TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2023W/Beispiel 436

Betrachten Sie den Ring $R[[x]]$ aus Aufgabe 426). $I$ sei die Menge der Elemente $\sum _{n\geq 0}{a_{n}z^{n}}$ von $R[[x]]$ mit $a_{0}=0$. Zeigen Sie: $I$ ist ein Ideal von $R[[x]]$.

Hilfreiches

Es sei $I$ eine Teilmenge eines Ringes $R=(R,+,*)$.$I$ heißt Ideal von $R$, wenn gilt:
$0\in I$
$\forall a,b\in I\mid a+b\in I$
$\forall a\in I,\forall r\in R\mid a*r\in I\land r*a\in I$
https://de.wikipedia.org/wiki/Ideal_(Ringtheorie)

Lösungsvorschlag von neo

Bei der Angabe liegt vermutlich ein Schreibfehler vor, da der Ring aus Aufgabe 426 $R[[z]]$ ist, nicht $R[[x]]$.

Nullelement beweisen:
$I=\sum _{n\geq 0}{a_{n}z^{n}}=\{a_{0}z^{0},a_{1}z^{1},.....\}\to a_{0}z^{0}=a_{0}*1=a_{0}\in I$

Addition (bzw. Substraktion) beweisen:
Seien $x,y\in I:\sum _{n\geq 0}{a_{n}z^{n}}+\sum _{n\geq 0}{b_{n}z^{n}}=\sum _{n\geq 0}{(a_{n}+b_{n})z^{n}}$
Sei $h_{n}=a_{n}+b_{n}\to \sum _{n\geq 0}{h_{n}z^{n}}\in I$

Multiplikation beweisen:
Seien $x\in I,y\in R:\sum _{n\geq 0}{x_{n}z^{n}}\sum _{n\geq 0}{y_{n}z^{n}}=\sum _{n\geq 0}{(\sum _{j\geq 0}^{n}{x_{j}*y_{n-j}})z^{n}}$
Sei $q_{n}=\sum _{j\geq 0}^{n}{x_{j}y_{n-j}}\to \sum _{n\geq 0}{q_{n}z^{n}}\in I\to Rechtsideal$
$x\in I,y\in R:\sum _{n\geq 0}{y_{n}z^{n}}\sum _{n\geq 0}{x_{n}z^{n}}=\sum _{n\geq 0}{(\sum _{j\geq 0}^{n}{y_{j}x_{n-j}})z^{n}}$
Sei $p_{n}=\sum _{j\geq 0}{y_{j}x_{n-j}}\to \sum _{n\geq 0}{p_{n}z^{n}}\in I\to Linksideal$
Linksideal + Rechtsideal $\to I$ Ideal von $R[[z]]$