TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2025W/Beispiel 423

Von der Menge $K\subseteq ℂ$ sei bekannt: $i)ℝ\subseteq K,ii)1-i\in K$ und $iii)(K,+,\ast )$ ist ein Körper (mit der Addition bzw. Multiplikation aus $ℂ$). Zeigen Sie, dass $\mathbb{=}ℂ$ sein muss.

Lösungsvorschlag von neo

Komplexe Zahlen:
Enthalten die reellen Zahlen.
Für die Addition und Multiplikation gelten Assoziativ- und Kommutativgesetz.
Das Distributivgesetz gilt.
Für jede komplexe Zahl $x$ existiert eine komplexe Zahl $-x$, sodass $x+(-x)=0$.
Für jede von null verschiedene komplexe Zahl $x$ existiert eine komplexe Zahl $\frac{1}{x}$, sodass $x\ast \frac{1}{x}=1$.
Es existiert eine komplexe Zahl $i$ mit der Eigenschaft $i^2=1$.

$ℝ\subseteq K$ (Angabe)
Assoziativ-,Kommutativ- und Distributivgesetz gilt, weil $(K,+,\ast )$ ein Körper ist.

$1\in K\to -1\in K$
$(1-i)+(-1)=-i\to -i\in K$
$-i\in K\to -i+(-i{)}^{-1}=0\to -i^{-1}=i\to i\in K$
Da $i\in K$, kann man nun jede Zahl mit $i$ addieren und multiplizieren und somit alle komplexen Zahlen erschaffen. $\Rightarrow K=ℂ$