TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2023W/Beispiel 75

Beweisen Sie mit Hilfe von Kongruenzen, dass die Summe zweier ungerader Quadratzahlen keine Quadratzahl sein kann.

Dieses Beispiel ist als solved markiert. Ist dies falsch oder ungenau? Aktualisiere den Lösungsstatus (Details: Vorlage:Beispiel)

Hilfreiches

Die Teilung von geraden Quadratzahlen durch 4 ergibt 0 Rest. Beweis: Eine gerade Zahl kann man als 2k darstellen. Diese quadriert (2k)² ergibt 4k². Sprich ein Vielfaches von 4. Daraus folgt 0 Rest.

Die Teilung von ungeraden Quadratzahlen durch 4 ergibt 1 Rest. Beweis: Eine ungerade Zahl kann man als 2k + 1 darstellen. Diese quadriert (2k + 1)² ergibt 4k² +4k + 1. Sprich ein Vielfaches von 4 plus 1. Daraus folgt 1 Rest.

Lösungsvorschlag von Marco Z.

m ist jede beliebige ungerade Zahl, n ist jede beliebige gerade Zahl, k ist ein Faktor

m=2·k+1

m² = (2·k+1)² = 4·k²+2·2·k+1 = 4·(k²+k)+1

⇒ 4|k²+k das bedeutet das der erste Summand durch 4 teilbar ist, der zweite Summand allerdings zu 1 mod 4 führt. Jede ungerade Zahl ² besitzt also 1 mod 4

Summieren wir nun zwei ungerade Quadratzahlen so erhalten wir:

1 mod 4 + 1 mod 4 = 2 modulo 4

Gerade Zahlen haben allerdings

m=2·k

m² = (2·k)² = 4·k²

⇒ 4|k² Jede gerade Zahl ² besitzt also 0 mod 4

2 mod 4 ≠ 0 mod 4 ≠ 1 mod 4

Weiterer Lösungsvorschlag

Der obenstehende Lösungsansatz wurde adaptiert, um treffender zu sein

m ist jede beliebige ungerade Zahl, n ist jede beliebige gerade Zahl, k ist ein Faktor

m=2·k+1

m² = (2·k+1)² = 4·k²+2·2·k+1 = 4·(k²+k)+1

⇒ 4|k²+k das bedeutet das der erste Summand durch 4 teilbar ist, der zweite Summand allerdings zu 1 mod 4 führt. Jede ungerade Zahl ² besitzt also 1 mod 4

Summieren wir nun zwei ungerade Quadratzahlen so erhalten wir:

1 mod 4 + 1 mod 4 = 2 modulo 4.

Die Summe zweier ungerader Quadratzahlen liegt also in Restklasse 2 mod 4.

Jetzt muss man nur noch zeigen, dass eine Quadratzahl nicht in Restklasse zwei liegen kann.

4 besitzt 4 Restklassen, nämlich {0, 1, 2, 3}. Eine Quadratzahl x ² kann man auch als x * x anschreiben.

Diese Multiplikation kann man nun mit den jeweiligen Restklassen von 4 durchführen

• 0 * 0 = 0 mod 4
• 1 * 1 = 1 mod 4
• 2 * 2 = 0 mod 4
• 3 * 3 = 1 mod 4

Eine Quadratzahl kann also nicht in Restklasse 2 mod 4 liegen => Widerspruch