TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2025W/Beispiel 455

Sei $(M,\wedge ,\vee )$ ein Verband mit 5 Elementen. Zeigen Sie, dass $(M,\wedge ,\vee )$ keine Boolesche Algebra ist. Hinweis: Betrachten Sie alle möglichen Hassediagramme der durch den Verband bestimmten Halbordnung.

Lösungsvorschlag von neo

Sei $|M|=5$ und $M=\{a,b,c,d,e\}$
Hassediagramm:

    a
  / | \
 b  c  d
  \ | /
    e

Außerdem gilt:
$a\ge b\iff a=a\wedge b=inf(a,b)$
$a\ge b\iff b=b\vee a=sup(a,b)$

Man kann aus dem Hassediagramm folgendes herauslesen:
$b\wedge (c\vee d)=b\wedge a=b$
$(b\wedge c)\vee (b\wedge d)=e\vee e=e$
$b\ne e\Rightarrow nichtdistributiv$
Da der Verband nicht distributiv ist, kann er auch keine Boole'sche Algebra sein.