(a) Für welche
gibt es eine lineare Abbildung
mit folgenden Eigenschaften?
• ![{\displaystyle f_{1}:(1,0)\to (2,1,0),(0,1)\to (1,2,3)}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=f30c645a5b349cfaf823e80d50f21364&mode=mathml)
• ![{\displaystyle f_{2}:(1,0)\to (2,1,0),(0,1)\to (1,2,3),(1,1)\to (2,2,2)}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=d6f4171a3ffc30b85b539dbc4fa21b43&mode=mathml)
• ![{\displaystyle f_{3}:(1,0)\to (2,1,0),(0,1)\to (1,2,3),(1,1)\to (3,3,3)}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=869be48cb0c316cbd925b4dd27846c72&mode=mathml)
(b) Wählen Sie als
eine lineare Abbildung
aus (a). Geben Sie die
zugehörige Matrix
, die dazu transponierte Matrix
sowie jene Matrix
an, welche
entspricht, wenn
die
zugehörige lineare Abbildung ist.
(c) Bestimmen Sie die Determinante von
aus Teil (b); wie ergibt sich daraus die Determinante
von 2B?
(d) Besitzt
einen Eigenvektor zum Eigenwert 0?
Zu a:
Die Angabe scheint für mich ein wenig konfus, ich denke damit ist gemeint, welche der 3 gegebenen Funktionen eine lineare Abbildung darstellt.
(
,
)
stellt eine lineare Abbildung dar.
Zu b:
![{\displaystyle A={\begin{pmatrix}2&1\\1&2\\0&3\end{pmatrix}}}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=27b196885730261f045428ecb800d194&mode=mathml)
![{\displaystyle A^{T}={\begin{pmatrix}2&1&0\\1&2&3\\\end{pmatrix}}}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=b82075601f0d34098756580737b84324&mode=mathml)
![{\displaystyle (f\circ f^{T})(x)=f(f^{T}(x))=f(A^{T}x)=AA^{T}x=B={\begin{pmatrix}5&4&3\\4&5&6\\3&6&9\end{pmatrix}}}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=b9435af868eccd67b9dca355d91b3c19&mode=mathml)
Zu c:
![{\displaystyle det(AB)=det(A)det(B)}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=eb81f21f381c74e04a93f27b647c9fdc&mode=mathml)
(Regel von Sarrus S.138)
![{\displaystyle det(2B)=2det(B)=2*0=0}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=a0501ec1087c87f3faf0b5ed2fd7185e&mode=mathml)
Zu d:
![{\displaystyle Ax=\lambda x}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=4662c3aa8df5f5c784ba1e560a51f3ea&mode=mathml)
![{\displaystyle Ax=0x\to x=0}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=3a60e81244fd578eaba9860dd67b0ad1&mode=mathml)
Per Definition ist der Nullvektor kein Eigenvektor!
(Zu d): Die Gleichung Ax = 0x bedeutet nicht, dass x der Nullvektor ist.