vec{v}(\vec{x})$ stetigt nach $x_1,
   \dots, x_n$ partiell differenzierbar ist f{\"u}r $\vec{x} \in D$:
   \begin{gather*}
       \vec{x} = \vec{v}(\vec{x})
   \end{gather*}
   Nach dem EE-Satz gibt es f{\"u}r jedes $\vec{a} \in D$ eine
   L{\"o}sungskurve, die f{\"u}r $t=0$ durch $\vec{a}$ geht. 'Notation'
   \begin{gather*}
       \vec{x}(t) = \Phi(t,\vec{a})
   \end{gather*}
   Dabei ist $\Phi(t,\vec{a})$ die L{\"o}sungskurve.\\
   Definition: Eine Funktion $u: D \subseteq \mathbb{R}^n
   \rightarrow \mathbb{R}$ hei{\ss}t \textbf{erstes Integral
   (=Invariante)}des DGL-Systems
   $\dot{\vec{x}}=\vec{v}(\vec{x})$, falls
   $u(\vec{a})=u(\Phi(t,\vec{a}))$ f{\"u}r alle $\vec{a} \in D$, d.h.
   $u$ ist konstant entlang jeder L{\"o}sungskurve:

\begin{figure}[htbp]

   \centering
   \includegraphics[scale=0.3]{erstes_integral.eps}
   \caption{Erstes Integral}
   \label{fig:gi}

\end{figure}

   Beispiel: $\dot{x}=1, \dot{y}=1$, $x(0)=0, y(0)=0$. L{\"o}sen
   $x(t) = t + c$ und ergibt $c=0$ (wegen ($x(0)=0$) und daraus
   $x(t)=t$. Analog $y(t)=t$.
   \begin{gather*}
       \begin{pmatrix}
         x(t) \\
         y(t) \\
       \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
         t \\
         t \\
       \end{pmatrix}
   \end{gather*}

\begin{figure}[htbp]

   \centering
    \includegraphics[scale=0.3]{bsp_erstes_integral.eps}
   \caption{Erstes Integral $x(t)=t$}
   \label{fig:gi}

\end{figure}

   Behauptung: $y-x$ ist erstes Integral. $u(x(t), y(t)) = t-t =
   0$.
   Allgemein gilt:
   \begin{gather*}
       \begin{pmatrix}
         x(t) \\
         y(t) \\
       \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
         t \\
         t \\
       \end{pmatrix} + \begin{pmatrix}
         c \\
         d \\
       \end{pmatrix} = t + d - (t+c)= d - c = \text{const.}
   \end{gather*}
   'Methode' zum Finden eines m{\"o}glichst allgemeinen ersten
   Integrals:
   \begin{gather*}
       \text{System der Phasen-DGL} \, (n-1) \,\,
       \frac{\operatorname{d}x_1}{\operatorname{d}x_n}=
       \frac{v_1(\vec{x})}{v_n{\vec{x}}}, \dots,
       \frac{\operatorname{d}x_{n-1}}{\operatorname{d}x_n}=
       \frac{v_{n-1}(\vec{x})}{v_n{\vec{x}}}
   \end{gather*}
   Aus den ersten $n-1$ Gleichungen gewonnen:
   \begin{gather*}
       \dot{x}_1(t) = v_1(x_1, \dots, x_n)\\
       \dot{x}_2(t) = v_2(x_1, \dots, x_n)\\
       \vdots\\
       \dot{x}_n(t) = v_n(x_1, \dots, x_n)
   \end{gather*}
   Annahme: $v_n(x_1, \dots, x_n) \neq 0$. Nach dem Hauptsatz
   impliziter Funktionen l{\"o}sen wir $x_n$ nach $t$ auf, d.h.
   $t=x_n(t)$.
   Nun ersetzen wir $t$ {\"u}berall durch $x_n$ und erhalten:
   \begin{gather*}
       x_1(t) = x_1(x_n(t))=x_1\\
       \vdots\\
       x_{n-1}(t) = x_{n-1}(x_n(t))=x_{n-1}
   \end{gather*}
   Ergibt allgemeine L{\"o}sung mit frei w{\"a}hlbaren Parametern $c_1,
   \dots, c_{n-1}$:
   \begin{gather*}
        x_1(x_n)=g_1(x_n, c_1, \dots, c_{n-1})\\
        x_2(x_n)=g_2(x_n, c_1, \dots, c_{n-1})\\
        \vdots\\
        x_{n-1}(x_n)=g_{n-1}(x_n, c_1, \dots, c_{n-1})
   \end{gather*}
   Weiter gilt: Wir k{\"o}nnen nach $c_1,
   \dots, c_{n-1}$ aufl{\"o}sen:
   \begin{gather*}
       c_1 = \varphi_1(x_1(t), \dots,
       x_n(t))\\
       c_2 = \varphi_2(x_1(t), \dots,
       x_n(t))\\
       \vdots\\
       c_{n-1} = \varphi_{n-1}(x_1(t), \dots,
       x_n(t))
   \end{gather*}
   Es gilt: $\varphi_1(\vec{x}), \dots, \varphi_{n-1}(\vec{x})$
   sind unabh{\"a}ngige erste Integrale von $\dot{\vec{x}} =
   \vec{v}(\vec{x}(t))$.
   Allgemein gilt: $\varphi_1(\vec{x}), \dots,
   \varphi_{k}(\vec{x})$ sind erste Integrale - dann ist
   \begin{gather*}
   F(\varphi_1(\vec{x}), \dots,
   \varphi_{k}(\vec{x}))
   \end{gather*}
   erstes Integral f{\"u}r jede $k$-stellige, differenzierbare
   Funktion.
   Beispiel: $u(x,y)=y-x=\text{const.}$: Daraus folgt dass
   \begin{gather*}
   F(\varphi_1(\vec{x}), \dots,
   \varphi_{n-1}(\vec{x}))
   \end{gather*}
   i.A. ein erstes Integral von
   $\vec{x}(t)=\vec{v}(\vec{x}(t))$.\\
   Weiteres Beispiel: Gegeben sei die Rumpf-DGL
   \begin{gather*}
       a_1(\vec{x})u_{x_1} + a_2(\vec{x})u_{x_2} + \dots +
       a_n(\vec{x})u_{x_n}= 0
   \end{gather*}
   begr{\"u}ndet folgendes charakteristische DGL-System f{\"u}r eine
   Rumpf-DGL $\vec{a})(a_1, \dots, a_n)^T$:
   \begin{gather*}
       \dot{x}_1(t) = a_1(\vec{x})\\
       \dot{x}_2(t) = a_2(\vec{x})\\
       \vdots\\
       \dot{x}_n(t) = a_n(\vec{x})
   \end{gather*}
   Dieses System kann man k{\"u}rzer mit
   $\dot{\vec{x}}=\vec{a}(\vec{x})$ anschreiben.
   Es gilt folgender Satz: Sei $U \in G \subseteq \mathbb{R}^n
   \rightarrow \mathbb{R}$ eine stetige, nach $x_1, \dots, x_n$
   differenzierbare Funktion. Dann gilt, dass $u(x_1, \dots,
   x_n)$ ist eine L{\"o}sung der Rumpf-DGL und ist erstes Integral
   des charakteristischen DGL-Systems.
   Beispiel: $yu_x = xu_y$ - setzen $y=x$ und $x=y$ und erhalten
   nach $\dot{x}=y$ und $\dot{y}=x$ die trennbare Phasen-DGL:
   \begin{gather*}
       \frac{\operatorname{d}x}{\operatorname{d}t},
       \frac{\operatorname{d}y}{\operatorname{d}t}= x \qquad
       \Rightarrow \qquad
       \frac{\operatorname{d}x}{\operatorname{d}y}=\frac{y}{x} \qquad
       \Rightarrow \qquad x \operatorname{d}x =
       y\operatorname{d}y\\
       \Rightarrow \qquad \frac{x^2}{2}=\frac{y^2}{2} + c_1 \qquad
       \Rightarrow \qquad c_1 = \underbrace{\frac{x^2}{2} - \frac{y^2}{2}}_{\varphi(x,y)} =
       \text{const.}\\
       \Rightarrow \qquad \text{Allgemeines erstes Integral:}
       \qquad F(\varphi_1(x,y)) = F(\frac{x^2}{2} - \frac{y^2}{2})
   \end{gather*}
   Die allgemeine L{\"o}sung lautet: $u(x,y)=F(\frac{x^2}{2} -
   \frac{y^2}{2})$.
   Allgemein f{\"u}r $n-2$:
   \begin{gather*}
       a(x,y)u_x + b(x,y)u_y + cu + d = 0\\
       \text{Subst.} \,\, (x,y) \mapsto (\xi, \eta) =
       (\xi(x,y),\eta(x,y))\\
       u(x,y)= U(\xi,\eta), a(x,y)= A(\xi, \eta), b(x,y)= B(\xi,
       \eta)\\
       u_x = U_\xi\xi_x + U_\eta\eta_x\\
       u_y = U_\xi\xi_y + U_\eta\eta_y\\
       A(\xi,eta) (U_\xi\xi_x + U_\eta\eta_x) + B(\xi,eta)(U_\xi\xi_y +
       U_\eta\eta_y)+ c(\xi,\eta)U + D(\xi,eta)=0\\
       (\underbrace{A\xi_{x} + B\xi_{y}}_{\blacktriangledown})
       U_{\xi}
       + (A\eta_{x} + B\eta_{y})u_{\eta} + CU + D = 0
   \end{gather*}
   W{\"a}hlen in $\blacktriangledown$ $\xi$ so, dass $A\xi_x +
   B\xi_y=0$ (zugeh{\"o}rige Rumpf-DGL) - da dieser Term dann
   wegf{\"a}llt ensteht eine gew{\"o}hnliche DGL.
   $\eta$ kann beliebig gew{\"a}hlt werden in Hinblick auf:
   \begin{gather*}
       \begin{vmatrix}
         \xi_x & \xi_y \\
         \eta_x & \eta_y \\
       \end{vmatrix} \neq 0

\end{gather*}

\newpage

% Abbildungsverzeichnis ins Inhaltsverzeichnis: \addcontentsline{toc}{section}{\numberline{}Abbildungsverzeichnis} \listoffigures

\newpage \markright{LITERATURVERZEICHNIS} \addcontentsline{toc}{section}{\numberline{}Literaturverzeichnis} \section*{Literaturverzeichnis} Als Literatur zur Vorlesung wurde empfohlen: \textsc{Meyberg und Vachenauer}, \textit{H{\"o}here Mathematik 2}, 4. Auflage, Springer, Berlin 2001.\\[0.2cm]

Sehr hilfreich war für mich weiters folgendes Buch: \textsc{Erwin Kreyszig}. \textit{Advanced Engineering Mathematics}, 9. Auflage, Wiley \& Sons, 2005, ISBN: 978-0471728979







\end{document}