Untersuchen Sie, ob die Menge
mit der Operation
ein Gruppoid, eine Halbgruppe,
ein Monoid bzw. eine Gruppe ist: ![{\displaystyle M=\{z\in \mathbb {C} \mid |z|=2\},z_{1}\circ z_{2}=z_{1}z_{2}}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=4d87ee634ea4ea735ea72034ec01ba9d&mode=mathml)
![{\displaystyle |z|={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=7ec2dbead620abced8e237757d7fd3fc&mode=mathml)
Hier werden wieder wie bei Beispiel 138 nur Realteile bzw. Imaginärteile miteinander multipliziert.
Alle Möglichkeiten, für welche gilt ![{\displaystyle |z|=2}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=5d86d948a419728f96e413c845e64fa3&mode=mathml)
bzw. ![{\displaystyle 0\pm 2i\,\,\to \,\,(\pm 2)^{2}=4=a^{2}+b^{2}}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=153d21c6ac69312e87a4de2dd736ea4c&mode=mathml)
![{\displaystyle \pm {\sqrt {2}}\pm {\sqrt {2}}i\,\,\to (\pm {\sqrt {2}})^{2}=2\,\,\to \,\,2+2=4=a^{2}+b^{2}}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=7aae9acd77e0111ff416bd0f7b647946&mode=mathml)
Bei jede dieser Zahlen gilt also: ![{\displaystyle (a=0\land b=2)\lor (a=2\land b=0)\lor (a={\sqrt {2}}\land b={\sqrt {2}})}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=d90db1c69e136f20c7bb04d770afb97a&mode=mathml)
Wenn man nun diese Zahlen miteinander multipliziert, gibt es zwei Möglichkeiten:
![{\displaystyle z_{1}z_{2}\in M\to (\pm 2)^{2}\to {\sqrt {4^{2}+0^{2}}}=4=|z|\to a=0,b=4\,\lor \,a=4,b=0\to {\sqrt {a^{2}+b^{2}}}={\sqrt {16}}=4\notin M}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=31f4c1fb5842341c006d14e650b78429&mode=mathml)
![{\displaystyle z_{1}z_{2}\in M\to (\pm {\sqrt {2}})^{2}+(\pm {\sqrt {2}})^{2}=2+2=4=|z|\to a=2,b=2\to {\sqrt {a^{2}+b^{2}}}={\sqrt {8}}\notin M}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=d94d51ee279118d2fe163dcef86790d9&mode=mathml)
![{\displaystyle \Rightarrow kein\,Gruppoid}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=f745347691ed160e11a2bad339ca285a&mode=mathml)