TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik UE (diverse)/Übungen WS11/Beispiel 60

Man überprüfe die Gleichung
$1^{2}+2^{2}+3^{2}+\cdots +n^{2}={\frac {n(n+1)(2n+1)}{6}}$, für alle n $\in \ \mathbb {N}$
für die ersten fünf natürlichen Zahlen und beweise sodann deren Gültigkeit für alle natürlichen Zahlen durch vollständige Induktion.

Lösung(svorschlag)

von --Christian.abila 14:19, 14. Sep. 2012 (CEST)

n = 1:
$1^{2}={\frac {1*(1+1)(2*1+1)}{6}}={\frac {6}{6}}=1$
n = 2:
$1^{2}+2^{2}={\frac {2*(2+1)(2*2+1)}{6}}={\frac {30}{6}}=5$
n = 3:
$1^{2}+2^{2}+3^{2}={\frac {3*(3+1)(2*3+1)}{6}}={\frac {84}{6}}=14$
n = 4:
$1^{2}+2^{2}+3^{2}+4^{2}={\frac {4*(4+1)(2*4+1)}{6}}={\frac {180}{6}}=30$
n = 5:
$1^{2}+2^{2}+3^{2}+4^{2}+5^{2}={\frac {5*(5+1)(2*5+1)}{6}}={\frac {330}{6}}=55$

Induktionsvoraussetzung:
$\sum _{m=1}^{n}m^{2}={\frac {n(n+1)(2n+1)}{6}}$

Induktionsanfang n = 1 (siehe oben)

Induktionsschritt P(n+1):
${\begin{aligned}\sum _{m=1}^{n+1}m^{2}&=(\sum _{m=1}^{n}m^{2})+(n+1)^{2}={\frac {n(n+1)(2n+1)}{6}}+(n+1)^{2}=\\&={\frac {n(n+1)(2n+1)+6(n+1)^{2}}{6}}={\frac {(n+1)(n(2n+1)+6(n+1))}{6}}={\frac {(n+1)(2n^{2}+n+6n+6)}{6}}&={\frac {(n+1)(2n^{2}+7n+6)}{6}}\end{aligned}}{\frac {(n+1)(n+2)(2n+3)}{6}}$