TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2023W/Beispiel 340

Untersuchen Sie, ob die Menge $M$ mit der Operation $\circ$ ein Gruppoid, eine Halbgruppe, ein Monoid bzw. eine Gruppe ist: $M=\{0,1,2,3\},m\circ n=min(mn,3)$

Lösungsvorschlag von neo

$\forall m,n\in M:mn>3\,\,\to \,\,min(mn,3)=3\in M\,\,\to \,\,Abgeschlossen$

$(m\circ n)\circ k=(min(mn,3))\circ k=min(min(mn,3)k,3)$
$m\circ (n\circ k)=m\circ (min(nk,3))=min(m(min(nk,3)),3)$

Sei $m=0,n=1,k=2$ bzw. $m=1,n=2,k=3$ (Damit wären alle Möglichkeiten abgedeckt, weil wenn irgendeine der Variablen 0 ist, dann ergibt der Gesamtausdruck ebenfalls immer 0: $min(x0,3)=0\,\forall x\in M$)

$(0\circ 1)\circ 2=0\Leftrightarrow 0\circ (1\circ 2)=0$
$(1\circ 2)\circ 3=3\Leftrightarrow 1\circ (2\circ 3)=3$
$\to Assoziativ$

$a\circ e=e\circ a=a\,\,\to \,\,m\circ e=min(me,3)=m\,\,\to e=1\,\,\to \,\,Neutrales\,Element\,existsiert$

$a\circ a'=e\,\,\to \,\,m\circ m'=min(mm',3)=1\,\,\to \,\,m*m'=1;m'={\frac {1}{m}}\notin M\,\,\to \,\,kein\,Inverses\,Element\,in\,M$

Da die Abgeschlossenheit, Assoziativität und die Existenz eines neutralen Elements erfüllt sind, handelt es sich hierbei um ein Monoid.