TU Wien:Mathematik 2 UE (diverse)/Konversatorium SS07 (vermischt mit SS08)/Kettenregel

Prof. Karigl hat anläßlich der 1. UE-Prüfung eine erweiterte Definition der Kettenregel zur Ergänzung der VO geliefert.

Bitte nicht von der mathematischen Bleiwüste unten abschrecken lassen; wenn man's Schritt für Schritt nachvollzieht, ist es halb so wild...:-)

Kettenregel

Verkettungsregel der Differenziation:

${\biggl (}f{\bigl (}g(x){\bigr )}{\biggr )}'=f'{\bigl (}g(x){\bigr )}\cdot g'(x)$

(Die Ableitung einer verketteten Funktion = die äußere Ableitung mal der inneren Ableitung)   (Satz 5.5)

• Einfache Ableitung einer Funktion mit einer Variablen:

$f(u),\;u=g(t)$

${\frac {d}{dt}}f{\bigl (}g(t){\bigr )}={\frac {df}{d\underbrace {u} _{g()}}}\cdot {\frac {dg}{dt}}\qquad (=f_{u}\cdot g')$

• Ableitung einer Funktion mit zwei Variablen: Summe der partiellen Ableitungen:

$f(u,v),\;u=u(t),\;v=v(t)$

${\frac {d}{dt}}f{\bigl (}u(t),v(t){\bigr )}={\frac {\partial f}{\partial u}}\cdot {\frac {du}{dt}}+{\frac {\partial f}{\partial v}}\cdot {\frac {dv}{dt}}\qquad (=f_{u}u'+f_{v}v')$

• Ableitung einer Funktion mit mehreren Variablen: Summe aller partiellen Ableitungen:

$f(u_{1},u_{2},\ldots ,u_{n}),\;u_{i}=u_{i}(t)\ \forall i$

${\frac {d}{dt}}f{\bigl (}u_{1}(t),u_{2}(t),\ldots ,u_{n}(t){\bigr )}=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial f}{\partial u_{i}}}\cdot {\frac {du_{i}}{dt}}\qquad (=\sum _{i}f_{u_{i}}\cdot u_{i}')$

• Ableitung einer Funktion mit abhängigen Variablen (Unterfunktionen):

$f(u,v),\;u=u(s,t),\;v=v(s,t)$

${\frac {\partial }{\partial s}}f{\bigl (}u(s,t),v(s,t){\bigr )}={\frac {\partial f}{\partial u}}\cdot {\frac {\partial u}{\partial s}}+{\frac {\partial f}{\partial v}}\cdot {\frac {\partial v}{\partial s}}$

${\frac {\partial }{\partial t}}$ w.o. (t statt s)

--Baccus 02:34, 20. Apr 2007 (CEST)