TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2025W/Beispiel 598

(a) Für welche $i\in 1,2,3$ gibt es eine lineare Abbildung $f_i:{ℝ}^2\to {ℝ}^3$ mit folgenden Eigenschaften?
• $f_1:(1,0)\to (2,1,0),(0,1)\to (1,2,3)$
• $f_2:(1,0)\to (2,1,0),(0,1)\to (1,2,3),(1,1)\to (2,2,2)$
• $f_3:(1,0)\to (2,1,0),(0,1)\to (1,2,3),(1,1)\to (3,3,3)$

(b) Wählen Sie als $f$ eine lineare Abbildung $f_i$ aus (a). Geben Sie die $f$ zugehörige Matrix $A$, die dazu transponierte Matrix $A^T$ sowie jene Matrix $B$ an, welche $g:=f\circ f^T$ entspricht, wenn $f^T:{ℝ}^3\to {ℝ}^2$ die $A^T$ zugehörige lineare Abbildung ist.

(c) Bestimmen Sie die Determinante von $B$ aus Teil (b); wie ergibt sich daraus die Determinante von 2B?

(d) Besitzt $B$ einen Eigenvektor zum Eigenwert 0?

Lösungsvorschlag von neo

Zu a:
Die Angabe scheint für mich ein wenig konfus, ich denke damit ist gemeint, welche der 3 gegebenen Funktionen eine lineare Abbildung darstellt.
($f(a+b)=f(a)+f(b)$, $f(ka)=kf(a)$)
$f_3$ stellt eine lineare Abbildung dar.

Zu b:
$A=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 1& 2\\ 0& 3\end{array}\right)$

$A^T=\left(\begin{array}{ccc}2& 1& 0\\ 1& 2& 3\end{array}\right)$

$(f\circ f^T)(x)=f(f^T(x))=f(A^{T}x)=A{A}^{T}x=B=\left(\begin{array}{ccc}5& 4& 3\\ 4& 5& 6\\ 3& 6& 9\end{array}\right)$

Zu c:
$det(AB)=det(A)det(B)$
$det(B)=0$ (Regel von Sarrus S.138)
$det(2B)=2det(B)=2\ast 0=0$

Zu d:
$Ax=\lambda x$
$Ax=0x\to x=0$
Per Definition ist der Nullvektor kein Eigenvektor!

(Zu d): Die Gleichung Ax = 0x bedeutet nicht, dass x der Nullvektor ist.