TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2025W/Beispiel 428

Man bestimme $Z_6^{\ast }$ und $Z_3^{\ast }$ und überprüfe, ob diese beiden Gruppen isomorph sind.

Hilfreiches

Homomorphismus:
Eine Abbildung $\phi :G\to H$ zwischen zwei Gruppen $(G,\circ )$ und $(H,\ast )$ heißt Homomorphismus (oder Gruppenhomomorphismus), wenn für alle $a,b\in G$ gilt: $\phi (a\circ b)=\phi (a)\ast \phi (b)$

Isomorphie:
Existiert zwischen zwei Gruppen $G,H$ ein Isomorphismus (bijektiver Homomorphismus), so heißen $G$ und $H$ isomorph, und man schreibt dafür $G\cong H$.

Lösungsvorschlag von neo

${\mathbb{Z}}_6^{\ast }\widehat{=}$ Einheitengruppe des Restklassenrings ${\mathbb{Z}}_6$
${\mathbb{Z}}_3^{\ast }\widehat{=}$ Einheitengruppe des Restklassenrings ${\mathbb{Z}}_3$

$\ast$	$\bar{0}$	$\bar{1}$	$\bar{2}$	$\bar{3}$	$\bar{4}$	$\bar{5}$
$\bar{0}$	$\bar{0}$	$\bar{0}$	$\bar{0}$	$\bar{0}$	$\bar{0}$	$\bar{0}$
$\bar{1}$	$\bar{0}$	$\bar{1}$	$\bar{2}$	$\bar{3}$	$\bar{4}$	$\bar{5}$
$\bar{2}$	$\bar{0}$	$\bar{2}$	$\bar{4}$	$\bar{0}$	$\bar{2}$	$\bar{4}$
$\bar{3}$	$\bar{0}$	$\bar{3}$	$\bar{0}$	$\bar{3}$	$\bar{0}$	$\bar{3}$
$\bar{4}$	$\bar{0}$	$\bar{4}$	$\bar{2}$	$\bar{0}$	$\bar{4}$	$\bar{2}$
$\bar{5}$	$\bar{0}$	$\bar{5}$	$\bar{4}$	$\bar{3}$	$\bar{2}$	$\bar{1}$

$e_6=\bar{1}$ (neutrales Element bezüglich ${\mathbb{Z}}_6$)
$E({\mathbb{Z}}_6)=\{\bar{1},\bar{5}\}$ (Die einzigen Restklassen modulo 6, welche ein Inverses besitzen)

$\ast$	$\bar{0}$	$\bar{1}$	$\bar{2}$
$\bar{0}$	$\bar{0}$	$\bar{0}$	$\bar{0}$
$\bar{1}$	$\bar{0}$	$\bar{1}$	$\bar{2}$
$\bar{2}$	$\bar{0}$	$\bar{2}$	$\bar{1}$

$e_3=\bar{1}$ (neutrales Element bezüglich ${\mathbb{Z}}_3$)
$E({\mathbb{Z}}_3)=\{\bar{1},\bar{2}\}$ (Die einzigen Restklassen modulo 3, welche ein Inverses besitzen)

Es gilt also:
$\phi :E({\mathbb{Z}}_6)\to E({\mathbb{Z}}_3):\phi (a\circ b)=\phi (a)\circ \phi (b)$
Sei $a=\bar{1},b=\bar{5}\to \phi (\bar{1})=\bar{1},\phi (\bar{5})=\bar{2}$

$\phi (\bar{1}\ast \bar{5})=\phi (\bar{1})\ast \phi (\bar{5})$
$\phi (\bar{5})=\phi (\bar{1})\ast \phi (\bar{5})$
$\bar{2}=\bar{1}\ast \bar{2}$
$\bar{2}=\bar{2}$

Aus $\phi (\bar{1})=\bar{1},\phi (\bar{5})=\bar{2}$ folgt:${\phi }^{-1}(\bar{1})=\bar{1},{\phi }^{-1}(\bar{2})=\bar{5}$

${\phi }^{-1}(\phi (\bar{5}))={\phi }^{-1}(\phi (\bar{5}))\ast {\phi }^{-1}(\phi (\bar{1}))$
${\phi }^{-1}(\bar{2})={\phi }^{-1}(\bar{2})\ast {\phi }^{-1}(\bar{1})$
$\bar{5}=\bar{5}\ast \bar{1}$
$\bar{5}=\bar{5}$

Es existiert ein Isomorphismus $\phi$ zwsichen $E({\mathbb{Z}}_6)$ und $E({\mathbb{Z}}_3)$:
$\phi (\bar{1})=\bar{1},\phi (\bar{5})=\bar{2}$
$\Rightarrow E({\mathbb{Z}}_6)$ und $E({\mathbb{Z}}_3)$ sind isomorph