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Beispiel 403

Von der Abbildung $\mathbb {f} \colon \;\left(\mathbb {Z_{3}} \right)^{2}\mapsto \left(\mathbb {Z_{3}} \right)^{4}$ sei bekannt, dass $\mathbb {f}$ ein Gruppenhomomorphismus bezüglich der Addition ist (die jeweils komponentenweise definiert sein soll), sowie dass $\mathbb {f} \left(2,0\right)=\left(0,1,2,2\right)$, $\mathbb {f} \left(1,2\right)=\left(2,2,1,0\right)$. Man ermittle daraus $f\left(w\right)$ für alle $w\in (\mathbb {Z_{3}} )^{2}$

Hilfsmittel von Har203

Gruppe

Eine Gruppe ist ein geordnetes Paar $\left\langle \mathbb {G} ,\circ \right\rangle$ bestehend aus einer Menge $\mathbb {G}$ und einer inneren zweistelligen Verknüpfung

$\circ \colon \,\mathbb {G} \times \mathbb {G} \to \mathbb {G} ,\,(a,b)\mapsto {a}\circ b\,\in \mathbb {G} ,$

die abgeschlossen ist (diese wichtigste Voraussetzung wird oft bei allen algebraischen Strukturen übersehen) und die die drei geforderten Gruppenaxiome erfüllen:

1. Assoziativität
   • $\forall \,a,b,c\,\in \mathbb {G}$ gilt$\colon \;(a\circ b)\circ c=a\circ (b\circ c)$
2. Existenz eines neutralen Elementes
   • Es gibt ein (eindeutiges) neutrales Element $\mathbb {e\in \;\mathbb {G} }$ mit $\forall \,a\in \mathbb {G}$ gilt$\colon \;a\circ e=e\circ a=a$.
3. Für alle Gruppenelemente $a$ existent ein inverses Element
   • $\forall \,a\,\in \mathbb {G} {\text{ gilt}}\colon \;\exists \,a^{-1}\in \mathbb {G} {\text{ mit}}\colon \;a\circ a^{-1}=a^{-1}\circ a=e$.

Die Elemente einer Gruppe $\left\langle \mathbb {G} ,\circ \right\rangle$ heißen kurz Gruppenelemente.

Restklasse

Es sei $m\in \mathbb {Z\setminus {\{0\}}}$ eine ganze Zahl und $a\in \mathbb {Z}$ eine beliebige ganze Zahl. Die Restklasse von $a$ modulo $m$, geschrieben als

$a+m\cdot \mathbb {Z} ,$

ist die Äquivalenz- bzw. Restklasse von $a$ bezüglich der Kongruenz modulo $m$, also die Menge der Ganzzahlen, die bei Division durch $m$ den gleichen Rest wie $a$ ergeben. Sie besteht somit aus allen ganzen Zahlen $b$, die sich aus $a$ durch die Addition ganzzahliger Vielfacher von $m$ ergeben:

 $a+m\cdot \mathbb {Z} =\{\;b\,|\,b=a+k\cdot m\,$, für ein $\,k\in \mathbb {Z} \;\}=\{\;b\,|\,b\equiv a{\bmod {m}}\;\}$.

Ein Element einer Restklasse bezeichnet man auch als Repräsentant der Restklasse. Häufig verwendet man die Standardrepräsentanten $\{\;{\overline {0}},{\overline {1}},{\overline {2}},\dots ,{\overline {m-1}}\;\}$.

Die Menge aller Restklassen modulo $m$ schreibt man häufig als $\mathbb {Z} /m\mathbb {Z}$ oder $\mathbb {Z_{m}}$. Sie hat $\mathbb {m}$ Elemente und die Struktur eines algebraischen Ringes und wird deshalb Restklassenring genannt. Genau dann, wenn $m$ eine Primzahl ist, ergibt sich sogar die Struktur eines endlichen Körpers.

Gruppenhomomorphismus

Eine Abbildung $\varphi \;\colon \;\mathbb {G} \mapsto \mathbb {H}$ zwischen zwei Gruppen $\left\langle \mathbb {G} ,\circ \right\rangle$ und $\left\langle \mathbb {H} ,\star \right\rangle$ heißt Homomorphismus (oder Gruppenhomomorphismus), wenn für alle $a,b\in \mathbb {G}$ gilt

$\varphi \;(a\circ b)=\varphi \;(a)\star \varphi \;(b)$.

Ist $\varphi$ bijektiv, so heißt $\mathbb {\varphi }$ Isomorphismus. Die inverse Abbildung $\varphi ^{-1}\;\colon \;\mathbb {H} \mapsto \mathbb {G}$ ist dann auch ein Isomorphismus. Existiert zwischen zwei Gruppen $\mathbb {G}$ und $\mathbb {H}$ ein Isomorphismus, so heißen $\mathbb {G}$ und $\mathbb {H}$ isomorph, und man schreibt dafür $\mathbb {G} \cong \mathbb {H}$.

Ist $\varphi \;\colon \;\mathbb {G} \mapsto \mathbb {H}$ ein Gruppenhomomorphismus, so wird das neutrale Element $e_{\mathbb {G} }$ von $\mathbb {G}$ auf das neutrale Element $e_{\mathbb {H} }$ von $\mathbb {H}$ abgebildet, d.h.

$\varphi \;(e_{\mathbb {G} }\;)=e_{\mathbb {H} }$.

Weiters gilt

$\varphi \;(a^{-1})=\varphi \;(a)^{-1}\quad \forall \;a\in \mathbb {G}$.

Lösung von Har203

Wir wissen, dass die Gruppe $\left\langle \left(\mathbb {Z_{3}} \right)^{2},+\right\rangle$ komponentenweise definiert ist. D.h., dass

$\forall \,a,b,c,d\in \mathbb {Z}$ gilt$\colon \;(a,\;b),\,\,(c,\;d)\in \left(\mathbb {Z_{3}} \right)^{2}$ mit$\colon \;(a,\;b)+(c,\;d)=(a+c,\;b+d)\in \left(\mathbb {Z_{3}} \right)^{2}$.

und vom Gruppenhomomorphismus wissen wir, dass die Abbildungen der beiden Elemente $\left(2,0\right)$ und $\left(1,2\right)$ bekannt sind:

$\mathbb {f} \left(2,0\right)=\left(0,1,2,2\right)$ und $\mathbb {f} \left(1,2\right)=\left(2,2,1,0\right)$. 

Die Operationstafel der Gruppe lautet ($\;\color {green}{\text{grün}}\color {black}$ ist das neutrale Element):

${\begin{array}{c|ccccccccc}\mathbf {\circ } &\mathbf {(0,0)} &\mathbf {(0,1)} &\mathbf {(0,2)} &\mathbf {(1,0)} &\mathbf {(1,1)} &\mathbf {(1,2)} &\mathbf {(2,0)} &\mathbf {(2,1)} &\mathbf {(2,2)} \\\hline \mathbf {(0,0)} &\color {green}(0,0)&\color {green}(0,1)&\color {green}(0,2)&\color {green}(1,0)&\color {green}(1,1)&\color {green}(1,2)&\color {green}(2,0)&\color {green}(2,1)&\color {green}(2,2)\\\mathbf {(0,1)} &\color {green}(0,1)&(0,2)&(0,0)&(1,1)&(1,2)&(1,0)&(2,1)&(2,2)&(2,0)\\\mathbf {(0,2)} &\color {green}(0,2)&(0,0)&(0,1)&(1,2)&(1,0)&(1,1)&(2,2)&(2,0)&(2,1)\\\mathbf {(1,0)} &\color {green}(1,0)&(1,1)&(1,2)&(2,0)&(2,1)&(2,2)&(0,0)&(0,1)&(0,2)\\\mathbf {(1,1)} &\color {green}(1,1)&(1,2)&(1,0)&(2,1)&(2,2)&(2,0)&(0,1)&(0,2)&(0,0)\\\mathbf {(1,2)} &\color {green}(1,2)&(1,0)&(1,1)&(2,2)&(2,0)&(2,1)&(0,2)&(0,0)&(0,1)\\\mathbf {(2,0)} &\color {green}(2,0)&(2,1)&(2,2)&(0,0)&(0,1)&(0,2)&(1,0)&(1,1)&(1,2)\\\mathbf {(2,1)} &\color {green}(2,1)&(2,2)&(2,0)&(0,1)&(0,2)&(0,0)&(1,1)&(1,2)&(1,0)\\\mathbf {(2,2)} &\color {green}(2,2)&(2,0)&(2,1)&(0,2)&(0,0)&(0,1)&(1,2)&(1,0)&(1,1)\end{array}}$

Weiters wissen wir, dass die Gruppe $\left\langle \left(\mathbb {Z_{3}} \right)^{4},\star \right\rangle$ ebenfalls komponentenweise definiert ist. D.h., dass

$\forall \,a,b,c,d,e,f,g,h\in \left(\mathbb {Z_{4}} \right)^{2}$ gilt$\colon \;(a,\;b,\;c,\;d),\,\,(e,\;f,\;g,\;h)\in \left(\mathbb {Z_{3}} \right)^{4}$ mit$\colon \;(a,\;b,\;c,\;d)\star (e,\;f,\;g,\;h)=(a+e,\;b+f,\;c+g,\;d+h)\in \left(\mathbb {Z_{3}} \right)^{4}$.

Für alle $a,b\in \left\langle \left(\mathbb {Z_{3}} \right)^{2},+\right\rangle$ muss laut Homomorphismus gelten:

$\varphi \;(a+b)=\varphi \;(a)\star \varphi \;(b)$.

Die Abbildungstafel der Elemente lautet:

1. $\;\color {red}{\text{rot}}\color {black}$ sind die vordefinierten abgebildeten Elemente.
2. $\;\color {green}{\text{grün}}\color {black}$ sind die beiden neutralen Elemente ($\in \mathbb {Z_{3}} ^{2}$ bzw. $\in \mathbb {Z_{3}} ^{4}$).
3. $\;\color {blue}{\text{blau}}\color {black}$ sind die berechneten abgebildeten Elemente.

${\begin{array}{c|c|c|c}Schritt-\#&\varphi \;(\;(x,\;y)\;)&=\mathbf {\varphi (\;(a,\;b)+(c,\;d)\;)} &=\mathbf {\varphi (\;(a,\;b)} \star \mathbf {\varphi (\;(c,\;d)\;)} \\\hline 1&\color {green}\varphi (\;(0,\;0)\;)&&\color {green}(0,\;0,\;0,\;0)\\4&\varphi (\;(0,\;1)\;)&=\varphi (\;(2,\;0)+(0,\;1)\;)&\color {blue}=(0,\;1,\;2,\;2)\star (1,\;2,\;1,\;2)=(1,\;0,\;0,\;1)\\2&\varphi (\;(0,\;2)\;)&=\varphi (\;(1,\;2)+(2,\;0)\;)&\color {blue}=(2,\;2,\;1,\;0)\star (0,\;1,\;2,\;2)=(2,\;0,\;0,\;2)\\5&\varphi (\;(1,\;0)\;)&=\varphi (\;(2,\;0)+(2,\;0)\;)&\color {blue}=(0,\;1,\;2,\;2)\star (0,\;1,\;2,\;2)=(0,\;2,\;1,\;1)\\3&\varphi (\;(1,\;1)\;)&=\varphi (\;(1,\;2)+(0,\;2)\;)&\color {blue}=(2,\;2,\;1,\;0)\star (2,\;0,\;0,\;2)=(1,\;2,\;1,\;2)\\0&\color {red}\varphi (\;(1,\;2)\;)&&\color {red}(2,\;2,\;1,\;0)\\0&\color {red}\varphi (\;(2,\;0)\;)&&\color {red}(0,\;1,\;2,\;2)\\7&\varphi (\;(2,\;1)\;)&=\varphi (\;(2,\;0)+(0,\;1)\;)&\color {blue}=(0,\;1,\;2,\;2)\star (1,\;0,\;0,\;1)=(1,\;1,\;2,\;0)\\6&\varphi (\;(2,\;2)\;)&=\varphi (\;(1,\;1)+(1,\;1)\;)&\color {blue}=(1,\;2,\;1,\;2)\star (1,\;2,\;1,\;2)=(2,\;1,\;2,\;1)\end{array}}$

Letzte Überlegung: Kann $\varphi \;$ mit$\colon \;\left(\mathbb {Z_{3}} \right)^{2}\mapsto \left(\mathbb {Z_{3}} \right)^{4}$ ein Isomorphismus sein:

$\implies$Nein, da die Menge $\left(\mathbb {Z_{3}} \right)^{2}$ die Ordnung (= Anzahl der Elemente) $|\left(\mathbb {Z_{3}} \right)^{2}|=3^{2}=9$ hat und jene von $|\left(\mathbb {Z_{3}} \right)^{4}|=3^{4}=81$. Die Anzahl ist unterschiedlich und damit kann es auch zwischen diesen beiden Mengen keine bijektiv Abbildung geben.