TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2025W/Beispiel 342

Untersuchen Sie, ob die Menge $M$ mit der Operation $\circ$ ein Gruppoid, eine Halbgruppe, ein Monoid bzw. eine Gruppe ist: $M=\{0,1,2,3\},m\circ n=min(mn,3)$

Lösungsvorschlag von neo

$\mathrm{\forall }m,n\in M:mn>3\to min(mn,3)=3\in M\to Abgeschlossen$

$(m\circ n)\circ k=(min(mn,3))\circ k=min(min(mn,3)k,3)$
$m\circ (n\circ k)=m\circ (min(nk,3))=min(m(min(nk,3)),3)$

Sei $m=0,n=1,k=2$ bzw. $m=1,n=2,k=3$ (Damit wären alle Möglichkeiten abgedeckt, weil wenn irgendeine der Variablen 0 ist, dann ergibt der Gesamtausdruck ebenfalls immer 0: $min(x0,3)=0\mathrm{\forall }x\in M$)

$(0\circ 1)\circ 2=0\iff 0\circ (1\circ 2)=0$
$(1\circ 2)\circ 3=3\iff 1\circ (2\circ 3)=3$
$\to Assoziativ$

$a\circ e=e\circ a=a\to m\circ e=min(me,3)=m\to e=1\to NeutralesElementexistsiert$

$a\circ a^{\prime }=e\to m\circ m^{\prime }=min(m{m}^{\prime },3)=1\to m\ast m^{\prime }=1;m^{\prime }=\frac{1}{m}\notin M\to keinInversesElementinM$

Da die Abgeschlossenheit, Assoziativität und die Existenz eines neutralen Elements erfüllt sind, handelt es sich hierbei um ein Monoid.