Untersuchen Sie, ob die Menge
mit der Operation
ein Gruppoid, eine Halbgruppe,
ein Monoid bzw. eine Gruppe ist: ![{\displaystyle M=\{z\in \mathbb {C} \mid |z|=1\},z_{1}\circ z_{2}=z_{1}z_{2}}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=14e6e0de3ee63e191bb6dcb142488d57&mode=mathml)
![{\displaystyle |z|={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}=1\to a^{2}+b^{2}=1}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=73a732238995332664a81bb43a67aefd&mode=mathml)
Alle komplexen Zahlen, auf welche das zutrifft sind:
bzw.
Edit: Glaube nicht, dass das zutrifft, da a,b Element von den reellen Zahlen sind.
trifft zu, da entweder Realteile oder Imaginärteile miteinander mulitpliziert werden.
![{\displaystyle \pm 1^{2}=1\to a^{2}+b^{2}=1\to {\sqrt {a^{2}+b^{2}}}=1}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=327aaa554c75db52ea80f67de45e9641&mode=mathml)
![{\displaystyle \to abgeschlossen}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=73fcf17453ded51917da1e5d958b5e81&mode=mathml)
![{\displaystyle (z_{1}\circ z_{2})\circ z_{3}=z_{1}z_{2}\circ z_{3}=z_{1}z_{2}z_{3}}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=349a02f8f2c2886e437d1d3500b7c6f3&mode=mathml)
![{\displaystyle z_{1}\circ (z_{2}\circ z_{3})=z_{1}\circ z_{2}z_{3}=z_{1}z_{2}z_{3}}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=77791ba1515068ffbdbebc4615e53daf&mode=mathml)
![{\displaystyle \to assoziativ}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=92e580d1df6a2c8edc08da8f99c9c778&mode=mathml)
![{\displaystyle z\circ e=e\circ z=z\,\,\to \,\,e=1}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=18306441fddd63c556d2c3c628eed965&mode=mathml)
![{\displaystyle \to neutralesElement}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=ebd8b33f6e7353be7a0bbe83b7a2979d&mode=mathml)
![{\displaystyle a\circ a'=ea\circ a'=1\to zz'=1\to z'={\frac {1}{z}}}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=1841bb026750e4ae77fe0095630485f3&mode=mathml)
![{\displaystyle {\frac {1}{z}}={\frac {1}{z}}{\frac {\bar {z}}{\bar {z}}}={\frac {\bar {z}}{a^{2}+b^{2}}}={\frac {\bar {z}}{1}}={\bar {z}}\in M}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=999d5feefdff4f39a31586a42afb1e35&mode=mathml)
![{\displaystyle \to InversesElement}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=8810d9952566a0b2eb22252227f4a7e0&mode=mathml)
![{\displaystyle \Rightarrow Gruppe}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=6f9be6b530ae4c99ad29f259c5c5a1a2&mode=mathml)