TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2023W/Beispiel 475

Zeigen Sie: $\mathbb {Q} [{\sqrt {5}}]$ (vgl. Aufgabe 406)) bildet mit den in $\mathbb {R}$ ausgeführten Operationen Addition und Produkt mit einem Skalar einen Vektorraum über $\mathbb {Q}$.

Lösungsvorschlag von neo

$\mathbb {Q} [{\sqrt {5}}]=\{a+b{\sqrt {5}}\mid a,b\in \mathbb {Q} \}$
Wir müssen also zeigen, dass $\mathbb {Q} [{\sqrt {5}}]$ einen Vektorraum über $\mathbb {Q}$ bildet, mit der gewöhnlichen Addition bzw. Multiplikation. Um das zu zeigen, müssen wir zuerst beweisen, dass $(\mathbb {Q} [{\sqrt {5}}],+)$ eine abelsche Gruppe darstellt und anschließend die vektorielle und skalare Distirbutivität, die skalare Assoziativität und auch die Existenz eines neutralen Elements bezüglich der skalaren Multiplikation. Also, als erstes kommt der Beweis einer abelschen Gruppe dran:

$(\mathbb {Q} [{\sqrt {5}}],+):$
$(a+b{\sqrt {5}})+(c+d{\sqrt {5}})=a+c+{\sqrt {5}}(b+d)\in \mathbb {Q} [{\sqrt {5}}]$
$\Rightarrow$ Addition abgeschlossen

$((a+b{\sqrt {5}})+(c+d{\sqrt {5}}))+(e+f{\sqrt {5}})=((a+c+{\sqrt {5}}(b+d)+(e+f{\sqrt {5}})=a+c+e+{\sqrt {5}}(b+d+f)$
$(a+b{\sqrt {5}})+((c+d{\sqrt {5}})+(e+f{\sqrt {5}}))=(a+b{\sqrt {5}})+(c+e+{\sqrt {5}}(d+f))=a+c+e+{\sqrt {5}}(b+d+f)$
$\Rightarrow$ assoziativ

$0+0{\sqrt {5}}=0\in \mathbb {Q} [{\sqrt {5}}]$
$\forall q\in \mathbb {Q} [{\sqrt {5}}]:q+0=(q_{1}+{\sqrt {5}}q_{2})+0=q_{1}+{\sqrt {5}}q_{2}=q$
$\Rightarrow$ neutrales Element

$(a+{\sqrt {5}}b)+(c+{\sqrt {5}}d)=a+c+{\sqrt {5}}(b+d)$
$(c+{\sqrt {5}}d)+(a+{\sqrt {5}}b)=c+a+{\sqrt {5}}(d+b)$
$\Rightarrow$ kommutativ

$(a+{\sqrt {5}}b)+(c+{\sqrt {5}}d)=0\to a+{\sqrt {5}}b=-c+{\sqrt {5}}(-d)\,\,c,d\in \mathbb {Q} \to -c+{\sqrt {5}}(-d)\in \mathbb {Q} [{\sqrt {5}}]$
$\Rightarrow$ inverse Elemente

Nun wurde bewiesen, dass $(\mathbb {Q} [{\sqrt {5}}],+)$ eine abelsche Gruppe ist. Jetzt fehlen noch vektorielle und skalare Distirbutivität, die skalare Assoziativität und die Existenz eines neutralen Elements bezüglich der skalaren Multiplikation, um diese Struktur auf einen Vektorraum zu ergänzen.

$\lambda \in \mathbb {Q} ,a,b\in \mathbb {Q} [{\sqrt {5}}]$
$\lambda (a+b)=\lambda ((a_{1}+{\sqrt {5}}a_{2})+(b_{1}+{\sqrt {5}}b_{2}))=\lambda (a_{1}+b_{1}+{\sqrt {5}}(a_{2}+b_{2}))=\lambda (a_{1}+b_{1})+\lambda ({\sqrt {5}}(a_{2}+b_{2}))$
$\lambda a+\lambda b=\lambda (a_{1}+{\sqrt {5}}a_{2})+\lambda (b_{1}+{\sqrt {5}}b_{2})=\lambda a_{1}+\lambda {\sqrt {5}}a_{2}+\lambda b_{1}+\lambda {\sqrt {5}}b_{2}=\lambda (a_{1}+b_{1})+\lambda ({\sqrt {5}}(a_{2}+b_{2}))$
$\Rightarrow$ vektorielle Distributivität

$\lambda ,\mu \in \mathbb {Q} ,a\in \mathbb {Q} [{\sqrt {5}}]$
$(\lambda +\mu )a=(\lambda +\mu )(a_{1}+{\sqrt {5}}a_{2})=\lambda a_{1}+\lambda {\sqrt {5}}a_{2}+\mu a_{1}+\mu {\sqrt {5}}a_{2}=\lambda (a_{1}+{\sqrt {5}}a_{2})+\mu (a_{1}+{\sqrt {5}}a_{2})=\lambda a+\mu a$
$\Rightarrow$ skalare Distributivität

$\lambda ,\mu \in \mathbb {Q} ,a\in \mathbb {Q} [{\sqrt {5}}]$
$(\lambda \mu )a=(\lambda \mu )(a_{1}+{\sqrt {5}}a_{2})=\lambda \mu a_{1}+\lambda \mu {\sqrt {5}}a_{2}$
$\lambda (\mu a)=\lambda (\mu (a_{1}+{\sqrt {5}}a_{2}))=\lambda (\mu a_{1}+\mu {\sqrt {5}}a_{2})=\lambda \mu a_{1}+\lambda \mu {\sqrt {5}}a_{2}$
$\Rightarrow$ skalare Assoziativität

Das neutrale Element bezüglich der Multiplikation in $\mathbb {Q}$ ist $1$. Daher nehmen wir ihn als Skalar und multiplizieren damit einen Vektor.
$a\in \mathbb {Q} [{\sqrt {5}}]$
$1a=1(a_{1}+{\sqrt {5}}a_{2})=a_{1}+{\sqrt {5}}a_{2}$
$\Rightarrow$ neutrales Element bezüglich der skalaren Multiplikation

Damit sollte bewiesen sein, dass $(\mathbb {Q} [{\sqrt {5}}],+,\mathbb {Q} )$ einen Vektorraum darstellt.