TU Wien:Mathematik 1 VO (Drmota)/Prüfung 2004-03-19 ausgearbeitet

Drmota Prüfung vom 19.03.2004

Praxis

Beispiel 1.

Man erläutere das Prinzip der vollständigen Induktion anhand des folgenden Beispiels:

cos(x) cos(2x) cos(4x) ... cos(2^(n-1) x) = (sin(s^n x)) / (2^n sin(x))

für alle n aus |N+, x aus |R, x != k*pi Alle Schritte des Induktionsbeweises sind genau anzugeben! (Hinweis: verwenden Sie die Identität: sin(2x) = 2 sinx cosx )

Lösung hier gefunden wenn es im Rechten Teil statt s^n 2^n heißt: f.post:443285

Beispiel 2.

Bestimmen Sie det($A^{3}$) für

$A={\begin{pmatrix}1&4&1&2\\3&12&2&2\\1&4&7&-3\\1&2&3&8\end{pmatrix}}$

Bestimmen Sie weiters, ob die Matrix A invertierbar ist und bestimmen Sie ggf. det(A^(-1)).

Lösungsvorschlag

$detA=1*{\begin{vmatrix}12&2&2\\4&7&-3\\2&3&8\end{vmatrix}}-3*{\begin{vmatrix}4&1&2\\4&7&-3\\2&3&8\end{vmatrix}}+1*{\begin{vmatrix}4&1&2\\12&2&2\\2&3&8\end{vmatrix}}-1*{\begin{vmatrix}4&1&2\\12&2&2\\4&7&-3\end{vmatrix}}=$

$=1*700-3*218+1*12-1*116=-58$

det(A) = -58

$det(A^{3})=(-58)^{3}=-195112$

$det(A^{-}1)=det(A)^{-}1=(-58)^{-}1=-0,017241...$

keine Garantie das die Lösung stimmt - Kommentare erwünscht

habe das gleiche rausbekommen, sollte stimmen hofemich

Anderer Vorschlag: det(A)= -58 ==> Matrix ist invertierbar ==> invertieren und nochmal det(A^-1) ausrechnen. bei det(A^3) ist hoffentlich nicht gemeint: det(B), B=A*A*A

Beispiel 3.

Bestimmen Sie alle Lösungen über |R von

x - y + z + u = -2

2x + y - 2z + u = 2

7x + 5y - 9z + 3u + v = 10

mit dem Gaußschen Eliminationsverfahren.

Lösungsversuch x y z u v

1 -1 1 1 0 | -2

2 1 -2 1 0 | 2

7 5 -9 3 1 | 10

---

1 -1 1 1 0 | -2

0 3 -4 -1 0 | 6 = Z2 -2*Z1

0 12 -16 -4 1 | 24 = Z3 -7*Z1

---

1 -1 1 1 0 | -2

0 3 -4 -1 0 | 6

0 0 0 0 1 | 0 --> v = 0

da v = 0 lasse ich die v-Spalte weg

1 -1 1 1 | -2

0 3 -4 -1 | 6

---

1 0 -1/3 2/3 | 0 = Z1 - 1/3*Z2

0 1 -4/3 -1/3 | 2 = Z2*1/3

---

nun ist ersichtlich, das unser LGS unendlich viele Lösungen hat.

jetzt wird versucht die Lösung mit Parameterdarstellung anzugeben.

1. Schritt es wird angenommen, dass z = u = 0

dadurch haben wir für: x = 0, y = 2

${\begin{pmatrix}0\\2\\0\\0\\0\end{pmatrix}}$

2. Schritt jetzt wird versucht z und u durch die Parameter t1 und t2 zu ersetzen

x - u/3 + 2v/3 = 0 --> x = u/3 - 2v/3

y -4u/3 - v/3 = 2 --> y = 2 + 4u/3 + v/3

-->

${\begin{pmatrix}0\\2\\0\\0\\0\end{pmatrix}}+t_{1}*{\begin{pmatrix}1/3\\4/3\\1\\0\\0\end{pmatrix}}+t_{2}*{\begin{pmatrix}-2/3\\1/3\\0\\1\\0\end{pmatrix}}$

Wiederum nur ein Vorschlag - Kommentare erwünscht

Beispiel 4.

Untersuchen Sie folgende Reihen auf Konvergenz:

a) unendl. b) unendl.

     ----                               ----
     \       n - 1                      \                 2n
      >     -------                      >    (-1)^n   -------
     /        5^n                       /              n^2 + 2
     ----                               ----
      n=1                                n=1

ad a) Ich habe hier das Quotientenkriteriumkriterium verwendet und da bekomm ich raus:

lim |1/(5-5/n)| = 1/5 < 1

das ist kleiner als 1 daher konvergent...

ich hoffe das stimmt so!

Lösungsvorschlag Jacko:

Anwendung des Quotientenkriteriums

| a(n+1) / a(n) | = | [n/(5^(n+1))] / [(n-1) / 5^n] | = | n / (5n-5) | --> 0

n / (5n-5) <= 1/25 < 1

dadurch wäre meine lösung absolut konvergent

natürlich erst ab einer bestimmten größe von n.

Folgende Fragen sind noch offen für mich

- wie muss ich das q (in diesem Fall 1/25) wählen?

- kann das so stimmen oder muss dieses Beispiel anders gelöst werden?

- wie kommt ihr auf das richtige kriterium zum überprüfen auf konvergenz? (bei alternierenden ist es verständlich, sonst jedoch nicht)

b) Leibnitzkriterium: alternierende folge

lim 2/n = 0

alternierende rehe + nullfolge -> konvergent

Theorie

Frage 1

Wann ist R Teilmenge von MxM eine Äquivalenzrelation? Alle definierenden Eigenschaften sind genau anzuführen. (4 Punkte)

Antwort: Eigenschaften siehe TheoriePruefung020707#Äquivalenzrelation

Frage 2

Was versteht man unter einer Permutation einer endlichen Menge?

(Lösungen dazu: siehe "Mathematische Formelsammlung" Seite 30 oben.)

Lösung: Formel für Anzahl: n!

Was versteht man unter einer Permutation einer endlichen Multimenge?

Multimenge: eine Menge bei der das gleiche/selbe Element mehrmals beinhaltet sein kann.

Lösung: Formel für Anzahl:

$(k_{1}+k_{2}...k_{n})!/(k_{1}!*k_{2}!*...*k_{n}!)$

bist du dir da sicher?? ich glaub das ist:

$(n!/k!)$

und mit wiederholung einer multimenge:

$(n!/(k_{1}!*k_{2}!*...*k_{n}!)$

Geben Sie jeweils auch eine Formel für die Anzahl an!

Wieso entsprechen die Permutationen einer Multimenge, die aus k-mal dem Element a und (n-k)-mal dem Element b besteht, den k-elementigen Teilmengen einer n-elementigen Menge?

k mal Element a (n-k) mal Element b

$(k+(n-k))!/k!(n-k)!=n!/k!(n-k)!=(nueberk)$

einsetzten in Permutation einer Multimenge Formel (4 Punkte)

Frage 3

Wie sind die algebraischen Strukturen Gruppoid, Halbgruppe, Monoid und Gruppe definiert? Alle Eigenschaften genau (4 Punkte)

Antwort: siehe TheoriePruefung020707#Algebraische_Strukturen

Frage 4

Wann ist eine eine Abbildung f: |R -> |R stetig an der Stelle x0?

Antwort: f ist stetig an x0:

$\Leftrightarrow lim[x\to x0]f(x)=f(x0)$

Wann ist eine eine Abbildung f: |R -> |R differenzierbar an der Stelle x0?

Antwort: f ist differenzierbar an x0:

$\Leftrightarrow \exists lim[x\to x0](f(x)-f(x0))/(x-x0)$

Wann ist eine eine Abbildung f: |R -> |R stetig differenzierbar an der Stelle x0?

Antwort: Sobald eine f differenzierbar an x0 ist, ist f auch stetig an x0 (dies gilt umgekehrt NICHT) (4 Punkte)

Frage 5

Wie ist der Rang rg(A) einer Matrix A definiert? (1 Punkt)

Antwort: Durch die Dimension des Kerns ker(f) und des Bildes f(V): rg(A) = rg(f) = dim (f(V))

Frage 6

Wann ist eine Abbildung f: U -> V (U,V Mengen) surjektiv? (1 Punkt)

Antwort: